О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

(28.6)Співвідношення (28.5) та (28.6) є розв'язанням поставленої вище задачі. Таким чином, метод векторних діаграм дозволяє додавання гармонічних функцій (коливань) замінити додаванням векторів.

Формули (28.2) і (28.3) можна, звичайно, отримати із тригонометричних міркувань, розв' язавши тригонометричне рівняння

Acos(co0t + a)= A1 cos(co0t + a1)+ A2 cos(co0t + a2) (x = x1 + x2)

відносно амплітуди A і фази a. Але графічний спосіб отримання цих формул є більш простим і наочним. Ці переваги особливо є корисними у випадку, коли доводиться складати велику кількість коливань.§ 29 Биття [5]

1 Розглянемо випадок, коли два гармонічних коливання одного напрямку, які додаються, мало відрізняються за частотою. Процес, який при цьому виникає, можна розглядати як квазігармонічне коливання з пульсуючою амплітудою. Таке коливання називається биттям.

Позначимо частоту одного з коливань через со, частоту іншого коливання через со + Лсо . За умовою Дсо << со . Амплітуди коливань будемо вважати однаковими й такими, що дорівнюють A. Щоб спростити математичні перетворення, припустимо, що початкові фази обох коливань дорівнюють нулю. Тоді рівняння коливань будуть мати вигляд

x1 = A coswt,  x2 = A cos[(w + Do)t].

Склавши   ці   вирази   й   застосувавши   формулу   для   суми   косинусів   cos a + cos b =

= 2cos((a + P)/2)- cos(a - b)/2), отримуємо

x = x1 + x2 =^2A cos-ДсСt j coswt, (29.1)

де у другому множнику ми знехтували доданком Дсо /2 у порівнянні з со. Графік функції (29.1) зображений на рис. 29.1 а.

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

бt

Рисунок 29.1 - а) - Графік биття, побудований для со / Лсо = 10, і б) -графік змін амплітуди

 

Множник у дужках у формулі (29.1) змінюється набагато повільніше, ніж інший множник. Через умову Дсо«со протягом часу, за який cos ot робить кілька повних коливань, множник у дужках майже не змінюється. Це дає підставу розглядати процес (29.1) як майже гармонічне коливання частоти с , амплітуда якого змінюється за деяким періодичним законом. Множник, що знаходиться у дужках, не може виражати закон зміни амплітуди, тому що він змінюється в межах від -2A до +2A, у той час як амплітуда за визначенням є додатною величиною. Графік амплітуди подано на рис. 29.1 б. Аналітичний вираз амплітуди має такий вигляд:амплітуда


Лс

2A cos--- 1

2


(29.2)Цей вираз є періодичною функцію із частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічної функції, що знаходиться під знаком модуля, тобто із частотою Лс (див. рис. 29.1 б). Отже, частота пульсацій амплітуди - її називають частотою биття - дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

Зазначимо, що множник 2A cos(Do / 2)t не тільки визначає амплітуду, але й впливає на фазу коливання. Це проявляється, наприклад, у тому, що відхилення, які відповідаютьсусіднім максимумам амплітуди, мають протилежні знаки (див. точки M1 й M2 на рис. 29.1а).

§ 30 Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу [5]

1 Припустимо, що є дві взаємно перпендикулярні векторні величини x й y, що змінюються з часом з однаковою частотою с за гармонічним законом

x = exA cos ot, y = eyB cos(ot + a). (30.1)

Тут ex і ey - орти координатних осей X і Y, A і B - амплітуди коливань. Величинами x й

y  можуть бути, наприклад, зміщення матеріальної точки від положення рівноваги або

напруженості двох взаємно перпендикулярних електричних полів (Ex і Ey) і т.п.

У випадку частинки, яка коливається, величини

x = A cos ot, y = B cos(ot + a) (30.2)

визначають координати частинки на площині XY. У випадку електричних полів величини

(30.2) визначають координати кінця результуючого вектора напруженості поля E.

Частинка або кінець вектора E будуть рухатися по деякій траєкторії, вид якої залежить від різниці фаз обох коливань a. Вирази (30.2) фактично задають у параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, потрібно виключити з рівнянь (30.2) параметр t. З першого рівняння випливає, що

x

cos ot = a (30.3)Звідси

 

sin со t = ± 1 -x2 . (30.4)

A2Розкладемо косинус у другому рівнянні (30.2) за формулою для косинуса суми:

cos(o t + a) = cos со t cos a - sin со t sin a,

підставляючи при цьому замість cosot і sinot їх значення (30.3) і (30.4). У результаті отримаємоyx -  -cosam sin a.

— = — cos a m sin a., і

B   A V Це рівняння за допомогою простих перетворень можна звести до вигляду

x2    y2   2xy 2

-^-+—-------- cosa = sin a

A    B AB_______________


 

 

 

 

(30.5)Ми отримали рівняння еліпса, осі якого повернуті відносно координатних осей X і Y . Орієнтація еліпса і його півосі залежать від амплітуд A і B й різниці фаз a .

2 Проведемо дослідження отриманого результату (30.5). Визначимо форму траєкторії для ряду окремих випадків.

1 Різниця фаз a дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (30.5) спрощується таким

чином:

2

AB

J x У

 

Звідси отримуємо рівняння прямої:y = Bx. (30.6) A

Результуючий рух є гармонічним коливанням уздовж цієї прямої із частотою  со й

амплітудою, як дорівнює л/a2 + B2 (рис. 30.1а).

2 Різниця фаз a дорівнює ±p. Рівняння (30.5) набуває вигляду

 

 

 

Отже, результуючий рух є гармонічним коливанням уздовж прямої

у = - Bx (30.7) A

(рис. 30.16).


x 2

A2

+4=1.

B2

 

Y

 

 

 

 

p

a = —

2

\

(

A

V ■

 

 

)X

p

a = + —

2


3 При a = ±p/2 рівняння (30.5) переходить у рівняння еліпса, приведеного до координатних осей:

x2 y2

(30.8)

Рисунок 30.2 - Траєкторія частинки при різниці фаз a = ±p /2

 

Півосі еліпса дорівнюють відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд A і B еліпс перетворюється у коло.

Випадки a = +p/2 й a =-p/2 відрізняються напрямом руху по еліпсу або колу. Якщо a = +p / 2, рівняння (30.2) можна записати таким чином:

x = A cosot, y = -B sin ot. (30.9)У момент t = 0 тіло знаходиться у точці 1 (рис. 30.2). У наступні моменти часу координата х зменшується, а координата y стає від'ємною. Отже, рух відбувається за годинниковою стрілкою.

При a = -p /2 рівняння (30.2) мають вигляд

х = A cos cot, y = B sin cot.

Звідси робимо висновок, що рух відбувається проти годинникової стрілки. Зі сказаного випливає, що рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю ш може бути поданий як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

х = R cos cot, y = ±R sin cot (30.10)

(знак плюс у виразі для y відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус - руху за годинниковою стрілкою).

3  У випадку, коли частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на дуже малу величину До, їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з повільно змінною різницею фаз. Дійсно, рівняння коливань можна подати у вигляді

х = A cos ot, y = B sin[ ot + (Dot + a)]

і вираз Dot + a розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається по повільно змінній кривій, яка буде послідовно набирати форми, що відповідає всім значенням різниці фаз від - p до + p.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Ліссажу. На рис. 30.3 і рис. 30.4 наведені приклади таких фігур. Іноді фігурами Ліссажу називають також і траєкторії (зокрема, еліптичні криві), які виникають при складанні взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти.
§ 31 Диференціальне рівняння загасаючих коливань [5]

У всякій реальній коливальній системі завжди є або сила тертя (у механічній системі), або активний електричний опір (у коливальному контурі), дія яких приводить до зменшення енергії системи. Якщо зменшення енергії не компенсується, то коливання будуть загасати.

1 Розглянемо механічні загасаючі коливання. У найпростішому випадку сила тертя (наприклад, сила в' язкого тертя) пропорційна швидкості:

Fx =-rX. (31.1)Тут г - cm ала, яку ми будемо називати коефіцієнтом тертя. Знак мінус обумовлений тим,

що сила F й швидкість u спрямовані у протилежні сторони, внаслідок чого їх проекції на вісь X мають різні знаки.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ