О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Рівняння другого закону Ньютона за наявності сили тертя має вигляд

mx = -kx - rx . (31.2)

Використаємо позначенняb = r / (2 m )


со2, =


k / m


(31.3)і напишемо рівняння (31.2) у виглядіx+2pxx = 0


(31.4)Відзначимо, що величину b в (31.4) називають коефіцієнтом загасання; ш0 є власною

частотою коливальної системи, тобто та частота, з якої коливалася б система за умови відсутності тертя. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.4), що визначає поведінку коливальної величини x за наявності сили тертя. Це рівняння називають диференціальним рівнянням загасаючих коливань.

2 Розглянемо загасаючі електричні коливання. Нехай у коливальному контурі, крім ємності C й індуктивності L, є активний опір R (рис. 31.1). Застосуємо закон Ома для ділянки кола 1-3-2 (див. рис. 31.1):

IR = Ф1      + Ss. (31.5) Різницю потенціалів на конденсаторі визначимо зі співвідношення

ф1 2 = V C = (- Ч)/ C . (31.6)

Тут використали, що заряд пластини конденсатора 1 q1 =-q (див. рис. 31.1).
b = R/(2L)>0 = 1/(LC)


(31.9)і перетворюємо рівняння (31.8) до такого вигляду:

q + 2bq + a>0q = 0


 

(31.10)Отримане рівняння подібне до (31.4), яке описує механічні коливання, і має таку саму назву: диференціальне рівняння загасаючих коливань. Величину b в (31.10), як і у випадку

механічної системи,  називають коефіцієнтом загасання;   ш0   є власною частотою

контуру, тобто та частота, з якої відбувалися б коливання за умови відсутності активного опору. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.10), що визначає поведінку коливальної величини q за наявності активного опору в коливальному контурі.Із порівняння формул (31.3) і (31.9) випливає, що опір R відіграє роль коефіцієнта тертя r, індуктивність L - роль маси, величина, що зворотна ємності C, - роль коефіцієнта квазіпружної сили k .§ 32 Розв'язання диференціального рівняння загасаючих коливань.                                                                      Коефіцієнт

загасання, декремент загасання, логарифмічний декремент                     загасання,
добротність
[5]

1 Знайдемо розв 'язок диференціального рівняння гармонічних коливань :

x + 2bx + w0)x = 0. (32.1)

У цьому рівнянні b - коефіцієнт загасання; с 0 - власна частота коливальної системи (тобто

(32.2) (32.2) за

та частота, з якою коливалася б система за умови відсутності загасання). Величина x може бути механічним зміщенням частинки,  електричним зарядом на конденсаторі й т. д. Коефіцієнти b та со0 визначаються параметрами коливальної системи. Будемо шукати розв'язок рівняння (32.1) у вигляді

x = u exp(-b t),

де u - деяка, поки що невідома, функція від t. Диференціювання функції змінною t дає

х = U exp(- bt)-ub exp(- bt) = (u - bu)exp(- bt),

x = (u - bu)exp(- bt)- (u - bu)b exp(- bt) = (u - 2bu + b2u)exp(- bt).

(32.3)

Після підстановки виразів для x, x і x у рівняння (32.1) і скорочення на відмінний від нуля множник exp(-bt) отримаємо диференціальне рівняння для u :

u + (0°-b2 )u = 0.

с=

(32.4)

Розв'язання рівняння (32.3) залежить від знака коефіцієнта, що стоїть біля u . Розглянемо випадок, коли цей коефіцієнт є додатним (тобто b < со0 ). Введемо позначення

с 0 -b2

і отримаємо рівняння

u + o2u = 0. (32.5)

загасаючого

Рівняння (32.5) є диференціальним рівняння гармонічних коливань і тому його розв' язок можемо записати у вигляді

u = A0 cos(o t + a),

де с   є частотою загасаючих коливань (див. також (32.4)). Далі підставляємо отриманий вираз для u в (32.2) і знаходимо у випадку малого тертя ( b < о0 ) розв 'язок диференціального рівняння загасаючих коливань (32.1):x=

A0e bt cos(o t + a)

Тут A0 і a - сталі, значення яких залежать від початкових умов, визначається формулою (32.4).


 

с


(32.6)

величина, що2 Проведемо дослідження отриманого результату (32.6), з'ясуємо характеристики загасаючих коливань. Графік функції (32.6) наведений на рис. 32.1. Штриховими лініями показані межі, у яких знаходиться зміщення змінної величини x .

Відповідно до виду функції (32.6) величину x можна розглядати як гармонічне коливання частоти с з амплітудою, що змінюється за закономA(t) = Ae"bt


(32.7)Величину (32.7) називають амплітудою загасаючих коливань. Верхня зі штрихових кривих на рис. 32.1 дає графік цієї функції, причому A0 є амплітудою в початковий момент часу.

Розглянемо послідовні найбільші відхилення величини x (вони відбуваються через період загасаючих коливань T), наприклад, A, A", A"' і т.д. на рис. 32.1. Неважко з' ясувати, що відношення двох послідовних найбільших відхилень мають одне й те саме значення. Дійсно, коли A = A0 exp(-bt), тоAAL A"

aAL.

A'"


exp(bT),

A0exp[-b(t)]

0-- 1  L     I   V /J .

exp[-b(t + T)]

>exp[-b(t + T)] = exp(bT) exp[-b(t + 2T )] = exp(bT)і т.д. Це означає, що таке відношення може бути характеристикою загасаючого коливання. Таким чином, відношення значень амплітуди, що відповідають моментам часу, що відрізняється на період, дорівнюєA(t + T)


exp(bT).Це відношення називають декрементом загасання, декрементом загасання:


а його логарифм - логарифмічним

1 = ln


A(t) A(t + T) (32.8)Відповідно до формули (32.4) період загасаючих коливань відрізняється від періоду вільних коливань:T


2р


с 02 -b2


(32.9)При незначному терті (b2<< с02) період коливань практично дорівнює періоду вільних коливань T0 = 2p / o0. Зі збільшенням коефіцієнта загасання період коливань зростає. Для характеристики коливальної системи використовується також величина

Q = р /1 [j (32.10)

яка називається добротністю коливальної системи.

З'ясуємо фізичний зміст коефіцієнта загасання b . Знайдемо час t, за який амплітуда

зменшується в e раз. З визначення величини t випливає, що e~bx = e~l, звідки bt = 1. Отже, коефіцієнт загасання b є оберненим до проміжку часу t, за який амплітуда зменшується в e разів (b = 1/1). У цьому й полягає фізичний зміст коефіцієнта загасання.

З'ясуємо фізичний зміст логарифмічного декременту загасання 1. Виразивши відповідно до (32.8) b через 1 і T, можна закон зменшення амплітуди з часом написати у вигляді

A(t)Час т, за який амплітуда зменшується в e раз, система встигає виконати Ne = т / Т коливань. З умови ехр(-1т / Т)= exp(-1) маємо, що 1т / Т = 1Ne = 1. Отже, логарифмічний декремент загасання є оберненим до числа коливань, за час яких амплітуда зменшується в е разів (1 = 1/ Ne ). У цьому полягає фізичний зміст логарифмічного декремента загасання.

Фізичний зміст добротності полягає у тому, що вона прямо пропорційна числу коливань, за час яких амплітуда зменшується в е разів (Q = p /1 = pNe).

 

 

§ 33 Диференціальне рівняння вимушених коливань та його розв'язання [5]

1 Розглянемо механічну коливальну систему із загасанням, яка знаходиться під дією зовнішньої сили, що змінюється з часом за гармонічним законом:

Fx = F0cos Wt. (33.1)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ