О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Під дією зовнішньої періодичної сили в системі виникають вимушені коливання. Знайдемо диференціальне рівняння, яке описує вимушені коливання. Для цього застосуємо другий закон Ньютона:

mx = -kx - rx + F0 cos Wt.

Увівши позначенняp = r /(2m)


со2, =


k/mперетворимо рівняння до такого вигляду:x + 2px + Ш2,x = (F0 / m)cos Wt


(33.2)Тут b - коефіцієнт загасання; со0 - власна частота коливальної системи; W - частота

зовнішньої періодичної сили. Рівняння (33.2) описує вимушені коливання й називається диференціальним рівнянням вимушених коливань.

2 Розглянемо вимушені електричні коливання у коливальному контурі з активним опором. Підключимо до коливального контуру з ємністю C, індуктивністю L й активним опором R зовнішнє джерело змінної напруги:

U = Um cos Wt (33.3)

(див. рис. 33.1). Під дією зовнішньої змінної напруги у контурі виникають вимушені коливання. Отримаємо диференціальне рівняння, яке описує процеси у контурі. Для цього застосуємо закон Ома для ділянки кола 1-3-2 (див. рис. 33.1):

IR = j1 -j2 + E . (33.4)

Слід зазначити, що змінну напругу зовнішнього джерела U тут потрібно враховувати разом з ЕРС самоіндукції. Тобто загальна ЕРС, яка діє в контурі, дорівнює

C

+ q I I - q

E = Es + U = -LdI/dt + U . (33.5)

I

Ч

Різницю   потенціалів   на   конденсаторі   визначимо зі співвідношення

j1 -j2 = q1/ C = (- q)/ C .                          (33 .6)

Тут використали, що заряд пластини конденсатора 1                      U                                I I R

q1 =-q (див. рис. 33.1). Q

"vjuuulaj-

L

Рисунок 33.1

Сила струму I є додатною, коли напрям струму збігається з напрямом обходу ділянки кола 1-3-2, тобто за годинниковою стрілкою. У цьому разі заряд на пластині конденсатора  q2 = q   пов'язаний із силою струму вділянці кола таким співвідношенням:

I = +dq/dt = + q . (33.7)

Знак «+» обумовлений тим, що, коли струм I є додатним, заряд q2 = q збільшується ( q > 0).

Підставимо у (33.4) співвідношення (33.5)-(33.6) з урахуванням (33.7) та (33.3) й отримуємо

Rq = -q / C - Lq + Um cos Wt. (33.8)

Далі вводимо позначенняb = R/(2L)|, Іш0 = 1/(LC)


(33.9)q + 2bq + «2q = (Um / L)cos Wt

і перетворюємо рівняння (33.8) до такого вигляду:

—-—П

(33.10)

Тут b - коефіцієнт загасання; ш0 - власна частота коливального контуру; W - частота

коливань зовнішнього джерела. Рівняння (33.10) описує вимушені коливання й називається диференціальним рівнянням вимушених коливань.

Порівнявши диференціальне рівняння вимушених коливань для механічної системи (33.2) та для електричного коливального контуру (33.10), можемо зробити висновок, що вони є з математичної точки зору однаковими.

3 Знайдемо розв'язок диференціального рівняння вимушених коливань (33.10) (такий самий розв'язок буде й для рівняння (33.2)).

Рівняння типу (33.10) називають неоднорідними диференціальними рівняннями з сталими коефіцієнтами. З теорії лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами відомо, що загальний розв' язок неоднорідного рівняння (тобто рівняння, у правій частині якого стоїть функція від t , яка не дорівнює тотожно нулю) дорівнює сумі загального розв' язку відповідного однорідного рівняння (тобто того ж рівняння, у якому права частина дорівнює тотожно нулю) і частинного розв' язку неоднорідного рівняння. Загальний розв' язок однорідного рівняння ми вже знаємо (розв' язок диференціального рівняння загасаючих коливань). Воно має вигляд

q = q0e"pt cos(wt + a), (33.11)

де со = -у/со2, -b2 - частота загасаючих коливань.

Залишається тепер знайти частинний (який не має довільних сталих) розв' язок рівняння (33.10). Будемо шукати цей розв'язок у вигляді

q = A cos(Wt -j), (33.12)

де j - зсув фаз між зовнішньою напругою і викликаними нею коливаннями в контурі. Спробуємо з'ясувати, чи не існує таких значень A і j, при яких функція (33.12) задовольняє рівняння (33.10). Для цього підставимо у рівняння (33.10) вираз (33.12) і його похідні:

q = - AW sin (Wt -j), (33.13)

q = -AW2 cos(Wt-j), (33.14)

розвертаючи одночасно sin (Wt -j) й cos(Wt - j) за формулами для синуса й косинуса різниці:

- AW2 [cos j cos Wt + sin j sin Wt ]- 2bAW[cos j sin Wt - sin j cos Wt ]+ + C02, A[cos j cos Wt + sin j sin Wt] = (Um / L)cos Wt. Згрупувавши відповідним чином члени рівняння, отримаємо[a(co 2 - W2 )cos j + 2bA W sin j cos Wt - [a(q 0 - W2 )sin j - 2bA W cos j sin Wt = (Um / L)cos Wt.

(33.15)

Для того щоб рівняння (33.15) задовольнялося при будь-яких значеннях t, коефіцієнти при cos Wt й sin Wt в обох частинах рівняння повинні бути однаковими. Звідси знаходимо умови:

a(go2 - W2)cos j + 2bAWsin j = (Um /L), (33.16)

a(go2 -W2 )sin j-2b AW cos j = 0. (33.17)

Із цих співвідношень можна знайти значення A й j, при яких функція (33.11) задовольняє рівняння (33.10). Піднісши рівності (33.16) і (33.17) у квадрат і склавши їх один з одним, отримаємо

A2(со2 - W2) + 4b2A2W2 = (Um /L)2,
^(со2, -W2 ) + 4b2W2


(33.18)З рівняння (33.17) випливає, щос


2bW

-W2


(33.19)Підставивши в (33.12) значення A й j, які визначаються формулами (33.18) і (33.19), отримуємо частинний розв'язок неоднорідного рівняння (33.10):q


Um/L

^(со2, -W24b2W2


cos Wt - arctg—--------

с 20 - W2


(33.20)Функція (33.20) у сумі з (33.11) дає загальне розв'язання рівняння (33.10). Доданок (33.11) відіграє помітну роль тільки на початковій стадії процесу, при встановленні коливань. Із часом через експонентний множник exp(-bt) роль доданка (33.11) зменшується, і через деякий час ним можна знехтувати, зберігши в розв'язку тільки доданок (33.20).

Таким чином, співвідношення (33.20) описує усталені вимушені коливання.q = A cos(Wt - j), ^(со2, -W2 ) + 4b2W2

§ 34 Резонанс. Резонансна частота [5]

1 Резонанс напруги (зміщення). Як відомо, усталені вимушені коливання заряду конденсатора коливального контуру (рис. 34.1) описуються рівнянням

де


A


(34.2)


(34.3)

(34.1)

-W2

с

2bW

tgj = ^


 

I

Г

Q u


C

+ q I I - q

2"1

 

 

 

 

"vjuuuuu-

L

Рисунок 34.1


 

 

 

1


 

 

 

 

 

RУ цих рівняннях Um, W - амплітуда напруги і частота зовнішнього джерела змінної напруги, со0, b, L є відповідно власна частота, коефіцієнт загасання й індуктивність коливального контуру.

Проведемо дослідження амплітуди вимушених коливань A (див. (34.2)) залежно від частоти вимушених коливань W . Залишаючи амплітуду Um зовнішнього джерела постійною, будемо змінювати його частоту W. При W = 0 отримаємо під дією постійної напруги статичне відхилення q0 . При зростанні частоти W амплітуда A також зростає, має

різкий максимум в області частот, які близькі до власної частоти коливальної системи с 0 ,

потім асимптотично прямує до нуля (рис. 34.1).

b1 <b2 <b3

b1

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань у коливальній системі, що відбувається при наближенні частоти періодичного зовнішнього впливу W до власної частоти системи  со0, називається резонансом.

W,

Частота, при якій має місце максимум, називається резонансною частотою. Сукупність графіків функції (34.2), що зображена на рис. 34.1, називається резонансними кривими. Про резонанс заряду на конденсаторі зазвичай говорять як про резонанс напруги тому, що заряд і напруга на конденсаторі пов'язані між собою прямо пропорційно   (UC=q/C).   Резонансу  напруги у

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ