О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 18

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

механічній моделі відповідає резонанс зміщення.

Щоб визначити резонансну частоту у випадку резонансу напруги Wрез, потрібно знайти

максимум функції (34.2) або мінімум виразу, що стоїть під коренем (34.2) у знаменнику. Продиференціювавши цей вираз за W й прирівнявши отриману похідну до нуля, отримаємо умову, що визначає резонансну частоту W рез:

Це рівняння має три розв'язки: W = 0 і W = ±д02 - 2b . Розв'язок, що дорівнює нулю,

відповідає максимуму знаменника (тобто мінімуму амплітуди). З інших двох розв' язків, що є від' ємним, потрібно відкинути, як такий, що не має фізичного змісту (частота не може бути від' ємною). Таким чином, для резонансної частоти отримуємо

-4(с2 -W2)W + 8b2W2 = 0. 0 і WW рез =

рез


V<»0 - 2b2


(34.4)Підставивши це значення в (34.2), знаходимо вираз для амплітуди при резонансі:A=

рез


2Ьл/с0 -b2


(34.5)Із цього виразу випливає, що за умови відсутності опору (тертя) (b = 0) амплітуда при резонансі дорівнювала б нескінченності. Згідно з (34.4) резонансна частота за тих самих умов (при b = 0 ) збігалася б із власною частотою коливань системи с 0 .

Знайдемо відношення амплітуди при резонансі (W = Wрез) до амплітуди, коли частота зовнішнього впливу дорівнює нулю (W = 0 ). При прямуванні частоти до нуля заряд на конденсаторі дорівнює, як це випливає з (34.2), q0 = Um /(La>0)= CUm (тут використали,що W = 0 , с 20 = 1 /(LC)). Це значення відповідає заряду на конденсаторі, який виникає під дією постійної напруги Um. З іншого боку, відповідно до формули (34.5) при малому загасанні (тобто при b << с 0 ) амплітуда при резонансі дорівнює

Um / L

2Ьсо0

A »

рез

виникає

 

(34.6)Таким чином, добротність показує, у скільки разів амплітуда заряду конденсатора при резонансі перевищує заряд, що виникає на конденсаторі під дією постійної напруги, модуль якої дорівнює амплітуді змінної напруги.

b1 <b2 <b3

b1

2 Резонанс струмів (швидкості). Для електричного струму у коливальному контурі також має місце явище резонансу і про це явище говорять як про резонанс струмів (для механічної моделі - резонанс швидкості).

Знайдемо резонансну частоту для резонансу струмів. Виходячи з (34.1) неважко отримати вираз для електричного струму в коливальному контурі під час усталених вимушених коливань:

I = q = - AW sin( Wt - j) = Im cos(Wt - j + p / 2), (34.7)

Um /L

0

W

.(34.8)

де

Im =

WUm /L

^(o>0 -W2) + 4b2W2    ^(со2, -W2)2/ W2 + 4b2

Рисунок 34.3 - Резонансні кри­З (34.8) випливає, що амплітуда коливань струму має іншу    ві для струму у коливальному залежність від частоти зовнішнього періодичного джерела    контурі (швидкості) (див. рис. 34.2). Зрозуміло, що при резонансі амплітуда Im буде максимальною. Максимум

Im буде тоді, коли знаменник (34.8) набуває мінімального значення. Неважко з'ясувати, що це має місце, коли W = со0 . Таким чином, у випадку резонансу струмів (резонансу швидкості) резонансна частота визначається співвідношенням

(34.9)

Wрез = с0

 

 

§ 35 Закон Ома для змінних струмів. Імпеданс. Ємнісний та індуктивний опори [2]

1 Знайдемо зв 'язок між амплітудами змінної напруги та змінного електричного струму у коливальному колі (рис. 34.1). Описані у попередніх параграфах усталені вимушені коливання можна розглядати як проходження у колі, що має ємність C , індуктивність L й активний опір R, змінного струму, який обумовлений змінною напругою

U = Um cos Wt. (35.1) Відповідно до отриманих раніше результатів цей струм змінюється за закономI = q = - AW sin (Wt - j) = Im cos(Wt - j + p / 2) = Im cos(Wt -y), де амплітуда струму Im та фаза Y визначаються співвідношеннями:

AW

Im =

 

^(со2, -W2) + 4b2W2


(35.2)

 

 

(35.3)tgy =tg(j-p/2) = -1/tgj:


с0 -w2

2bW (35.4)(35.5)

Коли ж взяти до уваги, що власна частота та коефіцієнт загасання пов'язані з параметрами контуру співвідношеннями

2   1 R

0 LC 2L

то для амплітуди сили струму у контурі Im і фази y можемо записатиIm =


2 +(WL - 1/(WC ))2


(35.6)WL - 1/(WC ) R


(35.7)Формула (35.6) є подібною до закону Ома у тому розумінні, що амплітуда струму Im

пропорційна амплітуді напруги Um. Тому формулу (35.6) іноді називають законом Ома для

змінного струму. Однак потрібно пам'ятати, що ця формула встановлює співвідношення лише між амплітудами, але не миттєвими значеннями U і I .

У випадку постійного струму відношення напруги до сили струму визначає опір провідника. Подібно до цього при змінному струмі відношення амплітуди повної напруги до амплітуди струмуZ


д/R2 +(WL -1/(WC ))2


(35.8)називають повним електричним опором, або імпедансом.

2 Усяке реальне електричне коло має скінченні R, L й C . В окремих випадках деякі з цих параметрів бувають такими, що їх впливом на струм можна знехтувати. Проаналізуємо ряд таких випадків.

Розглянемо електричне коло, що складається лише з активного опору R. Використовуючи закон Ома, можемо знайти силу струму

тобто

I = U / R = (Um / R)cos Wt = Im cos Wt. Звідси випливає, що струм у цьому випадку змінюється у фазі

напругою,

відповідний зсув фаз дорівнює нулю y = 0, а амплітуда сили струму дорівнюєI =

m R

(35.9)Порівняння отриманого виразу з (35.6) показує, що заміна конденсатора закороченою ділянкою кола означає перехід не до C = 0, а до C = ¥. Також порівняння показує, що заміна котушки індуктивності закороченою ділянкою кола означає перехід до L = 0 .

Розглянемо електричне коло, що складається лише з котушки з індуктивністю L . Це означає, що активним опором кола можна знехтувати при R = 0 , ємність конденсатора можна покласти такою, що дорівнює нескінченності C = ¥. В цьому випадку, використовуючи формули (35.6) та (35.7), отримуємо'•"=& <3510)

a tgy = +00 (відповідно y = +p 12). Величину

XL = WL (35.11)

називають реактивним індуктивним опором, або просто індуктивним опором кола. Як бачимо, y = +p /2, тобто напруга на індуктивності випереджає струм на p /2.

Розглянемо електричне коло, що складається лише з конденсатора з ємністю C. Тобто припускаємо, що можна покласти такими, що дорівнюють нулю, R й L. Тоді відповідно до формул (35.6) та (35.7)

'm =   Um   , (35.12) m 1/(WC)

tgy = -co (тобто y = -p /2 ). Величину

 

XC = 7777 (35.13)

WC

називають реактивним ємнісним опором, або просто ємнісним опором. Оскільки y = -p / 2, напруга на конденсаторі відстає від струму на p /2.

3 Як бачимо, на конденсаторі та котушці напруга і струм зміщені за фазою на p /2. Це приводить до того, що середня потужність, яка виділяється на цих елементах, дорівнює нулю. Дійсно,

 

< PC >=< ' UC >=— f 'm cos(Wt - (-p / 2))Um cos(Wt)dt =              'mUm  f sin (2Wt)dt = 0,

 

W 2p/W                                                      W 2p/W

< PL >=< ' UL >=— f 'm cos(Wt - (+p / 2))Um cos(Wt)dt = — 'mUm  f sin (2Wt)dt = 0 .

 

Саме через цю особливість ємнісний XC та індуктивний XL опори називають реактивними, на конденсаторі та котушці індуктивності тепло не виділяється.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ