О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

dt -іх = 0, u

звідки

іх / dt = u.

Ліва частина цієї рівності визначає швидкість переміщення даного значення фази. Таким чином, швидкість поширення хвилі u в рівнянні (36.3) є швидкістю переміщення фази, у зв'язку з чим її називають фазовою швидкістю.

Згідно з (36.4) значення х з часом зростає. Отже, рівняння (36.3) описує хвилю, що поширюється у бік зростання х. Хвиля, що поширюється в протилежному напрямку, описується рівняннямt + J + a


(36.5)Це випливає з того, що, зафіксувавши в (36.5), значення фази, ми знайдемо, що зі збільшенням t координата х зменшується.Рівнянню (36.3) можна надати симетричного відносно х і t вигляду. Для цього введемо величину

k = 2p /11 (36.6)

яка називається хвильовим числом. Помноживши чисельник і знаменник виразу (36.5) на період T, можна подати хвильове число у вигляді

k = ш / u j (36.7) Розкривши в (36.3) круглі дужки й взявши до уваги (36.7), одержимо рівняння

£(х, t) = A cos[w t - кх + a]

(36.8)

Це співвідношення також є рівнянням хвилі. Рівняння хвилі, що поширюється убік зменшення х, відрізняється від (36.7) тільки знаком біля кх .

Якщо напрям поширення плоскої хвилі утворює із осями координат X, Y, Z відмінні від нуля кути, то рівняння хвилі буде мати складніший вигляд. Неважко показати, що в цьому випадку воно буде таким£(r,t) = A cos(wt -k r +a)


(36.9)де r - радіус-вектор, проведений у розглянуту точку простору; к = kn - хвильовий вектор, що напрямлений у бік поширення хвилі - вектор нормалі до хвильової поверхні в даній точці простору).

Функція (36.9) дає зміщення з положення рівноваги точки з радіусом-вектором r у момент часу t (нагадаємо, що r визначає рівноважне положення точки), Щоб перейти від

радіуса-вектора точки до її координат х, у, z , виразимо скалярний добуток kr через компоненти векторів на координатні осі:

kr = kхх + kyy + kzz . Тоді рівняння плоскої біжучої хвилі набуде вигляду

І £( х, у, z, t) = A cos(wt -     - kyy - kzz + a) II. (36.10)

Тут kx, ky, kz - проекції хвильового вектора на відповідні координатні осі.

При розгляді рівняння плоскої хвилі ми припускали, що амплітуда коливань не залежить від х . Для плоскої хвилі це справедливо в тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі поступово зменшується - відбувається загасання хвилі. Дослід показує, що в однорідному середовищі загасання відбувається за експонентним законом A = A0 exp(-ух). Тому рівняння плоскої загасаючої хвилі, що поширюється вздовж осі X, має вигляд£(х, t) = A0e ух cos(wt - /сх + a)


(36.11)де A0 - амплітуда в площині х = 0 .

Знайдемо рівняння сферичної хвилі. Будь-яке реальне джерело хвиль має кінцеву довжину. Однак якщо обмежитися розглядом хвилі на відстанях від джерела, що значно перевищують його розміри, то джерело можна вважати точковим. У наслідок центральної симетрії в однорідному й ізотропному середовищі хвиля, що створюється точковим джерелом, буде сферичною. Припустимо, що фаза коливань джерела дорівнює (c t - a). Тоді точки, що лежать на хвильовій поверхні радіуса r , будуть коливатися з фазою

w(t - r / u)+a = wt - kr + a

(щоб пройти шлях r, хвилі потрібен час t = r / u). Амплітуда сферичної хвилі, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, не залишається сталою - вона зменшується звідстанню від джерела за законом 1/ r (це буде показано далі). Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд£(х, t) = A cos(w t - kr + a)
_______ r_____________


(36.12)§ 37 Хвильове рівняння. Фазова швидкість поширення хвиль у твердому тілі й газі [5]

1 Хвильовим рівнянням називається лінійне однорідне диференціальне рівняння у частинних похідних, що описує поширення хвиль у середовищі або у вакуумі. Знайдемо вигляд цього рівняння, виходячи з рівняння плоскої гармонічної хвилі

£(х,у, z,t) = Acos(wt -/хх-kyy -kzz + a) . (37.1) Другі частинні похідні функції (37.1) за кожною із змінних мають такий вигляд:д 2£ dt2


-ш2 A cos(wt - /хх - ky - kzz + a) = -ш2£,д 2£ = dx 2

Сума похідних за координатами


-k2£,


д 2£ dy 2 -kv2£,


д 2£ dz2 -kz2£^+S=-k2+k2+k2 2£

відрізняється від похідної за часом множником k2 /c 2, що дорівнює 1 /u2. Отже,

д2£   д 2£   д 2£    1 д 2£

|dX2   dy2   dz2    u2 dt2 Це і є хвильове рівняння. Його можна написати у вигляді1 д2£

u2 dt7


(37.2)де А

оператор Лапласа.

д2   д2 д2

■ + =- + -

dX2   dy2   dz2

Зазначимо, що для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі X, хвильове рівняння має вигляд

д2£   1 д2£

-7Т = ~"ТТ. (37.3) dx     u dt

Незважаючи на те що ми одержали рівняння (37.2), виходячи з функції, яка описує плоску гармонічну хвилю, це рівняння описує й хвилі іншого вигляду. Наприклад, легко переконатися у тому, що будь-яка функція типу

f^ ^ t)= f(wt - //хх - kyy - kzz + a) (37.4)

задовольняє хвильове рівняння (37.2).

Також можна стверджувати: будь-яка функція, що задовольняє рівняння типу (37.2), описує деяку хвилю, причому корінь квадратний з величини, обернений коефіцієнту при

д2£ / dt2, дає фазову швидкість цієї хвилі.

2 Використовуючи вищесформульовану властивість можна отримати вирази для швидкості хвиль у різних середовищах.Фазова швидкість поздовжньої пружної хвилі визначається співвідношенням

||и = -Je і р


(37.5)де р - густина речовини; Е - модуль Юнга цієї речовини.

Фазова швидкість поперечної пружної хвилі має виглядu =


(37.6)де G - модуль зсуву.

Швидкість поширення звукових хвиль описується такою формулою:u=


(37.7)де у - стала адіабати; R - універсальна газова стала; T - абсолютна температура; m молярна маса газу.§ 38 Густина енергії пружної хвилі [5]

(38.1)

1 Отримаємо співвідношення для відносної деформації стержня e. Розглянемо циліндричний стержень із однорідного й ізотропного матеріалу. Припустимо, що вздовж стержня поширюється плоска гармонічна хвиля. У цьому випадку частинки, що лежать у поперечному перерізі стержня, який визначається координатою x, будуть мати зміщення £ , що визначається функцією

£ = A cos(ot - kx + a).

x + Dx

1

Ax

Виділимо в стержні елемент довжини Dx, обмежений за умови відсутності хвилі перерізами x й x + Dx (рис. 38.1). Якщо переріз із координатою x має в деякий момент  часу зміщення   £ ,  то  зміщення  перерізу з

£ + А£

£

Рисунок 38.1

Деформація еле­мента стержня при поширенні в ньому поздовжньої пружної хвилі

координатою x + Dx буде дорівнює £ + А£ . Оскільки зміщення перерізів із різними значеннями координати x неоднакові, розглянутий елемент стержня виявляється деформованим - він отримує видовження . Відношення А£ і Ax дає середнє значення < є > відносного видовження елемента стержня Ax. Щоб отримати деформацію є в перерізі x, потрібно спрямувати Dx до нуля. Отже,

є = і dx

(38.2)

(символ частинної похідної взятий тому, що £ залежить не тільки від x, але й від t).

2 Знайдемо потенціальну енергію пружно-деформованого стержня.

F =

пр

Коли стержень довжиною l0 та з поперечним перерізом S має видовження Dl, то в ньому виникає сила пружності, яка визначається співвідношенням

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ