О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 21

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Ss = SE = kD/ , lo

де a - механічна напруга в стержні; Е - модуль Юнга; к = SE і /0 - коефіцієнт пружності. Відомо, що потенціальна енергія пружно-деформованого тіла визначається виразом
W =

р


2


к-D/2   SE Dl2 Е


(Slo ) = Eeh Vде є


відносне видовження, а V - об'єм стержня.Звідси знаходимо, що у деформованому стані стержень має густину потенціальної енергії (потенціальна енергія одиниці об'єму)р

Ee2


(38.3)3 Знайдемо густину енергії хвилі, що поширюється у стержні. Виділимо в середовищі елементарний об'єм DV , настільки малий, щоб швидкість руху й деформацію у всіх його точках можна було вважати однаковими й такими, що дорівнюють відповідно і dt й і dx (див. (38.2)). Виділений об'єм має кінетичну енергіюDWk =Pfd£ 2 V dt


2


DV


(38.4)( PDV


- маса об'єму; d£ I dt - його швидкість).

Розглянутий об'єм має також потенціальну енергію пружної деформації (див. (38.3):DWp


2


Еє 2


DV


DV( є = d£ I dx - відносна деформація об'єму; E - модуль Юнга середовища). Фазова швидкість

поширення пружної хвилі у стержні визначається співвідношенням u = -/ЕТр . Виразимо

модуль Юнга з цього співвідношення Е = ри2 - густина середовища). Тоді вираз для потенціальної енергії об'єму DV набуває виглядуDV

DWp

2 Vdx,

Сума виразів (38.4) і (38.5) дає повну енергію DW об'єму DV :


(38.5)DW = DWk +DWp = І р


(


 

dt


2


x


2


DVРозділивши цю енергію на DV , отримаємо густину енергії:w = — р

2


2


x


2


(38.6)Диференціювання рівняння (38.1) один раз за t, інший раз за x дає

d£ I dt = - Aw sin (wt - kx + a), d£ I dx = Ak sin (wt - kx + a).

Підставивши ці вирази у формулу (38.6) і врахувавши, що k2u2 =ш2, отримуємо густину енергії, що виникає в пружному середовищі при поширенні в ній плоскої поздовжньої хвилі:

w = рА2ш^іп2(wt - kx + a) . (38.7)

Можна показати, що для поперечної хвилі густина енергії визначається такою ж формулою, як і для поздовжньої. У випадку хвильових поверхонь будь-якої форми в межах малого об'єму хвилю можна приблизно вважати плоскою. Отже, вираз (38.7) є правильним для гармонічних хвиль будь-якого вигляду (сферичних, циліндричних і т.п.). Цей вираз є правильним також і для загасаючих хвиль.

З (38.7) випливає, що густина енергії в кожний момент часу в різних точках простору різна. В одній і тій самій точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення квадрата синуса дорівнює 1I2. Відповідно середнє за часом значення густини енергії в даній точці середовища дорівнює< w >=

(l/2)p/4V

(38.8)

Таким чином, густина енергії (38.7) і її середнє значення (38.8) пропорційні густині середовища p, квадрату амплітуди A й квадрату частоти со хвилі.§ 39 Вектор Умова. Інтенсивність [5]

1  Середовище, у якому поширюється пружна хвиля, має додаткову механічну енергію. Ця енергія передається від джерела коливань у різні точки середовища самою хвилею. Отже, хвиля переносить із собою енергію. Кількість енергії, що переноситься хвилею через деяку поверхню за одиницю часу, називається потоком енергії через цю поверхню. Якщо через поверхню переноситься за час dt енергія dW, то потік енергії Ф дорівнює

ф = dW / dt і. (39.1)

Потік енергії - скалярна величина, як випливає зі співвідношення (39.1), він вимірюється у системі СІ у ватах (1 Вт=1 Дж/с).

2  Перенесення енергії у різних точках простору може бути неоднаковим. Для характеристики перенесення енергії в різних точках простору використовується векторна величина, яка називається густиною потоку енергії. Ця величина чисельно дорівнює потоку енергії через одиничну площадку, яка розміщена в даній точці перпендикулярно до напрямку, у якому переноситься енергія. Напрям вектора густини потоку енергії збігається з напрямом перенесення енергії.

Якщо через площадку AS±, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі, переноситься за час at енергія aW, то густина потоку енергії дорівнює

(39.2)

і

аф = AWW

AS± AS±At

AW

Через площадку AS± (рис. 39.1) буде перенесена за час At енергія AW, що знаходиться в об'ємі циліндра з основою AS± й висотою uAt: (u - фазова швидкість хвилі). Якщо AS± й uAt достатньо малі, щоб густину енергії у всіх точках циліндра можна було вважати однаковою, то AW дорівнює добутку густини енергії w на об'єм циліндра AS± uAt:

wAS,uAt

Підстановка цього виразу в (39.2) дає для модуля густини потоку енергії формулу

j = wu . (39.3)

Нарешті, якщо ввести вектор u, модуль якого дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрям збігається з напрямом поширення хвилі (і перенесення енергії), отримаємо


AS,


 

 

uІ = wu \ (39.4)

Ми отримали вираз для вектора густини потоку енергії. Для пружних хвиль цей вектор був уведений Н.О. Умовим і називається вектором Умова. У загальному випадку він є різним у різних точках простору, а в даній точці змінюється з часом за законом квадрата синуса. Його середнє значення дорівнюєpA2w2 u

2


(39.5)Вираз (39.5) є правильним для хвиль будь-якого типу (сферичних, загасаючих і т.д.). За визначенням під інтенсивністю хвилі в даній точці розуміють середнє за часом значення модуля вектора густини потоку енергії, що переноситься хвилею. Тому співвідношення (39.5) визначає інтенсивність хвилі (часто інтенсивність хвилі позначають через I =< j >).

3 Якщо вектор j є відомим у всіх точках довільної поверхні S, то можна обчислити потік енергії через цю поверхню. Розіб'ємо поверхню на елементарні ділянки dS . За час dt через площадку dS пройде енергія dW, що знаходиться в зображеному на рис. 39.2 косому циліндрі об'ємом dV = udtdS cos j. У циліндрі міститься енергія dW = wdV = wudtdS cos j

(w - миттєве значення густини енергії у тому місці, де розміщена площадка dS. Подамо енергію у вигляді

dW = jdtdS cos j = jdSdt
потоку  енергії   dF через

jdS .

поверхню

( dS = dSn , j = wu ). Звідси для площадку dS отримуємо вираз

dF = dW / dt

S

Повний потік енергії через елементарних потоків (39.6):

F = J jdS

S

Замінивши в цій формулі вектор j його середнім значенням, отримаємо середнє значення потоку енергії:

||<F>= J< j > dS\4 Знайдемо середнє значення потоку енергії через одну із хвильових поверхонь незагасаючої сферичної хвилі. У кожній точці цієї сферичної поверхні вектори j й dS збігаються за напрямом. Крім того, модуль вектора j для всіх точок поверхні однаковий. Отже,

< F >= J < j > dS = < j > S =< j > Apr2 .

S

(r - радіус хвильової поверхні). Згідно з (39.5) < j >= (1/2)pA2co2u . Тому

<F>= 2ppcozuAr2r 2

(Ar - амплітуда хвилі на відстані r від джерела). Оскільки енергія хвилі не поглинається середовищем, середній потік енергії через сферу будь-якого радіуса повинен мати однакове значення, тобто повинна виконуватися умова

A2 r 2 = const

Звідси випливає, що амплітуда Ar незагасаючої сферичної хвилі обернено пропорційна відстані r від джерела Ar =(l/ r)-Vconst.

 

 

§ 40 Звукові хвилі та їх застосування. Висота, тембр та гучність звуку. Рівень гучності. Ефект Допплера для звукових хвиль [5]

1 Характеристики звуку. Якщо пружні хвилі в повітрі мають частоту в межах від 16 до 20000 Гц, то, досягнувши людського вуха, вони викликають відчуття звуку. Тому пружні хвилі в будь-якому середовищі, які мають частоту, що перебуває в зазначених межах,називають звуковими хвилями, або просто звуком. Пружні хвилі із частотами, меншими 16 Гц, називаються інфразвуком, а із частотами, що перевищують 20000 Гц, - ультразвуком. Інфра- та ультразвуки людське вухо не чує.

Люди розрізняють звуки за висотою, тембром та гучністю. Кожній із цих суб'єктивних оцінок відповідає певна фізична характеристика звукової хвилі.

Будь-який реальний звук є накладенням гармонічних коливань із певним набором частот. Цей набір називається акустичним спектром звуку. Якщо у звуці присутні коливання всіх частот, які перебувають у деякому інтервалі від v' до v", то спектр називається суцільним. Якщо звук складається з коливань дискретних частот v1, v2, v3 і т.д.,

то спектр називається лінійчастим. Суцільний акустичний спектр мають шуми. Коливання з лінійчастим спектром викликають відчуття звуку з більш-менш певною висотою. Такий звук називається тональним.

Висота тонального звуку визначається основною (найменшою) частотою. Відносна інтенсивність обертонів (тобто коливань із частотами  v2, v3 й т.д.) визначає забарвлення,

або тембр звуку. Різний спектральний склад звуків, які створюються різними музичними інструментами, дозволяє відрізнити на слух, наприклад, флейту від скрипки або рояля.

L, дБ

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ