О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

від      вузла,      коливаються в протилежних фазах. Усі точки, що T знаходяться  між  двома  сусідніми       t + 72"' вузлами,    коливаються синфазно

(тобто в однаковій фазі). На рис. 41.1    Рисунок 41.1 - По вертикалі відкладені відхилення

частинок середовища від положення рівноваги у

наведено      ряд      «моментальних                   .           К                     .                        " . J

стоячій хвилі для моментів часу, що відрізняються

фотографій»   відхилень  точок   від                                  . .

т-г                         на чверть періоду. Стрілками показані швидкості

положень рівноваги. Перша з них

частинок

відповідає моменту, коли відхилення

досягли найбільшого значення. Наступні зроблені з інтервалами у чверть періоду.

Вузли зміщення ніби розділяють стоячу хвилю на автономні області, у яких відбуваються незалежні гармонічні коливання. Ніякого передавання руху від однієї області до іншої, а отже, і перетікання енергії через вузли не відбувається. Інакше кажучи, немає ніякого поширення збурення вздовж хвилі. От чому збурювання, що подані виразом (41.2), називаються стоячою хвилею. Зазначимо ще, що у вузлах зміщення похідні / dx, тобто відносна деформація, є максимальною, а в пучностях зміщення / dx =0. Тому вузли зміщення є пучностями деформації, а пучності зміщення - вузлами деформації.

3 У закріпленій з обох кінців натягнутій струні при збудженні поперечних коливань n = 1 установлюється стояча хвиля, причому в місцях закріплення струни утворюються вузли. Тому в струні збуджуються з помітною інтенсивністю тільки такі коливання, половина довжини хвилі яких укладається на струні ціле число раз (див.

рис. 41. 2). Звідси випливає умова                                       n = 3 ;^<ТГГ^Г-"-У^^'ГГТіУ||

1 = п ,або1й=— (п = 1,2,3,...)      (41.6)   Рисунок 41.2-Нормальні коливання
2                    
n                                               (гармоніки) струни

(l - довжина   струни).   Цим   довжинам хвиль відповідають частоти

 

vn =T- = un (n = 1,2,3,...) (41.7)

1 n 21

(u - фазова швидкість хвилі, обумовлена силою натягу струни й масою одиниці довжини, тобто лінійною густиною струни).

Частоти vn називаються власними частотами струни. Вони є кратними частоті

v1 =u/21,

яку називають основною частотою.Гармонічні коливання із частотами (41.7) називаються власними, або нормальними, коливаннями. Їх називають також гармоніками. У загальному випадку коливання струни являє собою накладення різних гармонік.

Коливання струни відзначаються тим, що для них із класичних уявлень отримуємо дискретні значення однієї з величин, що характеризує коливання (частоти). Для класичної фізики така дискретність є винятком. Для квантової фізики дискретність є швидше правилом, ніж винятком.

 

 

§ 42 Хвильовий пакет. Групова швидкість [5]

1 Хвиля, що має форму короткого імпульсу («сплеску»), може бути розглянута як суперпозиція (накладення) гармонічних хвиль, частоти яких перебувають в деякому інтервалі Дсо. Таке утворення називається хвильовим пакетом (або групою хвиль) (рис. 42.1). Рівняння хвильового пакета має вигляд

со0+Дсо /2 со0 -Дсо /2

де Aw - амплітуда, що відповідає одиничному інтервалу частот; со0 - основна частота; Дсо -


інтервал частот, поданих у пакеті. У межах пакета гармонічні хвилі, що його утворюють, в більшому або меншому ступені підсилюють одна одну. Поза пакетом ці хвилі практично гасять одна одну.

Інтервалу частот  Дсо   відповідає інтервал хвильових чисел  Дк. Із             розрахунку

випливає, що ширина пакета Дх пов'язана з інтервалом хвильових                          чисел Дк
співвідношенням

Дх к = 2р . (42.1)

Відомо, що фазова швидкість хвилі визначається співвідношенням

и = со /к . (42.2)

Звідси випливає, що чим більше Дсо, тим більше Дк. Таким чином, чим вужче хвильовий пакет, тим більшим повинен бути інтервал частот гармонічних хвиль, поданих у пакеті.

2 Знайдемо швидкість поширення центра хвильового пакета. При додаванні біжучих хвиль різної частоти потрібно мати на увазі можливість дисперсії хвиль, тобто залежності фазової швидкості гармонічної хвилі від частоти со (або, що те ж саме, від довжини хвилі

1).

Дисперсія, як правило, характеризується дисперсійним співвідношенням

к = к (со) = со / и(со), (42.3)

де к - хвильове число; и(со) - фазова швидкість. Для хвиль, які поширюються в недиспергуючих середовищах, швидкість u не залежить від частоти, і к є пропорційним до с . Для диспергуючих середовищ к залежить від с за нелінійним законом.За умови відсутності дисперсії всі хвилі, що утворюють пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю. Очевидно, що з такою самою швидкістю переміщується й хвильовий пакет, причому форма його не змінюється. Можна показати, що в диспергуючому середовищі пакет із часом розпливається - ширина його збільшується. Якщо дисперсія невелика, разпливання пакета відбувається не занадто швидко. У цьому випадку пакету можна «приписати» швидкість u, під якою розуміємо швидкість переміщення центра пакета, тобто точки з максимальним значенням амплітуди. Цю швидкість називають груповою.

У диспергуючих середовищах групова швидкість виявляється відмінною від фазової. Покажемо це на прикладі накладення двох хвиль із частотами с 0 -Дс /2 й с 0 +Дс /2

(відповідно із хвильовими числами к0 - Дк/2 й к0 + Дк/2). Амплітуди хвиль будемо вважати однаковими. У цьому випадку рівняння результуючої хвилі має вигляд

X = Acos[(o0 - Дсо/ 2)t-(к0 -Дк/2)х]+Acos[(o0 + Дсо/2)t-(к0 + Дк/2)х]. Скориставшись формулою для суми косинусів, перетворимо цей вираз:

X = 2A cos^o / 2)t - (Дк / 2)x]cos(o0t - к0х).

Отриманий вираз можна розглядати як рівняння біжучої гармонічної хвилі з амплітудою, що змінюється за законом

амплітуда = 2A cos^o / 2)t - к / 2)х].

Максимальне значення амплітуди отримуємо за умови, коли величина, яка стоїть під знаком косинуса, дорівнює нулю. Звідси випливає, що координата хт центра хвильового пакета в момент часу t визначається зі співвідношення

(До/2)t - к/2)хт = 0.

Розділивши хт на t , знайдемо швидкість переміщення центра хвильового пакета, тобто групову швидкість:

u = хт /1 = До / Дк .

У випадку накладення хвиль із неперервним набором частот групова швидкість визначається виразом

u = do / йк (42.4)

(порівняйте з формулою (42.2)).

Замінивши згідно з (42.2) с через u к , вираз (42.4) можна подати у вигляді

u = ^^ = u + к = u + к       . (42.5)

а1к                а1к             dl а1к

За визначенням к = 2p /1, тобто 1 = 2p / к . Отже, dl / dk =-2p / к2 =-1 / к . Підстановка цього значення dl / а1к в (42.5) приводить до формули

u = u-1(du/dl) . (42^)

За умови відсутності дисперсії du / dl = 0 і u = u . Формула (42.6) дозволяє знайти групову швидкість u за відомою залежністю фазової швидкості u від довжини хвилі 1.

Енергія хвилі пропорційна квадрату амплітуди. Тому швидкість перенесення енергії хвилі дорівнює групової швидкості.

Слід мати на увазі, що поняття групової швидкості можна застосовувати тільки за умови, коли поглинання енергії хвилі в даному середовищі невелике. При значному загасанні хвилі поняття групової швидкості втрачає свій зміст.§ 43 Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Фазова швидкість поширення електромагнітної хвилі [5]

1  З рівнянь Максвелла:

 

rotE = - —, (43.1) dt

divB = 0, (43.2)

 

rotH = j + , (43.3) dt

divD = p, (43.4)

випливає, що змінні електричне й магнітне поля взаємно створюють одне одного: змінне магнітне поле створює електричне (див. рівняння (43.1)), змінне електричне поле створює магнітне (див. рівняння (43.3)). Таким чином, якщо збудити за допомогою коливальних електричних зарядів змінне електромагнітне поле, то в просторі виникає послідовність взаємних перетворень електричного й магнітного полів, які поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним і у часі, і у просторі і, отже, є хвилею.

2  Покажемо, що існування електромагнітних хвиль випливає з рівнянь Максвелла (43.1)—(43.4). Виконаємо це на прикладі плоскої хвилі, що поширюється в однорідному й ізотропному   нейтральному   (p = 0)   непровідному   (j= 0    )   середовищі   з сталими

проникностями є й m.

Спрямуємо вісь X перпендикулярно до хвильових поверхонь. Тоді вектори E і H, а отже, і їх проекції на координатні осі не будуть залежати від координат y і z . Тому рівняння (43.1)-(43.4) спрощуються:

dH    dE             dHy   dEy dH

0 = m0^-rr, —Г = m0^^r, ~T^ = -m0^-;r, (43.5)

dt     dx                dt     dx dt

x = ^0^^ = 0, (43.6)

dE    dH               dEy   dHy dE

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ