О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 24

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

0 = є0є tdt= -е0^ if=є0є1г (43.7)

^ = Є0Є^ = 0. (43.8)

Перше з рівнянь (43.7) і рівняння (43.8) показують, що Ex не залежить ні від t, ні від х. Перше з рівнянь (43.5) і рівняння (43.6) дають такий самий результат для Hx. Отже, відмінні від нуля Ex та Hx можуть бути обумовлені тільки сталими однорідними полями, що накладаються на електромагніт не пол е хвилі. Саме ж поле хвилі не має складових уздовж

осі X. Це означає, що вектори E та H перпендикулярні до напрямку поширення хвилі, тобто електромагнітні хвилі є поперечними. Надалі ми будемо вважати постійні поля відсутніми: Ex = Hx = 0.

Два останніх рівняння (43.5) і два останніх рівняння (43.7) можна об'єднати у дві взаємно незалежні групи:

 

- = -|m0|m—-, —- = -є0є-, (43.9)
dx                dt      dx dt

dEz           dHy    dHy        dEz (4310)

—- = m0m—-, = є0є-. (43.10)

dx        dt      dx dtкомпоненти

та Hу . Для

Перша група рівнянь зв'язує компоненти Еу та Hz, друга

розгляду плоскої електромагнітної хвилі досить узяти одну із систем рівнянь (43.9) або (43.10), вважаючи проекції, що фігурують в іншій системі, такими, що дорівнюють нулю.

х й виконаємо заміну:

Візьмемо для опису хвилі рівняння (43.9), поклавши Ez

д dHz

із другого рівняння, отримаємо для Еу рівняння


Продиференціюємо Підставивши потім

д 2 Еу

д 2 Еу

У

дх х

 


(43.11)Продиференціюємо за змінною х друге з рівнянь (43.9), знайдемо після аналогічних перетворень рівняння для Hz :д 2 Hz

дх х


дії

д 2 Hz

SomoSm"


(43.12)Слід мати на увазі, що рівняння (43.11) і (43.12) повинні розглядатися спільно, тому що вони

отримані з рівнянь (43.9), кожне з яких містить і Е, і H .

Рівняння (43.11) і (43.12) є типовими хвильовими рівняннями. Будь-яка функція, що задовольняє таке рівняння, описує деяку хвилю, причому корінь квадратний з величини, оберненої коефіцієнту при похідній за часом, дає фазову швидкість цієї хвилі. Отже, рівняння (43.11) і (43.12) показують, що електромагнітні поля можуть існувати у вигляді електромагнітних хвиль, фазова швидкість яких дорівнює

(43.13)

У співвідношенні (43.13) ввели позначення c 1/^/e0|m0 . Розрахунки показують, що за своєю

розмірністю та числовим значенням вищенаведена величина c є швидкістю світла у вакуумі. Таким чином, у вакуумі (тобто при є m1) швидкість електромагнітних хвиль збігається зі швидкістю світла c .

§ 44 Напруженість електричних і магнітних полів у лінійно поляризованій електромагнітній хвилі [5]

1 З рівнянь Максвелла для плоскої хвилі, що поширюється в однорідному й ізотропному нейтральному (р 0) непровідному (j 0) середовищі з сталими проникностями є та m, випливає (вісь X напрямлена перпендикулярно до хвильових поверхонь):дЕу

дЕу

0є"

дх                 ді      дх ді

Цю систему рівнянь неважко перетворити до такого вигляду:


(44.1)д 2 Еу дх2

д 2 Hz дх2 ді2

д2 Hz 1?

 

(44.2)

 

 

(44.3)Рівняння (44.2) і (44.3) є типовими хвильовими рівняннями. Знайдемо розв'язок цих рівнянь. Як відомо, будь-яка функція, що задовольняє таке рівняння, описує деяку хвилю, причомукорінь квадратний з величини, оберненої коефіцієнту при похідній за часом, дає фазову швидкість цієї хвиліu


(44.4)У співвідношенні (44.4) ввели позначення c1/^/e0|m0 . Розрахунки показують, що за своєю

розмірністю та числовим значенням вищенаведена величина c є швидкістю світла у вакуумі. Таким чином, у вакуумі (тобто при є m1) швидкість електромагнітних хвиль збігається зі швидкістю світла c .

Розв'язками рівнянь (44.2) й (44.3) є функції

Еу Ет cos(cot - кх + a1), (44.5)

Hz Hm cos(wt - кх + a2). (44.6)

У цих формулах w - частота хвилі; к - хвильове число, що дорівнює ш / u (u - фазова швидкість, що визначається (44.4)); a1 і a2 - початкові фази коливань у точках з координатою х 0 .

Підстановка функцій (44.5) і (44.6) у рівняння (44.1) приводить до співвідношень кЕт sin (wt - кх + a1) |m0|mwHm sin (wt - кх + a 2),

kHm sin (wt - кх + a 2) є0єшЕт sin (wt - кх + a1).

Для того щоб ці співвідношення задовольнялися при будь-яких значеннях t і х, необхідно, щоб початкові фази a1 і a 2 були однаковими. Крім того, повинні виконуватися рівності

кЕт m0mwHm ,   Є0ЄшEm Шт .

Перемноживши ці рівності, знайдемо, що

Є0єЕт —m,mH2n. (44.7)

Таким чином, коливання електричного й магнітного векторів відбуваються з однаковою фазою ( a1 a2 ), а амплітуди цих векторів пов'язані співвідношенням

 

По множивши рівняння (44.5) на орт осі Y

Y

(Eyey Е ), а рівняння (44.6) на орт осі Z (Hzez H ),

отримаємо рівняння плоскої електромагнітної хвилі у векторному вигляді:

H

Е Ет cos(wt - кх) ^

Hm cos(wt - кх)

(44.9)

(ми взяли a1 a2 0 ). Таким чином, амплітуди напруженості електричного та магнітного в плоскій електромагнітній хвилі пов'язані між собою співвідношенням (44.8), миттєві значення - виразом (44.9).

2 Виходячи з (44.9), побудуємо розподіл напруженості електричного і магнітного полів як функції координати х для деякого фіксованого моменту ч асу (ди в. рис. 44.1). З рис. 44.1 випливає, що

вектори Е та H утворюють із на прямом поширення хвилі правогвинтову систему. У

фіксованій точці простору вектори Е та H змінюються з часом за гармонічним законом.Вони одночасно збільшуються від нуля, потім через 1/4 періоду досягають найбільшого

значення, причому якщо E напрямлено вгору, то H напрямлений вправо (дивимося вздовж напрямку поширення хвилі). Ще через 1/4 періоду обидва вектори одночасно перетворюються в нуль. Потім знову досягають найбільшого значення, але цього разу E напрямлений вниз, а H вліво. І, нарешті, на завершенні періоду коливання вектори знову

перетворюються в нуль. Такі зміни векторів E і H відбуваються у всіх точках простору, але зі зміщенням за фазою, яка обумовлена відстанню між точками вздовж осі X .

3 Максвелл передбачив теоретично існування електромагнітних хвиль ще у 1865 р. Перші досліди з несвітловими електромагнітними хвилями були здійснені Г. Герцом у 1888 р. Для випромінювання хвиль Герц застосував винайдений ним вібратор, що складається із двох стержнів, розділених іскровим проміжком (рис. 44.2). При подачі на вібратор високої напруги від індукційної котушки у проміжку проскакувала іскра. Вона закорочувала проміжок, і у вібраторі виникали загасаючі електричні коливання. За час горіння іскри встигала відбутися велика кількість коливань, що створювала цуг електромагнітних хвиль, довжина яких приблизно у два рази перевищувала довжину вібратора. Приймання хвиль Герц здійснював за допомогою такого самого вібратора (без індуктора) з невеликим іскровим проміжком посередині. При розміщенні такого вібратора паралельно вектору напруженості електричного поля хвилі в ньому збуджувалися коливання струму й напруги. Оскільки довжина вібратора вибиралася такою, що дорівнювала l / 2, коливання у ньому внаслідок резонансу досягали такої інтенсивності, що викликали проскакування в іскровому проміжку невеликих іскор. Спостереження цих невеликих іскор свідчило про наявність у даній точці простору електромагнітної хвилі.

§ 45 Вектор Пойтінга [5]

1 Поширення будь-якої хвилі пов'язане з перенесенням енергії. Електромагнітні хвилі також переносять енергію. За умови відсутності дисперсії швидкість перенесення енергії дорівнює фазовій швидкості u, і густину потоку енергії можна отримати, помноживши густину енергії w  на u (тут використали формулу для вектора Умова). У випадку

електромагнітних хвиль вектор густини потоку енергії прийнято позначати буквою S . Отже,

модуль вектора S дорівнює

S = wu . (45.1)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ