О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

(54.2)Ця формула є аналітичним виразом принципу Гюйгенса-Френеля.

Таким чином, між інтерференцією й дифракцією немає істотної фізичної різниці. Обидва явища полягають у перерозподілі світлового потоку у результаті суперпозиції хвиль. Через історичні причини перерозподіл інтенсивності, що виникає в результаті суперпозиції хвиль, які збуджуються скінченним числом дискретних когерентних джерел, називають інтерференцією хвиль. Перерозподіл інтенсивності, що виникає внаслідок суперпозиції хвиль, які збуджуються когерентними неперервно розміщеними джерелами, називають дифракцією хвиль. Тому говорять, наприклад, про інтерференційну картину від двох вузьких щілин і про дифракційну картину від однієї щілини.

 

 

§ 55 Метод зон Френеля. Радіус зони Френеля. Амплітуда коливань світлової хвилі від точкового ізотропного джерела [5]

1 Обчислення явищ дифракції з застосуванням принципу Френеля-Гюйгенса є в загальному випадку дуже важким завданням. Однак, як показав Френель, у випадках, що характеризуються симетрією, знаходження амплітуди результуючого коливання може бути виконано простим алгебраїчним або геометричним підсумовуванням.
Щоб зрозуміти сут­ність методу, який був розроблений Френелем (ме­тод зон Френеля), визна­чимо амплітуду світлового коливання, яке збуджується в точці P сферичною хвилею, що поширюється в однорідному й ізотропному середовищі із точкового джерела S (рис. 55.1). Хвильові    поверхні такоїхвилі симетричні відносно

прямої SP . Скориставшись Рисунок 55.1 - Розбивання сферичного хвильового фронту на цим, розіб'ємо зображену на   зони Френеля

рисунку хвильову поверхню на кільцеві зони, побудовані так, що відстані від країв кожної зони до точки P відрізняються на 1 /2 (1 - довжина хвилі в тому середовищі, у якому поширюється хвиля). Зони, що мають таку властивість, називаються зонами Френеля.

2 З рис. 55.1 випливає, що відстань bm від зовнішнього краю m -ї зони до точки P дорівнює

bm = b + m -2, (55.1)

де b - відстань від вершини хвильової поверхні до точки P .

Коливання, що надходять у точку P від аналогічних точок двох сусідніх зон (тобто від точок, що лежать усередині зон або біля зовнішніх країв зон і т. п.), перебувають упротилежних фазах. Тому й результуючі коливання, які створюються кожною із зон у цілому, будуть для сусідніх зон відрізнятися за фазою на p.

P

3 Обчислимо площу і радіус зон Френеля. Зовнішня границя m -ї зони виділяє на хвильовій поверхні сферичний сегмент висоти hm    (рис. 55.2).    Позначимо    площу   цього S

сегмента через Sm . Тоді площу m -ї зони можна подати у вигляді

DSm = Sm - Sm

m-1>де Sm-1 - площа сферичного сегмента, який виділяється зовнішньою границею (m -1) -ї зони.

З рис. 55.2 випливає, що

rm = a2-(a - hm )2 =(b + ml/2)2-(b + hm )2,

(55.2)

де a - радіус хвильової поверхні; rm - радіус зовнішньої межі m -ї зони. Підвівши вирази у дужках до квадрата, отримаємо

rm = 2ahm - hm = bml + m2 (l / 2)2 - 2bhm - h

Звідси

(55.3)

hm

bm1 + m2 (l /2)2 2(a+b) .Обмежившись розглядом не занадто великих m, можна, через те, що довжина хвилі l є
малою величиною, знехтувати доданками, які мають           цьому наближенні

(55.4)

= bml m = 2(a+b)

Площа сферичного сегмента дорівнює 2pRh (R - радіус сфери; h - висота сегмента).

Отже,Sm =


2pahm = 7Zab ml, a + bа площа m -ї зониS -S =

m       m -1


—— [tn-(tn -1)] = ——
a + b   a + bОтриманий вираз не залежить від m. Це означає, що при не занадто великих m площі зон Френеля приблизно однакові.

З рівності (55.2) можна знайти радіуси зон. При не занадто великих m висота

сегмента hm << a. Тому можна вважати, що гП = 2ahm . Підставивши значення (55.4) для hm,

отримаємо для радіуса зовнішньої межі m -ї зони Френеля виразr=

m


ab


ml


(55.5)Якщо покласти a = b = 1 м і 1 = 500 нм, то для радіуса першої (центральної) зони отримаємо значення r1 = 0,5 мм. Радіуси наступних зон зростають як yfm .

4 Знайдемо амплітуду результуючого коливання у точці  P, яке збуджується сферичною хвилею. Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля амплітуда коливань dE, щозбуджується елементом хвильової поверхні dS, який знаходиться на відстані r від точки спостереження, визначається співвідношенням

dE = K(j)AdS cos(cot - kr + a). (55.6) r

Ми з'ясували, що площі зон Френеля приблизно однакові. Відстань bm від зони до точки P повільно зростає з номером зони m (величині bm у (55.6) відповідає r ). Кут j між нормаллю до елементів зони й напрямом на точку P також зростає з m . Все це приводить до того, що амплітуда Am коливання, яке збуджується m -ю зоною в точці P, відповідно до (55.6) монотонно зменшується з ростом m. Навіть при дуже великих m, коли площа зони починає помітно зростати з m (див. (55.3)), зменшення множника K(j), переважає зростанню ASm , так що Am продовжує зменшуватися. Таким чином, амплітуди коливань, які

збуджуються у точці P зонами Френеля, утворюють послідовність, яка монотонно зменшується:

A1 > A2 > A3 > ...Am-l > Am > Am+1 > ...

Фази коливань, які збуджуються сусідніми зонами, як ми з'ясували вище, відрізняються на p. Тому амплітуда A результуючого коливання в точці P може бути подана у вигляді

A Ai   A2 + A3   A4 +...

У цей вираз усі амплітуди від непарних зон входять із одним знаком, а від парних зон - із іншим. Напишемо цей вираз таким чином:

A = Т +        - A + ТИТ - A +                          + ~                                  (55 7)

Внаслідок монотонного зменшення Am можна вважати, що

A    = Am-1 + Am+1

Am =    2 .

Тоді вирази в дужках (55.7) будуть дорівнювати нулю, а формула (55.7) спрощується:

(55.8)

 

____ 2^

Згідно з (55.8) амплітуда, що створюється в деякій точці P усією сферичною хвильовою поверхнею, дорівнює половині амплітуди, яку створює лише одна центральна зона. Якщо на шляху хвилі поставити непрозорий екран з отвором, що залишає відкритою тільки центральну зону Френеля, амплітуда в точці P буде дорівнювати A1 , тобто у два рази перевищить амплітуду (55.8). Відповідно інтенсивність світла в точці P буде у цьому випадку в чотири рази більше, ніж за умови відсутності перешкоди між точками S та P .

5 Розв 'яжемо задачу про поширення світла від джерела S до точки P методом графічного додавання амплітуд. Розіб'ємо хвильову поверхню на кільцеві зони, аналогічні зонам Френеля, але набагато менші за шириною (різниця ходу від країв зони до точки P становить однакову для всіх зон малу частину l). Коливання, що створюється у точці P такою зоною, зобразимо у вигляді вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а кут, який утворений таким вектором із напрямком, взятим за початок відліку, буде дорівнювати початковій фазі коливання (використовуємо метод векторних діаграм). Амплітуда коливань, які створюються такими зонами в точці P, повільно зменшується при переході від зони до зони. Кожне наступне коливання відстає від попереднього за фазою на одну і ту саму величину. Отже, векторна діаграма, яку ми отримуємо при додаванні коливань, що збуджується окремими зонами, має вигляд, показаний на рис. 55.3.
Якби амплітуди, що створюються окремими зонами, були однаковими, кінець останнього із зображених на рис. 55.3 векторів збігся б з початком першого вектора. У дійсності значення амплітуди, хоча й дуже слабко, але зменшується, внаслідок чого вектори утворюють не замкнену фігуру, а ламану спіралеподібну лінію.

амплітуди в центрі



У границі при прямуванні ширини кільцевих зон до нуля (число їх буде при цьому необмежено зростати) векторна діаграма набуде вигляду спіралі, що закручується до точки C (рис. 55.4). Фази коливань у точках 0 і 1 відрізняються на p (нескінченно малі вектори, що утворюють спіраль, напрямлені у цих точках у протилежні боки). Отже, ділянка спіралі 0-1 відповідає першій зоні Френеля. Вектор, проведений із точки 0 у точку 1 (рис. 55.5а), зображує коливання, яке збуджується у точці P цією зоною. Аналогічно вектор, проведений із точки 1 у точку 2 (рис. 55.56), зображує коливання, яке збуджується другою зоною Френеля. Коливання від першої й другої зон перебувають у протилежних фазах; відповідно до цього вектори 01 і 12 напрямлені у протилежні боки.

Коливання, яке збуджується у точці P усією хвильовою поверхнею, зображується вектором 0С (рис. 55.5е). З рисунка випливає, що амплітуда в цьому випадку дорівнює половині амплітуди, яку створює перша зона. Цей результат ми отримали раніше алгебраїчно (див. формулу (55.8)). Зазначимо, що коливання, які збуджуються внутрішньою половиною першої зони Френеля, зображується вектором 0В (рис. 55.5г). Таким чином, дія внутрішньої

половини першої зони Френеля не еквівалентна половині дії першої зони. Вектор 0В в v2 разів більше від вектора 0С. Отже, інтенсивність світла, яка створюється внутрішньою половиною першої зони Френеля, у два рази перевищує інтенсивність, яка створюється всією хвильовою поверхнею.§ 56 Дифракція Френеля на круглому отворі. Амплітуда світлового вектора в центрі дифракційної картини. Характер дифракційної картини [5]

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ