О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Запишемо   другий  закон  Ньютона  з урахуванням магнітної складової сили Лоренца (3.1) і отримаємо

m— = q[uх B]. (3а.2)

dt

Z

B

u0z

Рисунок 3.1

(3а.3)

У цьому співвідношенні m, q - маса та заряд частинки, u - її швидкість, B - інд укція магнітного поля. Сп рямуємо вісь Z вздовж вектора B  (див. рис. 3.1). Тоді  B = Bez. Подамо вектор швидкості у вигляді суми двох складових: uzez, спрямованої вздовж осі Z , та uL, перпендикулярної до осі Z :

u = uzez +u± .

Підставимо (3а.3) в (3а.2) і отримаємо
dt


q[(u zez +u± ) х Bez],dt dt

Запишемо паралельну та перпендикулярну до осі Z компоненти отриманого рівняння:d(uzerz)

m

dt


 

0.


(3а.4)

 

(3а.5)Таким чином, система незалежних рівнянь (3а.4) та (3а.5) описує зміну швидкості частинки в магнітному полі з часом.

З рівняння (3а.5) та рис. 3а.1. випливає, що

uz =u0z ° u0 cosa = const. (3а.6)

Тобто вздовж осі Z частинка рухається рівномірно.

Розглянемо тепер детально рівняння (3а.4), яке описує рух частинки в площині, що перпендикулярна до осі Z . Модуль швидкості частинки в магнітному полі не змінюється (див. коментар до формули (3а.1)), тобто він є сталим у часі і дорівнює (див. рис. 3а.1)

u_i_ = u0L = u0 sin a . (3а.7)

Сила Fm = q[uL х B] є також сталою за величиною, вона перпендикулярна до траєкторії

частинки.  Це  означає,   що  і  прискорення  частинки                  = Fm / m = q[uL х B]/ m буде

перпендикулярне до траєкторії руху, тобто нормальним, а також сталим за модулем. Відомо, що коли частинка рухається по колу, то її прискорення є доцентрове (нормальне) і стале за модулем, швидкість також є сталою за модулем. Звідси випливає, що частинка в поперечнійплощині буде рухатись по колу. При цьому площина цього кола перпендикулярна до магнітного поля (осі Z ).

Підставляючи в (3а.4) формулу доцентрового прискорення

 

І адоц \=-^ =\ qiui_ х ВУ т |=| q\i±ВІ т \

R

неважко знайти радіус R цього колаmu0

R

sin a

| qB І m \      \ q \ В циклічну частоту обертання (циклотронну частоту)

co = u_l ІR =\q \ ВІ т,

період обертання

2p 2pm

T

\ q \ в


(3а.8)

 

 

(3а.9)

 

 

(3а.10)Аналізуючи формули (3а.9)-(3а.10), зазначимо, що період і частота обертання не залежать від швидкості частинки у нерелятивістському випадку. Використовуючи цю особливість, будують роботу прискорювача заряджених частинок, який називають циклотроном.

u


"I ql

Рисунок 3.2

Визначивши напрям магнітної сили, а отже, і доцентрового прискорення, знайдемо напрям обертання частинки по колу (див. рис. 3.2, тут магнітне поле спрямоване до читача).

Якщо заряд q = + \ q \ є додатним, то напрями вектора В та кутової швидкості w протилежні. Коли заряд q = - \ q \ є від'ємним, то ці напрями збігаються.

Таким чином, частинка в поперечній площині до магнітного поля рухається рівномірно по колу, а вздовж магнітного поля рухається зі сталою швидкістю. Результуючий рух є рухом частинки по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю (див. рис. 3.3).

Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період обертання T = 2р/ш (див. рис. 3.3):

(3а.11)Таким чином, в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається вздовж спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються за формулами (3а.8) та (3а.11). Кутова частота обертання (кутова швидкість) подається співвідношенням (3а.9), період обертання - (3а.10).

 

Другий варіант

Розглянемо рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі, початкова швидкість якої спрямована під кутом a (див. рис. 3.1) до вектора індукції магнітного поля.

Для цього використаємо другий закон Ньютона m du/dt = ^ Ft та формулу для магнітної складової сили Лоренца Fm = [u хB] і отримаємо

du

dU = q[u хБ]. (3б.1)

m

dt

У цьому співвідношенні m, q - маса та заряд частинки, u - її швидкість, Б - індукція

магнітного поля. Спрямуємо вісь Z вздовж вектора Б. Тоді Б = Bez. Запишемо рівняння (3б.1) у проекціях на осі X, Y, Z :

 

dt m

y = - ^- u ХБ, (3б.2) dt m

^ = 0.

dt

З останнього рівняння системи (3б.2) випливає, що uz є константою, тобто

 

 

Тут враховано, що початкова швидкість частинки спрямована під кутом a до осі Z (див. рис. 3.1).

Якщо продиференціювати перше рівняння системи (3б.2) та в отриманий результат підставити друге рівняння системи (3б.2), то знайдемо

dt2

d 2 u x dt2

d 2u x =  ( qB)2 u m J

або

 

+ co2 u x = 0. (3б.3)

У рівнянні позначено

w = q^. (3б.4) m

Цю величину називають циклотронною частотою. Рівняння (3б.3) в математиці називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Його розв'язок є

u Х = A cos(wt + j0), (3б.5)

де A, ф0 - сталі, які визначаються початковими умовами. Для того щоб впевнитись, що

(3б.5) є розв'язком (3б.3), достатньо підставити (3б.5) в (3б.3). Далі з першого рівняння (3б.2) знаходимоuy = dux , 1 N =-Asin(cot + ф0). (3б.6) dt [ q

B

m

З'ясуємо сутність констант A та ф0. В початковий момент часу t = 0 проекції швидкості ux і u   мають значення u0x,u0 . Підставляємо їх у (3б.5) та (3б.6) і отримуємо

2        2                 2 2

u0 x = A cos ф0, u0 y = - A sin ф 0. Звідси знаходимо, що Ju0 x + u0 y = Ay cos ф0 + sin ф0 = A .

22

Зрозуміло, що Ju0x + u0y = u0± - модуль складової початкової швидкості частинки, яка перпендикулярна до осі Z. Таким чином, A = u0J_. Виберемо вісь X так, щоб в початковий момент часу t = 0 швидкість u0 лежала в площині XZ . Тоді з рис. 3.1 знаходимо, що

u0x = u0 sin a,   u0y = 0.

Це означає, що ф0 = 0, u0J_ = u0sin a. З урахуванням вищесказаного, рівняння (3б.5) та (3б.6) набирають вигляду

ux =u0, cos(cot),

. ,   ' (3б.7) uy =-«0± sin(cot),

де u0± = u0 sin a .

Використаємо визначення швидкості і знайдемо залежність координат частинок від

часу:

ux = — = u0J_ cos(wt) == J dx = |u0± cos(ot)dt =>

dt                               x0 0

x = x0 +      sin( wt), (3б.8) c

dy                             y t

u y = — = u0J_ sin( wt) == J ^ = |-u0± sin( wt )dt

 

У = У0 +u0^(cos(Qt) -1), (3б.9)

c

zt

 

z0 0

z = z0 +u0z t. (3б.10)

Початок координатних осей вибираємо так,  щоб   x0 = 0, y0      — = 0, z0 = 0 . Цеприводить до спрощення математичних співвідношень без зміни фізичної сутності. Тоді з (3б.8)-(3б.10) отримуємо

u01   •  / \

x = ——sin( wt),y


c

u


cos(wt), (3б.11)ШПорівнюючи перші два рівняння (36.11) з (36.1) та (36.2), робимо висновок, що частинка в площині XY рівномірно рухається по полу з радіусом

R = ^ = U0Sna.                                                                (3б.12)
со со

Кутова частота обертання частинки по цьому             колу визначається циклотронною
частотою (3б.4)
со = \q\Bjm.

Виходячи з третього рівняння системи (3б. 11), стверджуємо, що частинка рухається вздовж осі Z рівномірно. Суперпозиція рівномірного руху вздовж осі Z та рівномірного руху по колу в площині XY дасть рух частинки по спіралі (див. рис. 3.3).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ