О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

мають зміщення за фазою відносно одна одної на кут 8 . Тоді результуюче коливання буде визначатися сумою коливань, які створюють N елементарних зон:

Аф cos(cot + a)=DAcos(cot)+ DAcos(co t + 8)+... + DAcos(cot + (N-1)8). (58.3)

2 Знайдемо амплітуду результуючого коливання Ap (58.3), використовуючи метод

векторних діаграм. Згідно з методом векторних діаграм кожне коливання зображується вектором, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кут між напрямком цього вектора та напрямом, який взято за вихідний, дорівнює початковій фазі коливання. Відповідно до (58.3) вектори усіх коливань мають однакову амплітуду DA. Початкові фази коливань є різними і відрізняються на одну і ту саму величину, що дорівнює 8 . Якщо скласти ці вектори геометрично, то неважко побачити, що вони утворюють частину багатокутника, який вписано в коло радіусом R . З рисунка випливає, що:

DA/2 = R sin (8/2), Ap/2 = R sin [(2p-N8)/2] = R sin (p- N8/2 ) = R sin (N8/2).Виключивши R із цих рівнянь, одержимо співвідношення

, sin (^5ТЇЇЛ

АЛ-

sin (5 /2)


 

(58.4)яке виражає амплітуду Лф через амплітуду АЛ й зміщення за фазою 5 .

3 Коли замість АЛ у формулу (58.4) підставимо вираз (58.1), а замість 5 (58.2), то отримаємо


 

виразZ0 N

 

Лф


Aq sin [(pb / l)sin ф]

sin [(pb / Nl )sin ф]Цей вираз є наближеним. Він буде тим більш точним, чим меншими будуть елементарні зони, тобто чим більшим буде N . Тоді знаменник набере вигляду

lim {N sin [(pb / Nl)sin ф]}= lim f sin [(pb / Nl)sin j]|(pb /       ф = 1 .(pb / l)sin ф .

можемо

n ®¥                                     n ®¥ ^   (pb / N1)sin ф J

Тут використали, що lim {sin a / a}= 1. Таким чином, вираз для амплітуди у точці P

записатиф

л = л     [(pb / l)sin ф] sin


(58.5)З'ясуємо фізичний зміст константи Ло. Для цього розглянемо вираз (58.5) для випадку, коли кут ф прямує до нуля. Використовуючи lim{sina/a}=1 , знаходимо, що в

a®0

цьому випадку  Лф  дорівнює  Л0 . Звідси випливає, що  Л0   є амплітудою усередині

дифракційної картини (проти центра лінзи).

Інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди. Отже,1 ф =


I sin2[(pb/l)sin ф] 0  [(pb / l)sin ф]2


(58.6)де I0 - інтенсивність усередині інтерференційної картини (при ф = 0); Іф - інтенсивність у точці, положення якої визначається даним значенням ф .

4 Проаналізуємо отриманий результат. Як з'ясували вище, коли ф = 0, то Іф = І0 . Далі, прирівнюючи чисельник до нуля, знаходимо умову мінімуму інтенсивності sin2[(pb/l)sinф] = 0, (pb/l)sinф = ±A:p (k = 1,2,3,...),

тобто

b sin ф = +£1 (k = 1,2,3,...)||. (58.7)

Таким чином, умова (58.7) визначає положення мінімумів інтенсивності.

Між мінімумами інтенсивності, які визначаються умовами (58.7), знаходяться максимуми різних порядків. Досліджуючи функцію (58.6) на екстремум, можемо знайти їх положення. Наближено можна вважати, що максимуми знаходяться посередині між сусідніми мінімумами.

 

Графік функції (58.6) зображений на рис. 58.3. Вздовж осі абсцис відкладені значення sin ф, осі ординат - інтенсивність Іф.

З умови (58.7) випливає, що sin ф =+k1 / b . Модуль синуса не може перевищити одиницю. Тому kl / b < 1, звідки

k £ b /1. (58.8)
Таким чином, кількість мінімумів інтенсивності визначається відношенням ширини щілини b до довжини хвилі 1. При ширині щілини, меншій за довжину хвилі, мінімуми взагалі не виникають. У цьому випадку інтенсивність світла монотонно зменшується від середини дифракційної картини до її країв.й

решітках. Амплітуда

 

§ 59 Дифракція   Фраунгофера   на дифракційних інтенсивність світла, максимуми й мінімуми [5]

1 Дифракційною решіткою

називається оптичний прилад, що складається з великого числа однакових, віддалених одна від одної на однакову відстань щілин (рис. 59.1). Відстань між серединами сусідніх щілин називається періодом решітки.

P

Розмістимо паралельно решітці збиральну лінзу, у фокальній площині якої помістимо екран. З'ясуємо характер дифракційної картини, яка утворюються на екрані під час падіння на решітку плоскої світлової хвилі (для спрощення математичних розрахунків будемо вважати,

що хвиля падає на решітку нормально). Дифракційна картина, яку дає на екрані одна щілина, нам відома з попереднього параграфа. Дифракційну картину від усіх щілин знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля.

Будемо припускати, що довжина просторової когерентності хвилі, що падає, набагато перевищує довжину решітки, так що коливання від усіх щілин можна вважати когерентними. У цьому випадку результуюче коливання в точці P , положення якої визначається кутом ф ,

являє собою суперпозицію N коливань, які мають однакову амплітуду Аф та зміщені одна

відносно одної за фазою на однакову величину 8 . Таким чином, амплітуда результуючого коливання від решітки буде визначатися співвідношенням

Ареш cos(co t + a) = Аф cos(co t)+ Аф cos(co t + 8)+... + Аф cos(co t + (N -1)8).A     = A

реш ф

Використовуючи метод векторних діаграм, неважко знайти результуючу амплітуду Ареш (аналогічно, як і в попередньому параграфі):

sin (N5 /2) sin (5 /2) '

Зрозуміло, що інтенсивність в цьому випадку буде визначатися такою формулою:

(59'1)

1 реш      1 ф

sin2 (N5 /2) sin2(5/2) '

З рис. 59' 1 бачимо, що різниця ходу від сусідніх щілин А = d sin ф . Отже, різниця фаз5 = 2 ра = d sin ф, 1 1


(59'2)де 1 - довжина хвилі у середовищі.

Підставивши у формулу (59.1) (59.2) для 5  й вираз для Іф (див. попередній

параграф), отримаємоІреш =


Іо


sin 2 [(pb /1) sin ф] sin 2 [(Npd /1) sin ф] [(pb / l)sin ф]2     sin 2 [(pd/ l)sin ф]


(59.3)

інтенсивність, що створюється однією щілиною проти центра лінзи).

2 Проведемо дослідження отриманого результату (59.3). Перший множник у (59.3) перетворюється в нуль у точках, для яких

b sin ф = ±кХ = 1, 2, 3, (59.4)

У цих точках інтенсивність, яка створюється кожною із щілин окремо, дорівнює нулю. Вираз (59.4) визначає умову мінімумів дифракційної решітки.

Коли dsinф = ±m1 (m = 0,1,2,."), то чисельник та знаменник другого множника стають такими, що дорівнюють нулю. Тобто вираз (59.3) стає невизначеним. Розкриваючи невизначеність за допомогою правила Лопіталя, отримуємоf sin [(Npd / l)sin ф]] sin [(pd / l)sin ф]


f sin (Nx

n (x)

 

= lim

x—mp


^(sin (Nx ))x ^ sin(x)x= lim

xmp


___ \___

cos(mp)

1

cosi

n cos(Nx )^ = n cos(Nmp) = ± n -1 = ± n

(x)Це означає, що другий множник у (59.3) набуває значення N  в точках, що задовольняють

умову

d sin ф = ±m1 (m = 0, ,1, 2, .„)

(59.5)

З фізичної токи зору це означає, що для напрямків, які визначаються умовою (59.5), коливання від окремих щілин взаємно підсилюють одна одну, внаслідок чого амплітуди коливань у відповідній точці екрана додаються:

Amax =     , (59.6)

де Аф - амплітуда коливання, що утворюється однією щілиною під кутом ф .

Умова (59.5) визначає положення максимумів інтенсивності, які називаються головними. Число m дає порядок головного максимуму.

Піднісши рівність (59.6) у квадрат, отримаємо, що інтенсивність Imax у N2 раз більше

від інтенсивності Іф , яка створюється у напрямку ф однією щілиною:I    = N21

max ф

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ