О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

(59.7)Зрозуміло, що коли умови (59.5) та (59.4) збігаються, то має місце мінімум інтенсивності. Це пов'язано з тим, що в цьому випадку інтенсивність від кожної щілини дорівнює нулю. Сума нульових інтенсивностей дасть також нульову інтенсивність.

Крім мінімумів, що обумовлені співвідношенням (59.4), у проміжках між сусідніми головними максимумами є N -1 додаткових мінімумів. Вони виникають у тих напрямках, для яких коливання від окремих щілин взаємно гасять один одного. Умову додаткових мінімумів можна легко знайти, прирівнявши чисельник другого множника (59.3) до нуля:

sin [(Npd / l)sin ф] = 0. Звідси знаходимо умову додаткових мінімумівdsin ф


N


(59.8)(к' = 1, 2, .", N-1, N +1, 2N-1, 2N +1, ...у У формулі (59.8) к' набуває всіх цілих значень, крім 0, N, 2N, .", тобто крім тих, за яких умова (59.8) переходить в (59.5).
Між додатковими мінімумами розміщені слабкі вторинні максимуми. Число таких максимумів, що знаходяться на проміжку між сусідніми головними максимумами, дорівнює

N-2.

На рис. 59.2 наведений графік функції (59.3) для N = 4 та d/b = 3. Штрихова лінія, що проходить через вершини головних максимумів, зображує інтенсивність від однієї

щілини, яка помножена на N2 (див. (59.7)). При d / b = 3 головні максимуми 3-го, 6-го й т.д. порядків збігаються з мінімумами інтенсивності від однієї щілини, внаслідок чого ці максимуми зникають.

Кількість головних максимумів, які можливо спостерігати, визначається відношенням періоду решітки до довжини хвилі. Виходячи з того, що модуль sin ф не може перевищити одиниці, з формули (59.5) отримуємо

m £ d/1. (59.9)§ 60 Дисперсія і роздільна здатність дифракційних решіток. Роздільна здатність об'єктива [5]

1 Дисперсія дифракційної решітки. Відомо, що дифракційна решітка, як і призма, розкладає світло в спектр. Характеристиками спектрального приладу є його дисперсія й роздільна здатність. Дисперсія визначає кутову (або лінійну) відстань між двома спектраль­ними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на одиницю (наприклад, на 1 нм).

Кутовою дисперсією називається величина

D = 5ф / 51

(60.1)

де 5ф - кутова відстань між спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на

51.

Лінійною дисперсією називають величину

Нин =51 / 51

де 5/ - відстань на екрані або на фотопластинці між спектральними лініями, довжини хвиль яких відрізняються на 51 .

Щоб знайти кутову дисперсію дифракційної решітки, продиференціюємо умову головного максимуму за ф :

dsin ф = m1 ,

вважаючи, що 1 = 1(ф) є функцією від ф . Опустивши знак мінус, отримаємо

d cos ф = m(51 / 5ф)

Звідси

D = / 51 = m /(d cos ф).У межах невеликих кутів cos ф »1, тому можна вважати

D » m / d{ (60.2)

Таким чином, кутова дисперсія дифракційної решітки обернено пропорційна періоду d. Чим вище порядок спектра m, тим більше дисперсія.

2 Роздільна здатність дифракційної решітки. Роздільна здатність визначає мінімальну різницю довжин хвиль 51 , при якій дві лінії сприймаються в спектрі роздільно. Роздільною здатністю спектрального приладу називають безрозмірну величину

R = 1 / 511, (60.3)

де 51 - мінімальна різниця довжин хвиль двох спектральних ліній, при якій ці лінії сприймаються роздільно.

Можливість роздільного сприйняття двох близьких спектральних ліній залежить не тільки від відстані між ними (яке визначається дисперсією приладу), але також і від ширини спектрального максимуму. На рис. 60.1 показана результуюча інтенсивність (суцільні криві), яка спостерігається при накладенні двох близьких максимумів (штрихові криві). У випадку a обидва максимуми сприймаються як один. У випадку б між максимумами лежить мінімум. Два близьких максимуми сприймаються оком роздільно в тому випадку, якщо інтенсивність у проміжку між ними становить не більше 80 % від інтенсивності максимуму. Відповідно до критерію, запропонованого      Релеєм,       таке співвідношенняінтенсивності має місце в тому випадку, якщо середина одного максимуму збігається із краєм іншого (рис. 60.1б). Таке взаємне розміщення максимумів має місце при певному (для даного приладу) значенні 81.

Знайдемо роздільну здатність дифракційної решітки. Положення середини m -го максимуму для довжини хвилі 1 + 81 визначається умовою

d Sin Фmax = m(1 + 81).

Краї m -го максимуму для довжини хвилі 1 розміщують під кутами, обумовленими співвідношенням

d sin jmin = (m ± 1/ N )1.

Середина максимуму для довжини хвилі 1 + 81 збігається з краєм максимуму для довжини хвилі 1 в тому випадку, коли

m(1 + 81) = (m +1/N )1.

Звідси

m81 = 1 / N.

Знайшовши із цієї рівності відношення 1 до 81, отримаємо вираз для роздільної здатності дифракційної решітки

R = mN { (60.4)

Таким чином, роздільна здатність дифракційної решітки пропорційна числу щілин N і порядку спектра m .

Дифракційні решітки виготовляються шляхом нанесення алмазним різцем на поверхню скляної пластинки рівновіддалених штрихів. Роль щілин відіграють проміжки між штрихами. Кращі решітки мають до 1200 штрихів на 1 мм (d » 800 нм).

J.

3 Роздільна      здатність об'єктива.

Роздільною здатністю об'єктива називається ________________

величина R, зворотна найменшій кутовій
відстані
8y між точками, при якій вони ще
сприймаються роздільно :
    R = 1/8y

(60.5)

0

sin j

1">

D

-1,22

1~22 -

D

На рис. 60.2 показана картина дифракції Фраунгофера на круглому отворі. Вона має вигляд центральної світлої плями, оточеної темними й світлими кільцями, які чергуються між собою. Відповідний розрахунок показує, що перший мінімум віддалений від центра дифракційної картини на кутову відстань

Рисунок 60.2 - Плоска світлова хвиля падає перпендикулярно на перешкоду із круглим отвором. Унизу показана інтен­сивність світла на екрані, розміщеному у фокальній площині лінзи

jmin = arcsin(1,221 / D), (60.6)

де D - діаметр отвору. Коли D >> 1, то можна вважати, що

jmin = 1,221 /D. (60.7)

Переважна частина (близько 84%) світлового потоку, що проходить через отвір, потрапляє в область центральної світлої плями.

Інтенсивність першого світлого кільця становить усього 1,74%, а другого - 0,41 % від інтенсивності центральної плями. Інтенсивність інших світлих кілець ще менше. Тому в першому наближенні дифракційну картину можна вважати такою, що складається з однієї лише світлої плями з кутовим радіусом, яка визначається формулою (60.6). Ця пляма є, посуті, зображенням нескінченно віддаленого точкового джерела світла (на отвір падає плоска світлова хвиля).

Дифракційна картина не залежить від відстані між отвором і лінзою. Зокрема, вона буде такою самою і у випадку, коли краї отвору суміщені з краями лінзи. Звідси випливає, що найдосконаліша лінза не може дати ідеального оптичного зображення. Внаслідок хвильової природи світла зображення точки, яка дається лінзою, має вигляд плями, що являє собою центральний максимум дифракційної картини. Кутовий розмір цієї плями зменшується при збільшенні діаметра оправи лінзи.

При дуже малій кутовій відстані між двома точками їх зображення, яке отримуємо за допомогою якого-небудь оптичного приладу, накладаються один на одного й дають одну пляму. Отже, дві дуже близькі точки не будуть сприйматися за допомогою приладу роздільно, або, як кажуть, не будуть розділятися приладом. Тому, яким би великим не було зображення, на ньому не видно відповідних деталей.

Знайдемо роздільну здатність об'єктива зорової труби або фотоапарата для випадку, коли розглядаються або фотографуються дуже віддалені предмети. За цієї умови промені, які йдуть в об'єктив від кожної точки предмета, можна вважати паралельними й користуватися формулою (60.6). Відповідно до критерію Релея дві близькі точки будуть ще розрізнені, якщо середина центрального дифракційного максимуму для однієї точки збігається із краєм центрального максимуму (тобто першим мінімумом) для іншої точки. На рис. 60.3 видно, що це відбудеться, коли кутова відстань між точками 8y буде дорівнювати їх кутовому радіусу (60.6). Діаметр оправи об'єктива d набагато більше від довжини хвилі 1 . Тому можна вважати, що

8y = 1,221 / d »1 / d.

(60.9)

Звідки

r » d /1 .

Отже,      роздільна     здатність об'єктива пропорційна його діаметру.

Діаметр зіниці ока при нормальному освітленні дорівнює приблизно 2 мм. Підставивши це значення у формулу (60.8) і взявши 1 = 500 нм, отримаємо

8y » 500 10-9 /(2 10-3) = 0,25 10-3 рад » 1'.

Таким чином, мінімальна кутова відстань між точками, які око сприймає ще роздільно, дорівнює одній кутовій хвилині. Цікаво, що відстань між сусідніми світлочутливими елементами сітківки ока відповідає цій кутовій відстані.

 

 

§ 61 Дифракція на просторових структурах. Закон Вульфа-Брегга. Рентгенівська спектроскопія. Рентгеноструктурний аналіз [5]

1 Розмістимо дві дифракційні решітки одну за одною так, щоб їх штрихи були взаємно перпендикулярними. Перша решітка (штрихи якої, скажімо, вертикальні) дасть у горизонтальному напрямку ряд максимумів, положення яких визначаються умовоюd1sin ф1 m11 (m1 = 0,1,2,...).


(61.1)Друга решітка (з горизонтальними штрихами) розіб'є кожний із утворених першою решіткою пучків на розміщені вздовж вертикалі максимуми, положення яких визначаються умовоюd2 sin ф2 = ±m21 (m2 = 0,1,2,...).


(61.2)У результаті дифракційна картина буде мати вигляд правильно розміщених плям, кожній з яких відповідають два цілих індекси m1 й m2 (рис. 61.1).

Таку ж дифракційну картину отримаємо, коли замість двох різних решіток взяти одну

прозору пластинку з нанесеними на неї двома системами взаємно перпендикулярних

двовимірної періодичної структури



штрихів. Подібна пластинка являє собою двовимірну періодичну структуру (звичайна решітка - одновимірну структуру). Вимірявши кути ф1 й ф2, які визначають положення максимумів, і знаючи довжину хвилі l, можна знайти за формулами (61.1) і (61.2) періоди структури d1 й d2. Якщо напрями, у яких структура періодична (наприклад, напрями, які перпендикулярні до штрихів решіток), утворять кут a, відмінний від нуля, дифракційні максимуми розмістяться не у вершинах прямокутників (як на рис. 61.1), а у вершинах паралелограмів. У цьому випадку за дифракційною картиною можна визначити не тільки періоди d1 і d2 , але й кут a .

Дифракційну картину,  аналогічну до зображеної на рис. 61.1,  дають будь-які двовимірні періодичні структури,  наприклад,  система невеликих отворів або система

непрозорих маленьких кульок.

Для виникнення дифракційних максимумів необхідно, щоб період структури d був більше l. У іншому випадку умови (61.1) і (61.2) можуть бути задоволені тільки при значеннях m1 і m2, які дорівнюють нулю (модуль sin ф не може перевищувати одиниці).

Дифракція спостерігається також на тривимірних структурах, тобто просторових системах, які мають періодичність у трьох напрямках, що не лежать в одній площині (рис. 61.2). Подібними структурами є всі кристалічні тіла. Однак їх період (порядку 0,1 нм) занадто малий для того, щоб можна було спостерігати дифракцію у видимому світлі. У випадку кристалів умова d > l виконується тільки для рентгенівських променів. Уперше дифракція рентгенівських променів на кристалах спостерігалася в 1913 р. у досліді Лауе, Фрідріха й Кніппінга (Лауе належить ідея, іншим авторам - реалізація досліду).

2 Російський учений Вульф і англійські вчені У.Г. і У.Л. Брегги показали незалежно один від одного, що розрахунок дифракційної картини від кристалічної решітки можна здійснити у такий спосіб. Проведемо через вузли кристалічної решітки паралельні рівновіддалені площини (рис. 61.3), які ми будемо називати атомними шарами. Якщо хвиля,

яка падає на кристал, є плоскою, то огинаюча вторинних хвиль, що створюються атомами,

які лежать у такому шарі, також буде плоскою. Таким чином, сумарну дію атомів, що лежать в одному і тому самому шарі, можна подати у вигляді плоскої хвилі, яка відбилася від атомного шару за звичайним законом відбиття.

Плоскі вторинні хвилі, що відбилися від різних атомних шарів, когерентні й будуть інтерферувати одна з одною подібно до хвиль, які посилаються в цьому напрямку різними щілинами дифракційної решітки. При цьому, як і у випадку решітки, вторинні хвилі будутьпрактично гасити один одну у всіх напрямках, крім тих, для яких різниця ходу між сусідніми хвилями є кратною l. На рис. 61.3 бачимо, що різниця ходу двох хвиль, які відбилися від сусідніх атомних шарів, дорівнює 2d sin 9, де d - період кристала в напрямку, перпендикулярному до розглянутих шарів; 9 - кут, додатковий до кута падіння, який називають кутом ковзання падаючих променів. Отже, напрями, у яких отримуємо дифракційні максимуми, визначаються умовою

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ