О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

(69.3)де F - деяка функція відношення частоти до температури. Співвідношення (69.3) отримало назву формули Віна.

3 Використовуючи зв'язок між f (co,T) і       T)—1 t )= 2^f

i2


2лг


,Tа також (69.3) знайдемо
1mT = Ь


(69.6)яке називають законом зміщення Віна. Експериментальне значення константи b дорівнює

b = 2,898•Ю-3 м• К . (69.7)

 

 

§ 70 Формула Релея-Джинса. Ультрафіолетова катастрофа [6]

1 Загальний метод теоретичного визначення функції f (co,T) в рамках класичної фізики був запропонований Релеєм і пізніше розвинений Джинсом. З позицій класичної фізики доведення Релеєм та Джинсом універсальної функції Кірхгофа було бездоганним, однак з дослідом отриманий результат не узгоджувався. Ця розбіжність отримала назву ультрафіолетової катастрофи.

Функцію Кірхгофа f (co,T), яка точно відповідає експериментальним даним, вдалося знайти М.Планку в 1900 р. При цьому йому довелося використати далеке від класичнихуявлень припущення, що електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів). Це було народженням квантової фізики.

2 Розглянемо схему доведення функції Кірхгофа, що є справедливою як і у випадку доведення Релея-Джинса, так і у випадку доведення Планка.

1        Універсальна функція Кірхгофа f(c ,T), яка є випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла (усереднена за напрямками спектральна густина потоку енергії), пов' язана зі спектральною густиною енергії теплового випромінювання uo співвідношенням подібним до формули вектора Умова

f(o, T) = с Uo/4, (70.1)

де c - швидкість світла.

2        Теплове випромінювання є сукупністю власних коливань системи. Визначаємо спектральну кількість власних коливань в одиниці об'єму no .

3        Знаходимо середню енергію одного коливання (є).

4        Спектральну густину енергії теплового випромінювання визначаємо як добуток спектральної кількості коливань в одиниці об' єму на середню енергію одного коливання

Uo= По (є). (70.2)

Далі, підставляючи вираз (70.2) у співвідношення (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа

f (o, T ) = с иш(є)/4.

Доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом та Планком відрізняються лише способом знаходження середньої енергії одного коливання (є).

3 Розглянемо доведення універсальної функції Кірхгофа Релеєм-Джинсом. Перший пункт схеми

Спектральною густиною енергії теплового випромінювання називають функцію uo, яка пов 'язана з густиною енергії таким співвідношенням:

¥

w = Juodo , (70.3)

0

де co - циклічна частота електромагнітної хвилі. Як відомо, енергетична світність абсолютно чорного тіла (потік енергії, що випускається одиницею поверхні випромінюючого тіла в усіх

напрямках) пов'язана з універсальною функцією Кірхгофа таким чином R* = J f (co,T)dco . З

0

іншого боку спрямований потік енергії через одиницю поверхні (густина потоку j ) пов'язаний з густиною енергії вектором Умова j = w c. Це означає, що має місце зв'язок

¥¥

R* = J f (co,T)dco ~ w c = c Juodo , або f (co, T) ~ c uo . (70.4)

00

Останній вираз у (70.4) пояснює співвідношення (70.1). Коефіцієнт 1/4 у формулі (70.1) пов' язаний з тим, що теплове випромінювання поширюється у всіх напрямках у межах тілесного кута 2л, а вектор Умова визначає співвідношення між величинами хвилі, яка поширюється в одному визначеному напрямку. Другий пункт схеми

Розглянемо одновимірний випадок. Із вчення про коливання й хвилі відомо, що в закріпленій на кінцях струні найбільш інтенсивними є коливання лише таких частот, коли на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль. Ці коливання мають характер стоячих хвиль, причому на кінцях струни знаходяться вузли хвилі. Кількість стоячих хвиль і визначає
со2


(70.7)Тут враховано, що електромагнітні перпендикулярні лінійні поляризації.

Третій пункт схеми

Релей і Джинс визначили
середню енергію одного коливання,
виходячи з теореми класичної
статистичної фізики про рівномірний
розподіл кінетичної енергії за
ступенями вільності. Згідно з цією
теоремою на кожен ступінь вільності
припадає однакова кінетична енергія,
що дорівнює
kT/2, де T - абсолютна
температура;
k - стала Больцмана.
Якщо ступінь вільності коливальна, то
потрібно врахувати ще й потенціальну
енергію. У випадку гармонічних
коливань            середнє значення

(70.8)


(s) = kT


потенціальної енергії дорівнює також kT / 2 . Таким чином, у стані статистичної рівноваги на кожний коливальний ступінь вільності припадає середня енергія, що дорівнює kT . Тобто


 

 

on

т

 

0

 

0 0 0

2,


 

 

10

 

8

 

6

4

2

0


 

 

 

 

 

 

Формула Релея-Джинсас 2kT

2 3

P c

 

(70.9)Далі використовуючи (70.1), знаходимо шукану універсальну функцію Кірхгофа за Релеєм-Джинсом:f(w T) = -A = 4TT2kT (70.10)

Співвідношення (70.9) та (70.10) називаються формулами Релея-Джинса для теплового випромінювання.

4 Формули Релея-Джинса (70.9), (70.10) для теплового випромінювання задовільно узгоджуються з експериментальними даними лише при великих довжинах хвиль і різко розходяться з дослідом для малих довжин хвиль (див. рис. 70.1, на якому суцільною лінією зображена експериментальна крива, штриховою - крива, побудована за формулою Релея-Джинса).

Інтегрування виразу (70.10) за ш у межах від 0 до ¥ дає для енергетичної світності абсолютно чорного тіла R нескінченно велике значення. Цей результат, який отримав назву ультрафіолетової катастрофи, також суперечить досліду.

Із класичної точки зору доведення формули Релея-Джинса є бездоганним. Тому розбіжність цієї формули з дослідом указувало на існування якихось закономірностей, несумісних з уявленнями класичної фізики.

 

 

§ 71 Гіпотеза Планка. Формула Планка [6]

1  Схема доведення формули для універсальної функції Кірхгофа f (w,T) така сама, як і у випадку доведення формули Релея-Джинса:

f(w,T) = c - na{s)/4. (71.1)

Тут

na=^ (71.2)

p2c3

є спектральною густиною власних коливань теплового випромінювання; c - швидкість світла; (г) - середня енергія одного коливання.

Відмінність полягає лише у визначенні середньої енергії одного коливання (г).

2  Розглянемо, як М.Планк визначив середню енергію власного коливання теплового випромінювання, і потім знайдемо формулу Планка для універсальної функції Кірхгофа.

Щоб отримати функцію Кірхгофа f (w,T), яка узгоджується з експериментальними даними, М.Планку довелося використати далеке від класичних уявлень припущення (гіпотеза Планка): електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів), які пропорційні частоті випромінювання:

s = he = hv , (71.3)

де ш = 2pv ; v - частота електромагнітної хвилі, коефіцієнти пропорційності h та h отримали з часом назву сталої Планка. Визначене з досліду значення цієї сталої дорівнює

h = 1,0545915-10-34 Дж-с,   h = 2ph = 6,6261937-10"34 Дж-с. (71.4)

Гіпотеза Планка дала початок новому напрямку розвитку фізики, який отримав назву квантової фізики. Гіпотеза Планка дала початок зміні уявлень людства про мікроскопічний світ.

Якщо випромінювання випускається порціями he, то енергія такої хвилі sn повинна бути кратною цій величині:

sn = nhw (n = 0,1,2,...). (71.5)

У стані теплової рівноваги розподіл коливань за значеннями енергії повинен підкорятися розподілу БольцманаA exp (-en /(kT)), кількість коливань, енергія кожного з якого дорівнює en; A


(71.6) нормувальниймножник; k - стала Больцмана.

У цьому випадку середня енергія коливання знаходиться так:N0 ■ 0 + N1 ■e1 + N2 e2 +... N0 + N1 + N2 +...


n=0

¥

S Nn

(71.7)Тут Nn - число коливань, енергія яких en = nhw . Вважаємо, що число можливих значень

енергії не обмежено. У чисельнику стоїть сумарна енергія коливань, у знаменнику - повне число коливань.

Підстановка в (71.7) значення (71.5) для en й (71.6) для Nn приводить до формули

 

S nhcoA exp(- nhw / kT)¥

S A exp (- nhw / kT)


(71.8)Щоб виконати обчислення, позначимо              й припустимо, що x може змінюватися,

набуваючи неперервного ряду значень. Тоді вираз (71.8) можна написати у вигляді¥

S n exp(- nx)

n=0

¥

S exp(- nx)


 

 

dx


 

In


 

S exp(- nx)

V n=0


 

(71.9)Під знаком логарифма у формулі (71.9) стоїть сума членів нескінченної геометричної прогресії з першим доданком, що дорівнює одиниці (b1 = 1), і знаменником прогресії, що дорівнює q = exp (- x). Через те що знаменник менше одиниці, прогресія буде спадною, і сума цієї прогресії буде дорівнюватиb1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ