О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період обертання T = 2л/ш (див. рис. 3.3):

 

h = T-uz =—u0z =—— u0cos a. (3б.13) со qB

Таким чином в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається по спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються формулами (3б.12) та (3б.13). Кутова частота обертання (кутова швидкість) дається співвідношенням (3б.4), період обертання дорівнює

T = 2p = 2к-т (3б.М)

с qB

 

§ 4 Закон Біо-Савара-Лапласа. Індукція магнітного поля, яке створене відрізком із струмом. Індукція нескінченно довгого прямого провідника зі струмом. Індукція на осі колового струму [5]

1 Біо й Савар провели в 1820 р. дослідження магнітних полів, які створюються струмами, що проходять по тонких провідниках різної форми. Лаплас проаналізував експериментальні дані, отримані Біо й Саваром, і встановив залежність, яка отримала назву закону Біо-Савара-Лапласа. Відповідно    до    закону   Біо-Савара-Лапласа індукція

dB

(4.1)

Но

4л

магнітного поля, яка створюється елементом струму Idl, визначається за формулою

I [dl х r]

де dl - вектор, модуль якого дорівнює елементарній довжині ділянки зі струмом I і спрямований у той бік, куди проходить струм (рис. 4.1); r - вектор, що проведено

від елемента струму в ту точку, у якій визначається dB; r - модуль цього вектора; |д0 - так звана магнітна стала, що дорівнює

|m0 = 4-10"7 Тл-м/А = 4-10"7 Гн/м, (4.2)

де Гн (генрі) - одиниця індуктивності (про цю одиницю детально мова буде йти далі).

Згідно з цим законом магнітне поле будь-якого струму може бути обчислене як векторна сума (суперпозиція) полів, які створюються окремими елементарними ділянкамиструму


Idlв =f dB

4p    r3

Модуль вектора dB, виходячи з виразу (4.1), визначається співвідношенням

dB =     1• dl-sing , (4.3) 4p r

де g - кут між векторами dl й r .

kм



2 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене відрізком із струмом, наприклад в точці O (див. рис. 4.2), яка знаходиться на відстані a від осі відрізка. При цьому вважаємо кути між напрямами векторів, проведених з кінців відрізка зі струмом до точки O і напрямом електричного струму І, відомими і такими, що дорівнюють відповідно g1 й g 2 (див. рис. 4.2).

Розіб'ємо відрізок із струмом І на елементарні ділянки dl (див. рис. 4.2). Відповідно

до закону Біо-Савара-Лапласа елемент зі струмом Idl створю є магнітне поле з індукцією dB,

що визначається формулою (4.1). Зауважимо, що вектори dB від усіх елементів струму І dl в точці O паралельні осі Z, яка перпендикулярна до площини рисунка (див. рис. 4.2). Тому

відповідно до принципу суперпозиції при визначенні індукції магнітного поля B у точці O можна перейти від геометричного до алгебраїчного підсумовування (інтегрування):

B = \dB = ez \dB = ez ^ \Sin2g-dl, (4.4)

 

де dB - модуль вектора dB (див. формулу (4.3)); g - кут між векторами dl й r .

Проаналізуємо вираз (4.4). Зрозуміло, що під знаком інтеграла у співвідношенні (4.4) кут g та довжина вектора r змінюються при переході від одного елемента довжини dl до іншого (див. рис. 4.2.). Тому перетворимо підінтегральний вираз так, щоб він залежав тільки від однієї змінної, наприклад кута g .

Неважко знайти зв'язок елемента dl з елементарним кутом dg та довжиною вектора r . З трикутника DKMN (див. рис. 4.2) випливає, що dl sin g = KM, а з трикутника DOKN -KM = r dg . Звідси маємо dl = r dg/sin g . Далі з трикутника DOPN можемо виразити довжину вектора r через відстань a та кут g : r = a /sin g . Тоді співвідношення (4.4) набуде вигляду

B = ez           ?dg = ez ^•gfsindg .

4p   J r                      a J

gi giДалі проведемо інтегрування і отримаємо шуканий вираз для індукції магнітного поля, що створюється відрізком провідника зі струмом:
m° 1 - (cosa1 - cosa2)
4л- a_____________


(4.5)
3 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене нескінченно довгим прямим провідником зі струмом (див. рис. 4.3). Для цього використаємо формулу для індукції магнітного поля від відрізка із струмом (4.5).

З рис. 4.3 випливає, що коли довжина відрізка b буде прямувати до нескінченності, то
2

в нескінченно довгий провідник із

°, a2 = 18°° .

кут a! буде прямувати до нуля, а кут a перетвориться значення

тонкого   провідника  із струмом

Тоді індукцію від нескінченно підставивши значення (4.6) в (4.5):

B

a1 довгого

ц° -1

4л- a

-(1 - (-1)) =

2л- a

Таким чином, отримали співвідношення (4.7), яке визначає індукцію магнітного поля від нескінченного тонкого провідника із струмом J .

Слід зазначити, що напрям вектора B можна визначити за правилом правого гвинта: коли гвинт встановити паралельно струму й обертати його так, щоб поступальний рух гвинта був спрямований вздовж струму, то обертання шапочки гвинта буде визначати напрям силових ліній індукції магнітного поля.

4 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля на осі колового струму (див. рис. 4.4).

Розіб'ємо круговий виток, по якому проходить струм J, на елементи довжини dl (див. рис. 4.4). Елемент довжини dl зі струмом J

створює в точці   O   магнітне поле  dB, якевизначається законом Біо-Савара-Лапласа (4.1). Відповідно до цього закону вектор dB є

перпендикулярним до радіуса-вектора r й вектора dl (див. рис. 4.4), а його модуль відповідно до (4.3) дорівнює\dB |


^0_____

   r2


2

- sin — = —°

   r2


(4.8)Тут враховано, що кут a між векторами r й dl дорівнює л / 2.

Подамо вектор dB у вигляді суми двох векторів: вектора Bxex, який спрямований

паралельно осі X, та вектора dBL, який перпендикулярний до осі X (див. рис. 4.4).

Знайдемо векторну суму паралельних осі X компонент вектора dB. Виходячи з рисунка 4.4, неважко знайти проекцію

r2

dB, = - dB - cos^ /2 - р) = -    - J - dl -2Sin Ь . (4.9)

4 лУ цій формулі кут р - кут між віссю X та вектором r . Зазначимо, що для всіх елементів струму Jdl кут р має одне і те саме значення (див. рис. 4.4)

sin Р = - = -г4=^. (41°) r   Vr2+x2

Відповідно до принципу суперпозиції знаходимо результуючу проекцію Bx шляхом підсумовування усіх елементарних проекцій dBx (або, в нашому випадку, їх інтегруванням)

2 лЯ

x

Bx = f dBx =--^-4г - sin р- f dl = --^-Аг - sin р-2лЯ =

x     x   4л r2                                       r2

 

m°       J________ Я      Я        m°-1-Я (4ii)

^^IR^^x2)- VR2Tx^ '2лЯ   2(я °+x2)3/2 (4.11)

Знайдемо векторну суму перпендикулярних до осі X компонент вектора dB (dB±).

Зазначимо - у цій сумі для кожного вектора dB± можна знайти йому протилежний. Це

означає, що сума усіх векторів dB± буде дорівнювати нулю.

Таким чином, результуюча індукція магнітного поля B  від колового витка зі струмом буде визначатися співвідношенням

2

(4.12)

паралельних провідників. Ампер

 

 

 

§ 5 Взаємодія двох нескінченно довгих одиниця вимірювання сили струму [15]

1 У 182° р. Ампер експериментально встановив, що два прямі паралельні струми притягуються, а антипаралельні відштовхуються. Знайдемо силу взаємодії двох паралельних нескінченних струмів.

Розглянемо два нескінченно довгі паралельні провідники із струмами 1 і 2 (рис. 5.1). Індукція магнітного поля, що створюється нескінченно довгим провідником зі струмом J1 в точці A на відстані Я від провідника 1, визначається співвідношеннямB1 =


m ° J1 2 лЯ (5.1)


Рисунок 5.1Напрям вектора B1 можна визначити за правилом правого гвинта: коли гвинт встановити паралельно струму й обертати його так, щоб поступальний рух гвинта був спрямований вздовж струму, то обертання шапочки гвинта буде визначати напрям силовихліній індукції магнітного п оля. У точці A відповідно до правила правого гвинта, вектор індукції магнітного поля B1 спрямований «до нас» і перпендикулярний до провідника 2. Тому кут a між провідником 2 і індукцією магнітного поля B1 в точці A буде дорівнювати л / 2 . Тоді модуль сили Ампера, яка діє на відрізок довжиною l провідника 2 із струмом J2 , зможемо знайти із закону Ампера

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ