О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 42

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

3 Разом зі співвідношенням (83.1) у хвильовій теорії виводиться також формула

Dt-Dw> 2— . (83.4)

Зміст цього співвідношення полягає в тому, що обмежений у часі хвильовий процес не може бути монохроматичним. Якщо процес триває протягом часу Dt, то розкид частот Dw хвиль, якими цей процес характеризується, у найкращому разі задовольняє співвідношенню (83.4). Тому якщо для спостереження навіть монохроматичного процесу надано малий час Dt , то частота процесу принципово буде знайдена в найкращому разі з помилкою, що підпорядковується співвідношенню (83.4).

Якщо частоті зіставити енергію за формулою E = hw , то вираз (83.4) перейде в

Dt-DE > 2—h = hІ. (83.5)

Формула (83.5) називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга для часу й енергії.

4 Вимірювання у квантовій області принципово відрізняються від класичних вимірів. Звичайно, і ті й інші вимірювання супроводжуються помилками. Однак класична фізика вважала, що шляхом поліпшення методики й техніки вимірів помилки в принципі можуть бути зроблені як завгодно малими. Навпроти, відповідно до квантової фізики існує принципова межа точності вимірювань. Вона лежить у природі речей і не може бути зменшена ніяким удосконалюванням приладів і методів вимірювань. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга й встановлюють одну з таких меж. Взаємодію між макроскопічним вимірювальним приладом і мікрочастинкою під час вимірювання принципово не можна зробити як завгодно малою. Якщо виміряється, наприклад, координата частинки, то вимірювання неминуче приводить до принципово непереборної неконтрольованої зміни початкового стану частинки, а отже, і до невизначеності в значенні імпульсу при подальшому вимірюванні. Те саме відбувається, якщо порядок вимірювання координати й імпульсу частинки поміняти місцями.

 

ТЕМА 15 КВАНТУВАННЯ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН

 

§ 84 Хвильова функція. Фізична сутність y-функції. Стандартні умови для хвильової функції [6]

1  Розглянемо частинку, яка рухається вільно у просторі з сталим імпульсом p уздовж осі X . Де Бройль припустив, що з такою частинкою пов'язана деяка плоска монохроматична хвиля

X = A cos(wt - kx),

яка поширюється в напрямку тієї самої осі X. Сутність цієї хвилі спочатку залишалась незрозумілою. Замінивши відповідно до гіпотези де Бройля w й l через E і p, рівняння хвилі де Бройля для вільної частинки запишемо у вигляді

Y = A exp[(i / h(px - Et))] . (84.1)

Функцію Y називають хвильовою функцією (або псі-функцією). Вона описує стан частинки. Функція Y, як правило, буває комплексною й у ряді випадків (коли частинка рухається в силовому полі) має не властивий для хвилі неперіодичний характер. Незважаючи на це, її й у цих випадках називають хвильовою.

Правильну інтерпретацію хвильової функції дав у 1926 р. Борн. Згідно з Борном квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність dP того, що частинка буде виявлена в межах об'єму dV :dP = \Y\ dV = Y*YdV


(84.2)Співвідношення визначає фізичну сутність хвильової функції: квадрат модуля хвильової функції в деякій точці простору є густиною ймовірності знаходження частинки в цій

точці простору ( dP / dV = Y ).

Виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції можемо знайти, що інтеграл від виразу (84.2), узятий в усьому просторі, повинен дорівнювати одиниці:

JVYdV = 1. (84.3)

Дійсно, цей інтеграл дає ймовірність того, що частинка знаходиться в одній із точок простору, що є подією достовірною. Відомо, що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Співвідношення (84.3) називають умовою нормування.

3 З інтерпретації Борна (84.2) випливає, що квадрат модуля хвильової функції є густиною імовірності (імовірністю, віднесеною до одиниці об'єму) знаходження частинки у відповідному місці простору. З цього випливають такі властивості хвильової функції. Псі-функція повинна:

1)   бути однозначною, неперервною й скінченною (за винятком, може бути, особливих
точок);

2)  мати однозначну, неперервну та скінченну похідну;

3)  інтеграл | Y YdV, узятий по всьому простору, повинен бути скінченним.

Сукупність перелічених вище вимог називають стандартними умовами для хвильової функції.

 

 

§ 85 Загальне й стаціонарне рівняння Шредінгера [6]

1 Розвиваючи ідеї де Бройля про хвильові властивості речовини, Шредінгер отримав у 1926 р. рівняння для визначення хвильової функції. Воно дозволяє знайти хвильові функції частинок, які рухаються в різних силових полях. Рівняння виглядає так:-hl DY + UY = ih ^
2m____________


(85.1)Тут m - маса частинки; i - уявна одиниця; U - потенціальна енергія частинки; D -оператор Лапласа, результат дії якого на деяку функцію є сумою других частинних похідних за координатами:

44Т(   д 2Y   д 2Y   д 2Y ,осп.

 

Рівняння (85.1) називають загальним рівнянням Шредінгера. З рівняння (85.1) випливає, що вигляд хвильової функції визначається потенціальною енергією U , тобто в остаточному підсумку характером сил, що діють на частинку.

Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки. Воно не може бути доведене з інших співвідношень. Його варто розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі наслідки, які випливають із нього, точно узгоджуються з дослідними фактами.

Шредінгер установив своє рівняння, виходячи з оптико-механічної аналогії. Ця аналогія полягає в подібності рівнянь, які описують хід світлових променів, з рівняннями, що визначають траєкторії частинок у класичній механіці.

Пояснимо, як можна прийти до загального рівняння Шредінгера. Для простоти обмежимося   одновимірним   випадком.   Розглянемо   частинку,   яка   вільно рухається.Відповідно до ідеї де Бройля такій частинці потрібно поставити у відповідність плоску хвилю

Y = A exp[(l / h)px - Et)] . Продиференціюємо цю функцію один раз за t, а інший раз - двічі за x й отримаємо

^ = -Ley   ^-f if p2Y dt     h    '   dx2   ^ h 0

Звідси

 

 

E =ih---- , p =------ h ——. (85.3)

Y    dt                   Y    dx2

У нерелятивістській класичній механіці енергія E й імпульс p вільної частинки пов'язані співвідношенням

E = £І.

2m

Підставивши в це співвідношення вираз (85.3) для E й p2 і скоротивши потім на Y, отримаємо рівняння

h2 d2Y    , dy

              T = lh—,

2m dx2 dt

яке збігається з рівнянням (85.1), якщо в останньому покласти U = 0 .

У  випадку  частинки,   що  рухається  в  силовому  полі,  яке характеризується потенціальною енергією U , енергія E й імпульс p пов'язані співвідношенням

 

= E - U .

2m

Поширивши й на цей випадок вираз (85.3) для E й p2, отримаємо

1 h2 d2Y    К. dy тт
~ih------ U.

Y 2m dx2   Y dt

Помножимо це співвідношення на Y й перенесемо доданок UY ліворуч і прийдемо до рівняння

h2 d 2Y    Y dy

              — + UY = ih —,

2m dx2 dt

яке збігається з рівнянням (85.1).

Викладені міркування не мають доказової сили й не можуть розглядатися як доведення загального рівняння Шредінгера. Їх мета - пояснити, яким чином можна було прийти до встановлення цього рівняння.

2 Якщо силове поле, у якому рухається частинка, є стаціонарним (тобто сталим в часі), то функція U не залежить явно від t. У цьому випадку розв'язок рівняння Шредінгера розпадається на два множники, один із яких залежить тільки від координат, інший - тільки від часу:

Y(x,y,z,t)=y(x,y,z)exp[-i(E/h)t] . (85.4)

Тут E - повна енергія частинки, яка у випадку стаціонарного поля залишається сталою. Щоб переконатися у справедливості виразу (85.4), підставимо його в рівняння (85.1). У результаті цього отримаємо співвідношенняh2

         exp[-i(E/h)t] Ay + Uyexp[-i(E/h)t] = ih[-i(E/h)]yexp[-i(E/h)t] .

2m

Скоротивши на загальний множник exp[- i(E / h)t] , прийдемо до диференціального рівняння, що визначає функцію y :^— Ay + Uy = Ey 2m


(85.5)Рівняння (85.5) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів (стаціонарне рівняння Шредінгера) . Надалі ми будемо мати справу тільки із цим рівнянням і для стислості будемо називати його просто рівнянням Шредінгера. Рівняння (85.5) часто пишуть у вигляді

Ay + ^2. (e - U)y = 0. (85.6)

h2

У випадку стаціонарного силового поля хвильова функція має вигляд (85.4). Тоді Y*Y = exp[i(E / h)t]y* exp[- i(E / h)t]y = y*y .

Таким чином, густина імовірності дорівнює y*y й, отже, від часу не залежить. Саме тому стани, які описуються хвильовими функціями вигляду (85.4), називають стаціонарними.

3 У класичній механіці стан частинки (матеріальної точки) визначається завданням положення і швидкості (або імпульсу) частинки. Якщо є відомим стан у початковий момент часу й силове поле, у якому знаходиться частинка, то, розв' язавши рівняння Ньютона, можна знайти положення й швидкість частинки у будь-який наступний момент часу. У цьому полягає сутність причинності в класичній механіці.

У квантовій механіці класичне поняття стану позбавлене змісту, тому що координата й швидкість частинки принципово не можуть мати одночасно певних значень. Тому класичне поняття причинності також не можна застосовувати у квантовій теорії. Стан частинки задається у квантовій механіці хвильовою функцією. Якщо відомі хвильова функція в початковий момент часу й силове поле, у якому рухається частинка, то, розв' язавши рівняння Шредінгера, можна знайти хвильову функцію в наступні моменти часу. У цьому полягає сутність причинності у квантовій механіці. Таким чином, квантова механіка не скасувала принцип причинності. Вона лише надала йому форму, яка відповідає дійсній природі речей.

 

 

§ 86 Рівняння Шредінгера та квантування енергії [6]

1 Квантування енергії виникає тому, що на хвильові функції y, які є розв'язками рівняння Шредінгера

h2

         Ay + Uy = Ey, (86.1)

2m

накладаються певні обмеження - стандартні умови для хвильової функції. При цих обмеженнях рівняння (86.1) має розв'язки, у загальному випадку, не при всіх, а тільки при вибраних значеннях параметра E (E визначає енергію частинки). Тут маємо випадок, аналогічний до того, що має місце в задачі про вільні коливання струни із закріпленими кінцями. Через закріпленість кінців ці коливання є стоячими хвилями з такими вибраними частотами, що на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль.

Стандартні умови для хвильової функції, що накладаються на розв'язки рівняння Шредінгера, полягають у тому, що хвильова функція y(x, y, z) і її перші просторові похідні повинні бути скінченними, однозначними й неперервними, інтеграл від y(x, y, z) по усьомупростору повинен бути скінченним. Вибрані значення параметра Е, для яких рівняння Шредінгера має розв 'язки, що задовольняють стандартні умови, називаються власними значеннями величини Е для диференціального рівняння (86.1), а відповідні їм розв'язки -власними функціями того самого рівняння. Власні значення Е і беруть за можливі значення енергії у стаціонарних станах. Власні значення енергії Е можуть бути дискретними, а можуть неперервно заповнювати скінченний або нескінченний інтервал. У першому випадку говорять, що енергетичний спектр дискретний, а в другому - неперервний.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ