О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 43

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Таким чином, квантування енергії випливає з основних положень квантової механіки без будь-яких додаткових припущень.§ 87 Частинка в одновимірній потенціальній частинки в потенціальній ямі [6] ямі. Енергія і хвильова функція1 У нерелятивістській квантовій механіці основним принципом є рівняння Шредінгера. Пошук розв'язків цього рівняння, які задовольняють стандартні умови, приводить до дискретності енергетичних рівнів. Продемонструємо це на прикладі задачі про частинку, яка знаходиться в одновимірній нескінченно глибокій потенціальній ямі.

Знайдемо власні значення енергії й відповідні їм власні функції для частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі. Припустимо, що частинка може рухатися тільки уздовж осі X. Нехай рух обмежений непроникними для частинки стінками з такими координатами: x = 0 і x = l. Потенціальна енергія U має в цьому випадку такий вигляд (рис. 87.1а): вона дорівнює нулю при 0 £ x £ l й перетворюється у нескінченність при x < 0 й x > l. Для розв'язання задачі використаємо стаціонарне рівняння ШредінгераDy + 2m - U )y


0.


(87.1)U


n = 4


Е4U = ¥


U = ¥


n = 3


Е3n = 2 n = 1


Е2
l xб

Рисунок 87.1: а - нескінченно глибока потенціальна яма; схема рівнів енергії частинки, що знаходиться в такій ямі 2 Оскільки хвильова функція залежить тільки від координати x, то рівняння (87.1) спрощується:д2y   2m v


0.


(87.2)За межі потенціальної ями частинка потрапити не може (там потенціальна енергія дорівнює нескінченності U = ¥). Тому ймовірність виявлення частинки за межами ями дорівнює нулю. Відповідно й функція y за межами ями дорівнює нулю. З умови неперервності випливає, що y повинна дорівнювати нулю й на межах ями, тобто

y(0)=y(l )= 0. (87.3)Це і є одна із стандартних умов, яку повинен задовольняти розв'язок рівняння (87.2). В області, де y не дорівнює тотожно нулю, рівняння (87.2) має вигляд

f^ + f£y = 0 (87.4)

ox hk2 = 2mE, (87.5)

(у цій області U = 0 ). Увівши позначення

7,2___

h2

прийдемо до рівняння

y" + k 2y = 0,

яке в теорії коливань називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Розв'язок такого рівняння має вигляд

y(x )= A sin (kx + a) (87.6)

(у цьому випадку зручніше взяти синус замість косинуса). Умови (87.3) можна задовольнити відповідним вибором сталих k і a. Насамперед з умови y(o) = 0 отримуємо

y(0) = A sin a = 0,

звідки випливає, що a повинна дорівнювати нулю. Також повинна виконуватися умова

y(/ )= A sin (kl )= 0,

що можливо лише у випадку, коли

kl = ±np (n = 1, 2, 3, ...) (87.7)

(n = 0 не беремо до уваги, оскільки при цьому виходить, що y = 0 - частинка у потенціальній ямі відсутня).

Виключивши k з рівнянь (87.5) і (87.7), знайдемо власні значення енергії частинки:E = En = n2 (n = 1,2,3,...)
_______ 2ml________________


(87.8)Спектр енергії виявився дискретним. На рис. 87.16 зображена схема енергетичних рівнів.

Відповідно до формули (87.8) мінімальна енергія, яку може мати частинка, що знаходиться в потенціальній ямі, відмінна від нуля. Цей результат обумовлений хвильовими властивостями частинки й може бути отриманий зі співвідношення невизначеностей.

3 Далі знайдемо власну хвильову функцію рівняння Шредінгера. Підставивши в (87.6) значення k, яке отримали з умови (87.7), знайдемо власні хвильові функції:

y = y n (x )= A sin

l

(нагадаємо, що a = 0 ). Для знаходження коефіцієнта A використаємо умову нормування, яку у цьому випадку запишемо так:

A J sin            dx = 1.Нескладно отримати, що

Jsin2-

0


 

dx


cosi

 

J1

0


(2 npx / /)


sin (2npx / / f\ 2 -(2np / /)


 

 

 

0


/

2Звідси А2 112 = 1, або А = V211. Таким чином, власні функції частинки в потенціальній ямі мають виглядy n(x )=\ 7 sinT~


(n = 1, 2, 3,...).


(87.9)
Рисунок 87.2: а - графіки власні функції частинки, що знаходиться в потенціальній ямі, яка зображена на рис. 87.1а; б - густина ймовірності знаходження частинки в точках з різними значеннями координати x

Графіки власних функцій зображені на рис. 87.2а. На рис. 87.2б подана густина

ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, що дорівнює y*y. Із

графіків, наприклад, випливає, що в стані із n = 2 частинка не може бути виявлена всередині ями й разом з цим однаково часто буває як у лівій, так і в правій половині ями. Така поведінка частинки є несумісною з класичними уявленнями про траєкторії. Відзначимо, що відповідно до класичних уявлень усі положення частинки в ямі мають однакову ймовірність.

 

 

§ 88 Тунельний ефект. Коефіцієнт проходження [3]1 Нехай потенціальний

частинка, яка бар'єр висотою


рухається зліва направо, зустрічає на своєму шляху £/0 й шириною / (рис. 88.1). За класичними уявленнямичастинка повинна вести себе так. Якщо енергія частинки більша за висоту бар'єра (E > U0),

частинка безперешкодно проходить над бар'єром (на ділянці 0 £ x £ / лише зменшується швидкість частинки, але потім при x> знову набуде початкового значення). Якщо ж E менше U0 (як зображено на рисунку), то частинка відбивається від бар'єра й летить у

зворотній бік; крізь бар'єр частинка проникнути не може.

U(x)

U 0

E

II

III

Зовсім інакше виглядає поведінка частинки з точки зору до квантової механіки. По-перше, навіть при E > U0 є відмінна від нуля ймовірність того, що частинка відіб'ється від бар'єра й полетить у зворотній бік. По-друге, при E < U0 є відмінна від

0

Рисунок 88.1 Рівняння Шредінгера має вигляд

нуля ймовірність того, що частинка проникне «крізь» бар'єр і опиниться в області, де x> . Така поведінка є цілком неможливою з класичної точки зору. Ця поведінка мікрочастинки випливає безпосередньо з рівняння Шредінгера.

2 Розглянемо випадок E < U^ + fEy = 0                (88.1)

dx h

для областей I і III й

^ +      E - U0)y = 0                                                          (88.2)

для області II, причому E - U0 < 0 .

Будемо шукати розв'язок рівняння (88.1) у вигляді y = є11. Підстановка цієї функції в (88.1) приводить до характеристичного рівняння

12 + 2m E = 0.

h2

Звідси 1 = +/СХ, де

1

a = -V2mE.                                                              (88.3)
h

Таким чином, загальний розв'язок рівняння (88.1) має вигляд

y1 = A1e'ax + B1e~'ac для області I,

y3 = A3eiax + B3e~'ax для області III.                                           (88.4)

Вирішивши підстановкою y = ebx рівняння (88.2), отримаємо загальний           розв'язок
цього рівняння у вигляді

y2 = A2epx + B2e~px для області II. (88.5)

Тут

р = ід/2m(U0 -E) . (88.6)

 

Зазначимо, розв'язок вигляду e'ax відповідає хвилі, яка поширюється в додатному

напрямку осі X, а розв'язок вигляду e~iax - хвилі, яка поширюється в протилежному напрямку. Щоб це зрозуміти, згадаємо, що звичайна (звукова, електромагнітна і т.п.) плоска хвиля, яка поширюється в напрямку зростання x, описується дійсною частиною виразу e'(wt-kx), а хвиля, яка поширюється в напрямку зменшення x, - дійсною частиною виразу e'(wt+kx). Частинці, яка рухається в додатному напрямку осі X, зіставляється функція Y = ae^''h)(px-Et). Якщо відкинути в цій функції часовий множник, то для y отримаємо вираз

y = ae'(p 1 h)x . Для частинки, яка рухається в протилежному напрямку, буде y = ae~'(p 1 h)x .

В області III є тільки хвиля, яка пройшла через бар'єр і поширюється зліва направо. Тому коефіцієнт B3 у виразі (88.4) для y 3 потрібно покласти таким, що дорівнює нулю. Для

знаходження інших коефіцієнтів скористаємося стандартними умовами, які повинна задовольняти хвильова функція y . Для того щоб y була безперервною у всій області x від

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ