О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

-оо до +оо, повинні виконуватися умови y1(0) = y2(0) і y2(/) = y3(/). Для того щоб y

була гладкою,  тобто не мала зломів,  повинні виконуватися умови   y\ (0) = y2 (0) і

y 2(/) = у 3(/) . Із цих умов випливають співвідношення:

А + B1 = А2 + B2,

A2eb/ + B2e"p/ = A3e'a/,

'aA1 -'aB1 = pA2 -pB2, (88.7)BA2ebl -р£2е"рг = iaA3e'al. Розділимо всі рівняння на Ai й введемо позначення:

 

bi =—, a2 =—, b2 =—, a3 = —
Ai             Ai             Ai Ai

а такожТоді рівняння (88.7) наберуть вигляду

1 + bi = a2 + b2,

(88.9)

a2ebl + b2e"bl = a3eial, i - ibi = na2 - nb2,

bl       7,    -Bl ial

na2eH - nb2e v = ia3e . Відношення квадратів модулів амплітуд відбитої й падаючої хвилі

R =     = |bJ|2 lAi|

визначає ймовірність відбиття частинки від потенціального бар'єра й називається коефіцієнтом відбиття.

Відношення квадратів модулів амплітуд хвилі, що пройшла, й падаючої хвилі

A І2

D = ^-Аг = |a3|2 (88Л0)

Ail2

визначає ймовірність проходження частинки через бар'єр і називається коефіцієнтом проходження (або коефіцієнтом прозорості).

Нас буде цікавити тільки проходження частинок через бар'єр, і ми обмежимося знаходженням величини D. Слід зазначити, знайшовши D, легко знайти R, оскільки ці коефіцієнти пов'язані очевидним співвідношенням R + D = i.

Помножимо перше з рівнянь (88.9) на i й складемо з третім. У результаті отримаємо

2i = (n + i)a2 - (n-i)b2. (88.ii)

Тепер помножимо друге з рівнянь (88.9) на i й віднімемо його від четвертого. Отримаємо:

(n-i)ebla2 - (n + i)e"plb2 = 0. (88.i2)

Вирішивши спільно рівняння (88.ii) і (88. i2), знайдемо, що

=        2i (n + i)e "pl a2 = (n + i)2 e~bl - (n - i)2 ebl ,

=        2i (n - i)ebl 2 = (n + i)2 e~bl - (n - i)2 ebl .

Нарешті, підставивши знайдені нами значення a2 й 2 у друге з рівнянь (88.9), отримаємо вираз для a3 :

4ni

a =____________________ e~ial

3   (n + i)2 e~bl - (n - i)2 ebl .

Величинаbl


pm(Uо - E)

h


I.як правило, є набагато більшою за одиницю. Тому в знаменнику виразу для a3 доданком,

який містить множник e-bl , можна знехтувати у порівнянні з доданком, який містить

множник ebl (комплексні числа n+i й n-i мають однаковий модуль). Отже, можна припустити

a3

4nie-ial

e-bl

(n - i)2

Згідно з (88.i0) квадрат модуля цієї величини дає ймовірність проходження частинки через потенціальний бар'єр. Урахувавши, що | n - i |= Vn2 +1, отримаємо
2

a3 »

16n2 (n2 +1)2


e-2bln2


Uо - E E

U -1

E(див. формулу (88.8)).

Вираз 16n2 /(n2 +1)2 має величину порядку одиниці. Тому можна вважати, щоD » e~2bl = exp


2 l


pm(Uо - E)


(88.i3)U (x)

З отриманого нами виразу випливає, що ймовірність проходження частинки через потенціальний бар'єр істотно залежить від ширини бар'єра l й від величини U0 - E.

Якщо при якійсь ширині бар'єра коефіцієнт проходження D дорівнює, припустимо, 0,0i, то при збільшенні ширини у два рази D буде дорівнювати 0,012 = 0,0001, тобто зменшується в 100 разів. Той самий ефект у цьому випадку викликало б зростання в чотири рази величини U0 -E. Коефіцієнт проходження різко    Рисунок 88.2

зменшується при збільшенні маси частинки m .

3 Подібний розрахунок можна виконати у випадку потенціального бар'єра довільної форми (рис. 88.2). У цьому разі формула (88.13) повинна бути замінена більше загальною:
exp


2 JV 2m(U - E)dx

h a


(88.14)де U = U(x) .

При подоланні потенціального бар'єра частинка ніби проходить через «тунель» у цьому бар'єрі (див. заштриховану область на рис. 88.2). У зв'язку з цим розглянуте нами явище називають тунельним ефектом.

 

 

§ 89 Оператори фізичних величин. Власні функції та власні значення. Принцип суперпозиції [6]

Операторний метод широко використовується у більшості досліджень з квантової механіки. Розглянемо сутність цього методу.1 Оператори. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Під оператором мається на увазі правило, за допомогою якого одній функції (позначимо її через j) зіставляється інша функція (позначимо її через f). Символічно це записується так:

f = Q j . (89.1) Тут Q - позначення оператора. Для того щоб відрізнити оператори від чисел, їх позначають

через Q, тобто ставлять кришечку над Q або використовують інше позначення.

Таким чином, під символом оператора розуміють сукупність дій, за допомогою яких вихідна функція ( j ) перетворюється в іншу функцію ( f).

Наприклад, символ оператора Лапласа А = Qi1 позначає дворазове частинне диференціювання за усіма трьома координатами x, y і z з подальшим підсумовуванням отриманих виразів. Тобто оператор Лапласа можна подати у виглядіА = Qi

д2    д2 д2 - +^ + -

dx2   dy2   dz2 '

За допомогою оператора можемо подати множення вихідної функції j на деяку функцію U . Тоді наступне перетворення f = U •j можна записати у вигляді f = Q2j, де

Q 2 = u .

Використовуючи операторний підхід, рівняння Шредінгера2m

можна записати в операторному вигляді


Ay + Uy = Ey


(89.2)\Hy = Ey|

У цьому рівнянні символом H позначений оператор, який дорівнює


(89.3)H


2m


А + U


(89.4)Цей оператор називають гамільтоніаном, або оператором Гамільтона. Гамільтоніан є оператором енергії E.

2 Сутність операторного методу. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Розглядаються оператори координат, імпульсу, моменту імпульсу і т. д. Для кожної фізичної величини q складається рівняння, аналогічне до рівняння Шредінгера в операторному вигляді (89.3). Воно має виглядQy = qy


(89.5)де Q - оператор, який ставиться у відповідність фізичній величині q.

Значення q, при яких розв'язок рівняння (89.4) задовольняє стандартні умови для хвильової функції, називаються власними значеннями величини q, а самі розв'язки - її власними функціями. Власні значення величини q і беруться за можливі значення цієї величини, які спостерігаються в експерименті.

Розглядаючи з цих позицій рівняння Шредінгера (89.3), можемо стверджувати, що воно є рівнянням для власних значень енергії (q= E). Оператор енергії визначається

співвідношенням (89.4) (Q = H ).З Принцип суперпозиції. Спектр власних значень може бути як дискретним, так і суцільним. У випадку дискретного спектра власні значення й власні функції можна пронумерувати:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ