О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

 

 

 

За умови дискретного спектра власних значень фізичної величини спостерігаємо дві ситуації. Можливі стани, для яких при вимірюванні деякої величини q завжди отримуємо

однакові значення qn. Про такі стани говорять як про стани, у яких величина q має певне

значення. Цей стан описується функцією yп. Однак можливі також стани, для яких при

вимірюваннях отримуємо з різною ймовірністю різні власні значення оператора Q. Про такі стани говорять як про стани, у яких величина q не має певного значення.

Хвильова функція стану, у якому q не має певного значення, є суперпозицією (накладенням) власних функцій величини q :

y = Zcnyп , (89.7)

п

де cn, у загальному випадку, є комплексними числами, які не залежать від координат. Кількість доданків у сумі дорівнює числу різних власних функцій величини q.

Формула (89.7) виражає принцип суперпозиції хвильових функцій: коли хвильові функції y1, y2,     yп, ... описують деякі стани, то і функція y = c1y1 + c2y2 +... + cnyn +...

подає деяку хвильову функцію, що описує деякий стан системи. Обґрунтуванням принципу суперпозиції є узгодженість з дослідом наслідків, які випливають з нього. Так, за допомогою принципу суперпозиції квантова механіка пояснює дифракцію та інтерференцію частинок.

Квадрати модулів коефіцієнтів cn дорівнюють імовірності того, що при вимірах, які виконуються над системою, що перебуває у стані y, будуть отримані відповідні значення величини q . Оскільки сума всіх таких ймовірностей повинна дорівнювати одиниці, коефіцієнти cn задовольняють умову

Z Ы2=і.

п

 

 

§ 90 Середні значення фізичних величин з точки зору операторного підходу. Оператори радіуса-вектора, імпульсу, енергії. Зв'язок між власними й середніми значеннями [11]

1 Як визначають середнє значення фізичної величини в квантовій механіці, використовуючи операторний підхід? Для відповіді на це питання розглянемо приклад. Припустимо, що багаторазово проводиться вимір координати x частинки, причому частинка кожного разу перебуває в однакових макроскопічних умовах. Тоді стан частинки в цих дослідах можна характеризувати хвильовою функцією y(x) , яку для спрощення будемо вважати функцією тільки однієї просторової координати x . Середнє значення координати, яке буде знайдено в результаті вимірів, можна записати у вигляді

(xj = |xdP = |xy*ydx = |y*xydx . (90.1)

і   |2 *

Тут використано, що dP = y dV = y ydx є, виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції, ймовірністю того, що частинка буде знайдена в інтервалі x, x + dx .Використовуючи операторний підхід, вираз для середнього значення записують

інакше:

(90.2)

де x оператор величини x. Порівнюючи вирази (90.1) і (90.2), бачимо, що оператор x -й координати має вигляд

x = x { (90.3) Аналогічно можна показати, що оператори  y  й  z  -координат виражаються формулами

F71 Ю.

(90.4)

Таким чином, оператор радіуса-вектора можна записати в так:

(90.5)

Абсолютно так само обчислюється середнє значення довільної функції від координат f (x y, z ):

{/(x,У, zJ = \y*fydxdydz , (90.6) де оператор функції f (x, y, z) знаходять так, як і оператор радіуса-вектора (див. (90.5)):

f = f(x, y, z)= f(x, y, z). (90.7)

Вищевикладений метод знаходження середніх значень поширюють у квантовій механіці на будь-яку фізичну величину (яка залежить не тільки від координат, а й від імпульсів). Для будь-якої фізичної величини F(f, p) середнє значення визначається як(F) = JVFydV


(90.9)де F - оператор величини F(f, p), який має виглядF = F (f, p)


(90.10)2 Знайдемо в явному вигляді оператор імпульсу.

Як відомо, енергія частинки дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії і визначається функцієюH (f, p) =


2m


+ U (x, y, z ).


(90.11)Використовуючи правило (90.10), енергії (90.11) можна поставити у відповідність операторH=H


2

и (x, y, z )=M

2m 2m


+ U (x, y, z).


(90.12)Порівняємо оператор (90.12) з оператором Гамільтона (оператор енергії, який визначили з рівняння Шредінгера)

 

H = -—А + U(x, y, z) . (90.13)

           2m                     

З порівняння (90.12) та (90.13) випливає

M.=-*L d°-(() °(-

2m     2m      2m 2m
(V)2. З

 

(90.14)Зрозуміло, що оператор енергії визначається співвідношенням (90.13).

З З 'ясуємо, як пов 'язані між собою середні значення, що визначаються способом (90.9) та власні значення фізичних величин.

Для спрощення математичних перетворень розглянемо випадок стану системи, у яких величина q має певне значення. Це означає, що цей стан описується хвильовою функцією

y = yп, яка відповідає власному значенню qn. Хвильова функція yп і власне значення qn

задовольняють рівнянню

Qy п = ЧпУ п, (90.15) де Q - оператор величини q. Середнє значення величини q в цьому випадку відповідає власному значенню, тобто (q) = qn .

З іншого боку, середнє значення можемо також визначити у спосіб (90.9). Тому

(q) = \y*nQyndV ^ Використаємо в цьому співвідношенні рівняння (90.15) і отримаємо

(q) = \y*nqny ndV = qn jVny ndV = qn ^ (90.16)

Тут використали, що власне значення qn не залежить від координат, а також умову нормування для хвильової функції jy *ny ndV = 1.

Таким чином, середні значення, що визначаються способом (90.9) та за допомогою власних значень, мають одне і те саме значення.

 

 

§ 91 Комутативність операторів. Умови, за яких дві фізичні величини можуть бути виміряні одночасно [11]

1 Розглянемо дві фізичні величини a та b , яким відповідають оператори A та B . Чи завжди існує стан y, у якому обидва оператори мають визначені власні значення a та b ?

Тобто, чи завжди хвильова функція y є власною функцією одночасно як для оператора A,

так і для оператора B ? Іншими словами, чи можливо обидві фізичні величини a та b точно виміряти одночасно?

Для відповіді на це питання припустимо, що y є власною функцією як оператора A, так і оператора B . Тобто

Ay = ay ,  By = by ,

де a й b - власні значення операторів A і B в стані, якому відповідає одна і та сама хвильова функція y. Помножимо першу рівність на оператор B . Отримаємо

BAy = Bay = aBy = a b y .

Аналогічно

ABy = Aby = bAy = b a ■y .

Звідси випливає, що
L = [f х p]

xyz

px py pz\

У квантовій механіці моменту імпульсу частинки L відповідає оператор


(92.1)ex ey ezL


f х p


xyz

px py pz


x     y z

ddd

- ih------ ih------- ih

dx      dy dz


(92.2)Тут використали, що оператор радіуа-вектора дорівнює самому радіусу-вектору, а оператор імпульсу визначається виразом p = -ihV (V - оператор набла).Можна виділити чотири величини, які пов'язані з моментом імпульсу частинки. Це

2      2      2 2

три проекції і квадрат моменту імпульсу: Lx, Ly, Lz і L = Lx + Ly + Lz. Виникає питання: чи

можна одночасно виміряти усі вищеперелічені чотири величини? Щоб відповісти на це питання, потрібно перевірити: чи комутують один з одним оператори цих фізичних величин? А саме, чи комутують оператори проекційдд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ