О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 46

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

------ z і, Ly = ih\ x------- z І, Lz = -ih\ x-------- y

dz     dy J               \ dz     dx J                    {   dy dx


(92.3)і оператор квадрата моменту імпульсуL =(Lx )+(L y ) +

між собою? Нескладно провести розрахунки й переконатися, що комутують між собою тільки дві величини: оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Це означає, що одночасно можливо визначити лише z -компоненту моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Дві інші проекції виявляються при цьому абсолютно невизначеними. Це означає, що «вектор» моменту не має певного напрямку й, отже, не може бути зображений, як у класичній механіці, за допомогою спрямованого відрізка прямої.

2 Знайдемо квадрат модуля моменту імпульсу. Для цього потрібно розв'язати рівняння на визначення власних значень квадрата моменту імпульсу

 

 

де L2 - оператор квадрата моменту імпульсу частинки (див. вираз (92.4); LL - власне значення квадрата моменту імпульсу частинки. Розв'язання цього рівняння є досить складним. Тому ми обмежимося наведенням лише кінцевих результатів: власні значення оператора квадрата моменту імпульсу дорівнюють

L2 = h2l(l +l) (l = 0,1,2,...). (92.5)

Тут l - квантове число, яке отримало назву азимутального. Отже, модуль моменту імпульсу може мати лише дискретні значення, які описуються формулоюL = hyjl(l+1)  (l = 0,1,2,...)


(92.6)3 Знайдемо  z -компоненту моменту імпульсу. Для цього потрібно розв'язати рівняння на визначення власних значень z -компоненти моменту імпульсу

Ly =      , (92.7)

де Lvz - оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки; Lz - власне значення цієї величини. У сферичних координатах (r, 9, ф) оператор проекції моменту імпульсу на полярну вісь Z (від якої відлічується полярний кут 9 ) має достатньо простий вигляд

Lz = -ih —.

 

Отже, рівняння (92.7) набирає вигляду:

- ih     =      . (92.8)

 

Підстановка y = exp (аф) у рівняння (92.8) приводить після скорочення на загальний множник exp(aj) до алгебраїчного рівняння

- iha = Lz,

з якого для а отримуємо значення iLz / h . Таким чином, розв'язок рівняння (92.8) має виглядC exp [i(Lz / h)ф]

Для того щоб ця функція була однозначною (одна з стандартних умов для хвильової функції), необхідно виконати умову у(ф + 2p)= у(ф), або

exp[i(Lz /h)(ф + 2p)] = exp[i(Lz /h)(ф)] .

Ця умова буде виконаною, коли буде виконуватись співвідношення exp[i(Lz /h)• 2p] = 1, або Lz = mh, де m - ціле додатне або від'ємне число або нуль. Отже, власні значення z -компоненти моменту імпульсу мають дискретний спектр:

Lz = mh (m = 0, ± 1, ±2,...) . (92.9)

Із причин, які з'ясуються далі, число m називається магнітним квантовим числом.

Оскільки проекція вектора не може перевищувати модуль цього вектора, то повинна виконуватися умова

\mh\ £    l(l +1) .

Звідси випливає, що максимальне можливе значення |m| дорівнює l. Таким чином, можемо записати

L = hyjl(l+1) (l = 0,1,2,...) ,
Lz = mh             (m = 0, ± 1, ± 2,..., ±. (92.10)

Із цих формул випливає, що |Lz| завжди менше |L|. Отже, напрям моменту імпульсу не може

збігатися з виділеним у просторі напрямом Z . Це узгоджується з тією обставиною, що напрям моменту в просторі є невизначеним.

Слід відзначити, що з правил квантування моменту випливає, що сталу Планка h можна розглядати як природну одиницю моменту імпульсу.

4 Момент імпульсу системи, що складається з декількох мікрочастинок, дорівнює сумі моментів окремих часток. Сумарний момент, як і будь-який момент взагалі, визначається виразом

Lpe3\ = hV L(L +1), (92.11)

де L - азимутальне квантове число результуючого моменту. Для випадку системи, яка складається з двох частинок, число L може мати такі значення:

L = і1 + і2, і1 + і2-1,..., |і1 -1^, (92.12) де l1 й l2 - числа, що визначають модулі моментів, які складаються, за формулою

Li|=/ц/і, (і, +1).

 

 

ТЕМА 16 ФІЗИКА АТОМІВ І МОЛЕКУЛ

§ 93 Атом водню з погляду квантової механіки. Квантові числа: n, l, mi. Кратність виродження. Правило відбору [6]

1 Розглянемо систему, яка складається з нерухомого ядра із зарядом Ze (Z - ціле число), і електрона, який рухається навколо нього. При Z > 1 така система називається воднеподібним іоном; при Z = 1 вона є атомом водню.

Потенціальна енергія електрона дорівнює4pe0 r

( r - відстань електрона від ядра). Отже, рівняння Шредінгера має виглядV 2y +


e

E + -

h2

r

2me (       1   Ze2 ^

4pe0


y = 0 (93.1)( me - маса електрона).

Поле, у якому рухається електрон, є центральносиметричним. Тому доцільно скористатися сферичною системою координат: r,9, ф . Підставивши в (93.1) вираз оператора Лапласа в сферичних координатах, прийдемо до рівнянняr2 dr ^    dr J   r2 sin9д9^      д90   r2 sin29 дф2    h2


r

f E 1 Ze2 > E + -

4pe0 y = 0. (93.2)Можна показати, що рівняння (93.2) має розв'язки для хвильової функції, які задовольняють стандартні умови (тобто однозначні, скінченні й безперервні), у таких випадках: 1) при будь-яких додатних енергіях E; 2) при дискретних від'ємних значеннях енергії, що дорівнюють

m e4 Z2

En =            V   . (n = 1,2,3,...). (93.3)

(4pe0 )22h2 n2

Випадок E > 0 відповідає електрону, що пролітає поблизу ядра й віддаляється знову на нескінченність. Випадок E < 0 відповідає електрону, який рухається навколо ядра. Порівняння з виразом для енергії, яке отримано в теорії Бора, показує, що квантова механіка приводить до таких самих значень енергії водневого атома. Однак у квантовій механіці ці значення утворюються як наслідок основних положень цієї науки. Бору ж для отримання такого результату довелося вводити спеціальні додаткові припущення. Власні функції рівняння (93.2) містять три цілих параметри n, l й m :

y = y „,l,m (r, q, ф). (93.4)

Параметр n, який називають головним квантовим числом, збігається з номером рівня енергії (див. формулу (93.3)). Параметри l і m є азимутальним й магнітним квантовим числом, які визначають за відповідними формулами модуль моменту імпульсу й проекцію моменту на деякий напрям Z .

Розв'язки для хвильової функції, які задовольняють стандартні умови, мають місце лише для значень l, які не перевищують n-1 . Отже, при заданому n квантове число l може набувати n різних значень:

l = 0,1,2,..., n-1.

При заданому l квантове число m може набувати 2l +1 різних значень:

m = -l, -1 +1,...,-1,0, +       -1,l.

2 Згідно з (93.3) енергія електрона залежить тільки від головного квантового числа n . Отже, кожному власному значенню енергії En (крім E1 ) відповідає кілька власних функцій

ynlm, які відрізняються значеннями квантових чисел l і m. Це означає, що атом водню

може мати одне і те саме значення енергії, перебуваючи в декількох різних станах. У табл. 1 наведені стани, що відповідають першим трьом енергетичним рівням.

Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а число різних станів з яким-небудь значенням енергії називається кратністю виродження відповідного енергетичного рівня.Кратність виродження рівнів водню легко обчислити, виходячи з можливих значень для l й m. Кожному з n значень квантового числа l відповідає 2l +1 значень квантового числа m . Отже, число різних станів, що відповідають даному n , дорівнює

2 (2l +1) = n2 (93.5)

l=0


(див. також пункт 5 цього параграфа). Для обчислення суми в (93.5) використали формулу арифметичної прогресії.

Таким чином, кратність виродження енергетичних рівнів водневого атома дорівнює

n2 (див. також табл. 1, п.5 цього параграфа).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ