О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

(8.2)Однією з особливостей магнітного поля є те, що його силові лінії завжди замкнені,

тобто не мають ні початку, ні кінця. Внаслідок цього потік вектора B через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю (доводити це не будемо):BdS


0


(8.3)Ця формула виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в інтегральному вигляді: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.

Теорема Гаусса є математичним виразом того, що в природі відсутні «магнітні заряди» - джерела магнітного поля, на яких би починалися або закінчувалися лінії магнітної індукції.

Зазначимо, що магнітний потік Ф вимірюється у веберах (1 Вб=1 Тл-1 м2). 2 Для того щоб отримати теорему Гаусса в диференціальному вигляді, використаємо теорему Остроградського-Гаусса

JA ■ dS = JdivA ■ dV, (8.4)

S Vде об'єм інтегрування V знаходиться в середині замкненої поверхні інтегрування S .

Виходячи з теореми Остроградського-Гаусса й  (8.3),  отримаємо для магнітного поля


індукціїJ BdS = J divBdV = 0,

V

або

divB = 0

(8.5)

Співвідношення (8.5) виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в диференціальному вигляді.

3 Тепер знайдемо циркуляцію вектора B. Нагадаємо, що циркуляцією вектора B за

визначенням називають інтеграл по замкненому контуру Г :B dl


(8.6)
dl - елемент замкненого контуру Г , по якому виконують інтегрування.
Обчислимо

циркуляцію

вектора B для випадку поля нескінченного прямого струму. Нехай замкнений контур Г лежить у площині, яка перпендикулярна до провідника, по якому проходить такий електричний струм (рис. 8.1). У

кожній точці контуру вектор B спрямований за дотичною до кола, що проходить через цю точку. Через центр     цього     кола проходить

а)

Рисунок 8.1 - До обчислення циркуляції для поля прямого струму. Струм перпендикулярний до площини рисунка і спрямований за рисунокелектричний струм I і спрямований за площу рисунка. Подамо B dl у вигляді B dlB (dlB -

проекція dl на напрям вектора B ). З рисунка випливає, що dlB дорівнює bda , де b -

відстань від провідника зі струмом до dl ; da - кут, на який повертається радіальна пряма при переміщенні уздовж контуру на відрізок dl. Підставимо в (8.6) це значення dlB, вираз для індукції B нескінченно довгого провідника зі струмом й отримаємоIBdl = І BdlB = I^-—bda = ^ J da .

 

При обході контуру Г, що охоплює струм (рис. 8.1а), радіальна пряма увесь час повертається в одному напрямку, тому | da = 2p. Якщо струм не охоплюється контуром Г

(рис. 8.1 б), то радіальна пряма повертається спочатку в одному напрямку (ділянка 1-2), а потім у протилежному (ділянка 2-1). Кути da, що відповідають поворотам у протилежні

боки, відрізняються знаком. Тому | da = 0. Обидва результати можна виразити формулою

J Bdl =|V, (8.7) Г

де I - струм, який охоплюється контуром Г. Якщо контур Г струму не охоплює, I = 0 і, отже, циркуляція також дорівнює нулю.

Знак циркуляції залежить від напрямку обходу контуру. Якщо цей напрям утворює з напрямом струму правогвинтову систему, то, як випливає з рис. 8.1а, вираз (8.7) додатний, у протилежному разі - від'ємний. Знак можна врахувати, вважаючи І алгебраїчною величиною, причому додатним потрібно вважати струм, напрям якого утворює із напрямом обходу контуру правогвинтову систему; струм протилежного напрямку буде від'ємним.

Ми отримали формулу (8.7) для прямого струму й плоского контуру. Однак можна довести, що ця формула є правильною й для неплоского контуру, і для струму, що проходить по провіднику довільної форми.

За допомогою принципу суперпозиції отриманий результат легко узагальнюється на випадок декількох струмів:

J Ш =    £ 4 (8.8)

г________ k

Формула (8.8) виражає теорему про циркуляцію вектора індукції магнітного поля у вакуумі: циркуляція вектора B по довільному контуру Г дорівнює алгебраїчній сумі струмів, що охоплюються контуром Г, яка помножена на |m0 .

Зазначимо, що формула (8.8) справедлива тільки для поля у вакуумі й за умовою відсутності змінних у часі електричних полів. Поле, циркуляція якого не дорівнює нулю, називається вихровим. Таким чином, магнітне поле є вихровим.

 

 

§ 9 Магнітне поле тороїда. Магнітне поле нескінченного соленоїда [5]

1  У вченні про магнітне поле сталих струмів теорема про циркуляцію магнітного поля

jBdl , (9.1)

Г k

де £ Ik   дорівнює алгебраїчній сумі струмів, що охоплюються контуром Г, відіграє

приблизно таку саму роль, що і теорема Гаусса в електростатиці. За умови наявності симетрії у розподілі електричних струмів теорема про циркуляцію дозволяє достатньо просто визначити індукцію магнітного поля.

2  Тороїдом називається провідник, який навитий на каркас, що має форму тора (рис. 9.1). Застосуємо теорему про циркуляцію магнітного поля (9.1) для знаходження магнітного поля, яке створює електричний струм І , що проходить по тороїду. Візьмемо контур інтегрування Г у вигляді кола радіуса r, центр якого збігається із центром тороїда

(див. рис. 9.1). У наслідок симетрії розподілу електричних струмів вектор B у кож ній точці

контуру Г спрямований вздовж дотичної до нього. Отже, циркуляція вектора B вздовж цього контуру дорівнюєBdl = В ■ 2кг.

де В - магнітна індукція у тих точках, де проходить контур Г .

Якщо   контур   проходить   усередині   тороїда, він охоплює струм £ Ik = 2nRnI, де R - радіус тороїда; n -

число витків на одиницю його довжини. Тоді згідно з теоремою про циркуляцію магнітного поля (9.1) можемо записати

В

(9.2а)

В 2кг = m0 2%RnI, звідки знаходимо індукцію магнітного поля всередині тороїда

 

m0niра-

Коли контур проходить за межами тороїда, то він струмів не охоплює. Тому в цьому випадку В 2кг = 0. Отже, за межами тороїда поле дорівнює нулю

В = 0||. (9.2б)

Таким чином, поле зосереджене усередині тороїда. Зазначимо, що поле тороїда не є однорідним, у точках з різним значенням г індукція магнітного поля, як це випливає з (9.2а), є різною.

2 Соленоїдом називається провідник, який навитий на каркас, що має форму циліндра. Знайдемо індукцію магнітного поля нескінченно довгого соленоїда з відомим числом витків на одиницю його довжини n , по якому проходить струм I .

Перш за все зазначимо, що нескінченно довгий соленоїд є частинним випадком тороїда. Дійсно, коли радіус тороїда R збільшувати до нескінченності, то довільний відрізок тороїда перейде у соленоїд. Звідси випливає, що магнітне поле соленоїда можна знайти, використовуючи формулу для індукції магнітного поля тороїда (9.2).

Розглядаючи улаштування тороїда (див. рис. 9.1), неважко з'ясувати, що відстань від центра тороїда до його довільної точки г пов'язана з радіусом тороїда R таким співвідношенням:

г = R - h, (9.3)

де h є відстанню від осі тороїда до його довільної точки (див. рис. 9.1). Підставимо (9.3) в (9.2), перейдемо до випадку R ® ¥ і отримаємо формулу для індукції магнітного поля всередині соленоїда

В = monI lim іт^т] = monI lim [~   Г77Г1 = monIГтЛ: 1 = monI.

R®¥{R - h J    'u    R®¥{ 1 - h/R J    'u    ^ 1 - 0, Таким чином, індукція магнітного поля всередині соленоїда дорівнює

В = monI . (9.4а)

Зрозуміло, що за межами соленоїда, як і у випадку тороїда, магнітне поле відсутнє, тобто

В = 0||. (9.4б)

Слід також відзначити, що як випливає з (9.4), у різних внутрішніх точках соленоїда магнітне поле має однакове значення як за модулем, так і за напрямом. Тобто всередині соленоїда магнітне поле є однорідним.ТЕМА 2 МАГНІТНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ

§ 10 Намагнічування речовини. Гіпотеза Ампера. Намагніченість [5]

1  Якщо в магнітне поле В0, що створене у вакуумі, помістити будь-яку речовину, то

магнітне поле зміниться. Це пояснюється тим, що всяка речовина є магнетиком, тобто здатна під дією магнітного поля отримувати магнітний момент (намагнічуватися). Намагнічена

речовина створює додаткове поле В', що разом з полем В0 утворює результуюче поле

В = В0 +В'. (10.1)

Дійсне (мікроскопічне) поле в магнетику дуже змінюється в межах міжмолекулярних

відстаней. Тому під індукцією В розуміємо на увазі усереднене (макроскопічне) поле.

2  Для пояснення намагнічування тіл Ампер припустив (гіпотеза Ампера), що в молекулах речовини циркулюють кругові струми (молекулярні струми). Кожний такий струм має магнітний момент і створює в навколишньому просторі магнітне поле. За умови відсутності зовнішнього поля молекулярні струми орієнтовані безладно, тому результуюче поле, що обумовлене ними, в середньому дорівнює нулю. Внаслідок хаотичної орієнтації магнітних моментів окремих молекул сумарний магнітний момент тіла також дорівнює нулю. Під дією зовнішнього поля магнітні моменти молекул отримують переважну орієнтацію в одному напрямку, внаслідок чого речовина намагнічується - його сумарний магнітний момент стає відмінним від нуля. Магнітні поля окремих молекулярних струмів у

цьому випадку вже не компенсують один одного, і тому виникає поле додаткове В'. Гіпотеза Ампера, як виявилось пізніше, правильно описує намагнічування парамагнетиків.

3  Намагнічування речовини характеризують вектором намагніченості. Вектором намагніченості називають магнітний момент одиниці об 'єму

J = D~ £ Рт, (10.2)

де AV - фізично нескінченно малий об'єм, узятий біля деякої точки простору; pm -

магнітний момент окремої молекули. Підсумовування виконується за всіма молекулами, що знаходяться в об'ємі AV .

Як випливає зі співвідношення (10.2) намагніченість у системі СІ вимірюється в

амперах поділених на метр ([ J] = A м2/ м3 = А / м ).

 

 

§ 11 Теорема Гаусса для індукції магнітного поля в речовині. Напруженість магнітного поля. Теорема про циркуляцію напруженості магнітного поля [5]

1 Поле, яке створюється молекулярними струмами В', так само як і поле у вакуумі В0 не має джерел. Тому дивергенція результуючого поля у речовині

В = В0 +В' (11.1)

дорівнює нулю:

divB = divB0 + divB' = 0. (11.2)

Таким чином, отримуємо теорему Гаусса для індукції магнітного поля в речовині у диференціальному вигляді

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ