В М Грибанов - Геометрия сопряженной гиперболоидной пары накатываемой цилиндрическими косозубыми накатниками - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 621.833

В.М.Грибанов, Ю.В.Мединцева, Н.В.Коробка, Т.Е.Печолат,

г. Луганск

ГЕОМЕТРИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ГИПЕРБОЛОИДНОЙ ПАРЫ, НАКАТЫВАЕМОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОСОЗУБЫМИ НАКАТНИКАМИ

Получены уравнения активных поверхностей зубьев и ортов нормалей к ним, а также выражения соответствующих коэффициентов первой и второй квадратичной форм - основных соотношений для решения задач синтеза и анализа гиперболоидных передач.

Изготовление зубчатых колес накатыванием имеет известные преимущества перед нарезанием -повышенную контактную прочность и чистоту активных зубьев (АПЗ), повышенную плавность работы. Применительно же к гиперболоидным передачам задача накатывания зубчатых пар косозубыми накатниками исследователи обошли вниманием, несмотря на то, что она представляет не только теоретический, но и практический интерес: геометрия начальных поверхностей зубчатых колес гиперболоидных передач при накатывании максимально приближается к теоретическим начальным поверхностям - гиперболоидным аксоидам [1]. Следовательно, качественные показатели таких передач -относительная скорость скольжения, суммарная скорость качения, удельные скольжения, коэффициент задиростойкости АПЗ и т.д. [2, 3]- априори должны быть максимально приближены к экстремальным (наилучшим своим значениям). Эта рабочая гипотеза вытекает из аналогии пространственного гиперболоидного зацепления - зацеплениями при параллельных и пересекающихся осях эксплуатационного режима, в которых аксоиды - цилиндрические для параллельных, конические для пересекающихся осей -совпадают с соответствующими начальными поверхностями [1]. Таким образом, прочность зубьев и эксплуатационные качества - износостойкость, КПД, надежность против заедания гиперболоидных пар, получаемых накатыванием, должны быть выше, чем нарезаемых гиперболоидных пар, например, резцовыми головками на конических начальных поверхностях.

Цель статьи - получение аналитических соотношений, описывающих геометрию сопряженной гиперболоидной пары, накатываемой парой сопряженных косозубых накатников при перекрещивании осей

(рис.1).

Накатники - сопряженная пара цилиндрических косозубых колес. Повторяя аналогичные рассуждения, но для исходных контуров общего вида, уравнения которых

Хат = Хат (v т X Уст = Уст (v т X О = 1 2X (1)

получаем уравнения АПЗ накатников и соответствующих им ортов нормалей в виде:

r   = colon(x  ; y  ; z  ), e   = colon(e   ; e   ; e   ); (2)

Хнм = Анмсо8ит - (-1)тВнм sin Um,

Унм = (-1)т     sin Um + Внмсо5ит,

Z нм       С нм ;

енхм = Mнмсо5ит - (-1)mPHU sin Um,

Єнут = (-1)mMнм Sin Um + Рнмсо5ит ,

e    = Q

(3)

Рис. 1. Сопряженная гиперболоидная пара A   = v  y   cos в   / х    B   = v   + (-1) mr

нм УамУ ам Ннм       нм~>     нм      У нм      V     / нм

C   = х   sin в  + ((х х   + v  V )cos в  / х   + U r )ctgB

M   =—и V   cos в , P =U х  , Q   =—и V   sin в

u = (х2 + y2 )1/2

(4)

Здесь Um, Vm - криволинейные координаты; вн1 = вн2 ~ углы наклона зубьев; rum - радиусы начальных поверхностей; точка над функцией обозначает производную по Vm. Для зацепления Новикова и для эвольвентного зацепления функции (1) имеют соответственно следующий вид [4]:

х=

р cosv а , v   = Р sinv b ;

(5)

х   = r (cosv +v sinv ), v   = r (sinv —v cosv ).

а н а н

(6)

На рисунке - принятые системы координат: оси vm, vHm совпадают и направлены перпендикулярно

плоскости чертежа на читателя; z - линия касания гиперболоидных аксоидов, геометрические характеристики которых удовлетворяют соотношению

rictgf3i = r2 ctgB^

(7)

исключающих интерференцию аксоидов ( r1, r2 - радиусы горловин гиперболоидов, получаемых вращением z вокруг z1 и z2 соответственно; r1 + r2 = E - кратчайшее, вдоль vm, vnm, расстояние -гиперболоидное смещение); у - угол между осями вращения колес (в ортогональной передаче у = 90°); zн1, zн2 - оси вращения накатников.

В станочном зацеплении углы <pnm поворота накатников и углы <pm поворота колес связаны

соотношениями:

н 2

г..

= н1

р ,    r 2        cos в cos в

1 2

Следовательно, передаточное отношение эксплуатационного зацепления -

= р2 / р1 = r1 cos Д / r2 cos в2.

r cos в r cos в

m г m _> m _ m r m m

тнт rt тт

(8)

(9)

Переводя уравнения (2) из системы XнmVнmzнm в систему XmVmzm, получаем параметрическое семейство АПЗ накатника и параметрическое семейство соответствующих ортов нормалей

rm = rm (<<m ; vm ; Um X Є m =       (рm ; vm ; Um X

исключая из которых параметр Um = pnm - решение уравнения станочного зацепления [4]

rp rv rU = 0 , (10)

т    т    т ' VAVV

- получаем уравнения АПЗ сопряженной пары гиперболоидных колес и соответствующих им ортов нормалей:

^ = Am cospm— (1)   Bm sin <m ^. vm = (1)sin pm + Bm cos <m , zm = Cm

К (12)

Am = Am cos 8m (—1T Cum sin 8m , Bнm = Bнm (—1T(rm + rum ) Cm = (1) sin8m + C' Hn ^ 8n , 8m = Дп (1) m

Mm = Mm cos8m(1) '' Qim sin 8, . _

К (14)

P = p , Q = (1)mM. sin 8 + Q cos8 (13)

В (10) и далее верхние индексы <,v,U обозначают частные производные по  рm ,vm, U соответственно.

Рис.2. Системы координат станочного и эксплуатационного зацеплений: К1, К2 - колеса;   Н1, Н2

накатники.

Упомянутая сопряженность пары гиперболоидных колес доказывается подстановкой выражений (11), (12) в систему (1) из работы [2], моделирующую эксплуатационное зацепление. После преобразований для исходного контура (1) получаем:

<m =ат   u   аг = и°а (15) - свидетельство перемещения точек контакта вдоль линии зубьев (рm - продольная, vm - профильная

координаты) и свидетельство осуществления расчетного передаточного отношения (9); координаты vm при этом удовлетворяют уравнениям

ха1 = ха2, va1 = Л2, А ха1 = А2 ха2, Avа1 = А2vа2. (16)

Для исходного контура (5) из (16) получаем v1 = v2 = Ok = const - свидетельство отсутствия перемещения точек контакта по профилю зубьев, доказывающее реализацию принципа новиковскогозацепления [4]. Для исходного контура (6) из первых двух уравнений (16) получаем v1 V2 ^ const -

свидетельство перемещения точек контакта по профилю зубьев. Последние же два уравнения   из (16) превращаются в тождества. Система (16) в данном случае оказалась недоопределенной, что свидетельствует о линейном (до упругого сближения зубьев) на контакте АПЗ, перемещающемся вдоль зубьев от одной торцовой плоскости колес к другой при одновременном ее перемещении и по высоте зубьев. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм [5]:

 

 

r 9 r 9

m m

2                  2 2

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В М Грибанов - Геометрия сопряженной гиперболоидной пары накатываемой цилиндрическими косозубыми накатниками