В В Фурман - Геоінформаційні системи у моделюванні геофізичних та геологічних середовищ землі - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ VISNYK LVIV UNIV.

Серія геологічна. 2004. Вип. 18. С. 49-58_Ser.Geol. 2004. N. 18. P. 49-58

УДК 550.832:553.98:662.1:681.3.065

ГЕОІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ У МОДЕЛЮВАННІ ГЕОФІЗИЧНИХ ТА ГЕОЛОГІЧНИХ СЕРЕДОВИЩ ЗЕМЛІ

В.В. Фурман, Ю.Р. Дацюк

Львівський національний університет імені Івана Франка 79005 м. Львів, вул. Грушевського, 4 E-mail: geomin@franko.lviv.ua

Обґрунтовано переваги підходу, що полягає в розробці й аналізі фізич­них, математичних і механіко-математичних моделей, із можливістю вра­хування різних особливостей будови реального геофізичного середовища. Доведено, що реальне об'єднання даних і уявлень у науках про Землю до­цільне лише на підставі розробки реальної фізичної моделі Землі з викори­станням методів фізичного і комп' ютерного моделювання, створюваних на наявній сучасній базі даних усіх фундаментальних наук про Землю. Могу­тнім чинником розширення функцій окремої ГІС є здатність моделювання просторово визначених об'єктів із залученням великої кількості ознак, значних обсягів вхідної і збереженої інформації.

Ключові слова: фізична модель Землі, моделювання, геоінформаційні системи.

Принципи моделювання геофізичних середовищ, об'єктів і процесів.

Останніми роками дослідження складних систем і процесів обов'язково перед­бачає елементи математичного моделювання. У фізиці Землі найчастіше моделю­вання пов'язане з використанням рівнянь математичної фізики (хвильового, тепло­провідності, дифузії тощо). Цей пі дхі д належить до так званого імітаційного моделю­вання (ІМ), що ґрунтується на застосуванні моделей математичної фізики, які є іміта­цією реального об'єкта дослідження. Під час дослідження об'єкта за допомогою ІМ традиційно мають справу з полями однієї природи, однорідними даними з малим рівнем шумів, відомими і заздалегідь визначеними математичними моделями. Вод­ночас застосування ІМ в інших дисциплінах, таких як соціологія, економіка, біоло­гія, психологія не має таких значимих успіхів, як у фізичних науках. Це пов' язано з тим, що в деяких випадках буває важко, а іноді й неможливо побудувати більш-менш точну модель досліджуваного об' єкта. Ці труднощі принципові й пов' язані з обмеженістю наших знань про механізми процесів, що відбуваються, неможливістю одержання вичерпної інформації про їхній стан, похибками спостережень тощо [1].

Якщо всі можливі прояви системи зводяться до суми проявів її компонентів, то така система є простою, незважаючи на те, що кількість її компонентів може бути великою. Основа вивчення таких систем - імітаційне моделювання (число­ві моделі, отримані з рівнянь математичної фізики, геометричної оптики тощо. З іншого боку, є об' єкти (чи процеси) такого рівня складності, що їхня спостере-

© Фурман В.В., Дацюк Ю.Р., 2004жувана поведінка не зводиться до простої суми властивостей окремих компоне­нтів. У разі об' єднання компонентів у систему виникають якісно нові властивос­ті, які не можна виявити за допомогою аналізу характеристик окремих компоне­нтів. Модель складної системи, побудована на принципах аналізу, буде неадек­ватною досліджуваній системі, оскільки внаслідок розбивання на складові ком­поненти губляться її якісні особливості. З математичного погляду для простих об' єктів правильний принцип лінійної суперпозиції властивостей і вирішень. У складних об' єктах між його окремими компонентами виникають нелінійні взає­модії, що порушують принцип лінійної суперпозиції. У багатьох випадках зако­номірності цих нелінійних ефектів відомі приблизно або взагалі невідомі. До цього варто додати проблеми повноти та якості інформації, що описує об' єкт дослідження. Отже, для складних систем не виконується ряд основних постула­тів, на яких ґрунтується ІМ.

Цей шлях був свого часу закладений у головні поняття кібернетики, що при­пускає моделювання за спостереженням входів і виходів об' єктів дослідження за так званим принципом „чорної скриньки". На противагу методу ІМ, за якого моделюють внутрішню структуру об'єкта, у методі „чорної скриньки" моделю­ють зовнішнє функціонування системи. З погляду користувача моделі, структура об' єкта захована в „чорній скриньці", що імітує його поведінкові особливості. Об' єкт за нефізичною моделлю описують суто інформаційно, на підставі даних чи експериментів спостережень над реальним об' єктом. Зазвичай, такі моделі програють формальним імітаційним моделям за ступенем з' ясовності отриманих результатів, однак відсутність обмежень на складність модельованих систем визначає їхню перевагу. Основою застосування цього підходу в геофізиці є по­стулат про те, що досліджувані параметри середовища тим чи іншим способом відображаються на вимірюваній інформації. Закономірності такого відображен­ня здебільшого нам невідомі. Зате є таблиця даних (f Х), що пов'язує цікаві для дослідника параметри. Тоді задачу побудови моделі формально можна визначи­ти так [2]. Допустимо, потрібно побудувати модель, що дає змогу пов'язати де­яку вимірювану функцію f (виходи) з безпосередньо вимірюваними іншими ве­личинами Х (входи). Цей зв' язок можна відобразити таким операторним рівнян­ням:

fx, a)=А(x)+n,

де а - вектор параметрів моделі; А - оператор відображення; n - вектор помилок спостережень і моделювання.

Потрібно знайти таке функціональне перетворення А, що належить апріорно обраному класу F, щоб оптимізувати деякий критерій (D) відповідності моделі та досліджуваного об' єкта.

У разі моделювання реальних геофізичних об' єктів оцінки А* оператора A оде­ржують на підставі експериментів спостережень, які провадять лише для обмеженої кількості (f, Хк). У цьому випадку значення як fK, так і Хк вимірюють приблизно. Метою моделювання є одержання значень системних відгуків за довільної зміни X. Іншими словами, знайдене відображення повинне мати властивості узагальнення, тобто видавати правильні рішення за будь-яких даних Х .

Наведене вище формулювання породжує низку специфічних проблем. По-перше, потрібно визначити клас F функцій, у якому відбуватиметься пошук майбу­тньої моделі. Обраний клас структур повинен забезпечувати досить точну апрокси­мацію залежності, яку спостерігають. По-друге, потрібно визначити критерій добо­ру ліпшої моделі та принцип закінчення роботи алгоритму. На об' єкт звичайно впливає велика кількість неконтрольованих чинників, які не вимірюють і які у моделі не можуть бути враховані, отже, пошук оптимуму неминуче відбувається на тлі інформаційного шуму. Крім того, унаслідок некоректності задачі, K екс­периментальних точок можна апроксимувати безліччю функцій F = {F1, F2, ..., Fn} с Fa, які за точністю не уступають апроксимації. З іншого боку, в оптималь­ній моделі кожен суттєвий чинник може бути замінений іншим, досить тісно з ним корельованим.

У теоремі Вейерштраса стверджено, що неперервну функцію багатьох змін­них f(x1,x2,.,xn) на замкнутій обмеженій безлічі Q можна рівномірно наблизити послідовністю поліномів. Іншими словами, для кожного є > 0 існує такий бага-точлен P(x1, x2, ., xn), що максимум його відхилення від f(x1, x2, ., xn) на Q не перевершує задане є:

max | f(x1, x2, ...xn) - P(x1, x2,     xn| < є.

Отже, з теорії випливає, що хоча структура оператора А в (1) нам невідома, її можна апроксимувати з наперед заданою точністю іншою структурою з задани­ми властивостями. Однак практичне втілення наведеної вище теорії пов' язане з низкою принципових утруднень, які ми й обговоримо. За допомогою нейронної мережі можна як завгодно точно наблизити кожну наперед задану функцію. З цьо­го випливає таке: є механізм, що дає змогу з необхідною точністю апроксимувати невідому структуру функціонального перетворення А моделі (1). Однак відразу ж постає запитання: чи виявиться це формальне наближення задовільним? Можна навести багато прикладів, коли це буде не так. Наприклад, інтерполяційний полі­ном, побудований за функцією, заданою у вигляді таблиці, якщо функція однозна­чна, проходить через усі експериментальні крапки, відповідає усім формальним вимогам, які ставлять до моделі. Та чи є ця модель задовільною? Напевно, вона дуже погана. Річ у тому, що в разі нульової дисперсії помилки спостереження ви­хідної величини інтерполяційний поліном не має ніякої передбачувальної здатнос­ті, крім того, він має погані інтерполяційні властивості на проміжних крапках. От­же, точність апроксимації вибірки не може бути критерієм якості моделі, і розгля­нута вище теорія про наближення функції нейронними мережами ще не гарантує одержання необхідного вирішення [3].

Іншою особливістю розв' язуваної задачі є те, що апроксимація відбувається за кінцевою вибіркою. За обмеженої інформації можна одержати лише обмежені за складністю моделі. Іншими словами, отримана модель не може бути більш інформативною, ніж сукупність даних, за якими вона побудована, тому на під­ставі зашумлених даних і обмеженої інформації можна побудувати тільки обмеже­ну за точністю модель. З одного боку, теорема Стоуна гарантує побудову апрокси­мації з нульовою похибкою, з іншого - реальні умови обмежують цю можливість. Отже, повинна існувати деяка оптимальна модель, що є компромісом між цими двома взаємно виключними тенденціями.

Усі критерії оцінки якості моделювання можна розбити на дві групи: внутрі­шні і зовнішні. Внутрішні критерії обчислюють на підставі даних, які викорис­товують у побудові моделі. До них, передусім, варто зачислити залишкову по­милку моделі, коефіцієнт детермінації й інші. Надійнішим, ніж класичний під­хід, є використання декількох вибірок даних: за одними вибірками будують мо­дель, за іншими - оцінють її якість. Ідею застосування додаткових точок для оцінки якості моделей висловлювали давно. Такий підхід довго не цікавив мате­матиків через його деяку евристичність. Проте останніми роками щораз частіше стали з' являтися праці, у яких пропонують використовувати зовнішні критерії. Необхідність контрольних крапок, зокрема, зумовлена нестійкістю процесу структурної ідентифікації, що полягає в монотонному зростанні з перших же кроків алгоритму помилки в проміжках між крапками, по яких будують модель. Характерна риса всіх зовнішніх критеріїв та, що всі вони так чи інакше є оцін­кою невиправданого прогнозу. Отже, зовнішні критерії дають змогу контролю­вати найважливішу властивість моделі - її прогностичні (чи узагальнювальні) властивості. Успіх моделювання забезпечений головно тим, що прийнятий під­хід гарантує одержання об' єктивних і несуперечливих систем рівнянь, оптима­льних за структурою і безліччю врахованих змінних.

Особливості використовуваної геофізичної інформації та формулювання задачі інтерпретації. Розв'язувана задача інтерпретації має два типи інформації. Не вдаючись у деталі її одержання, що досить складні, наведемо тільки найваж­ливіші риси цих даних. Перший тип даних пов' язаний з так званим геофізичним дослідженням свердловин. Цю інформацію отримують безпосереднім вимірю­ванням у стовбурі свердловин деяких параметрів середовища, а також внаслідок опрацювання цих матеріалів. Такі дані досить дорогі, тому що пов' язані з про-бурюванням свердловин, спеціальними вимірюваннями, у тому числі й лабора­торними. Іншим типом даних є інформація, отримана внаслідок сейсмічних до­сліджень. Не вдаючись у подробиці виконання цих робіт, зазначимо, що така інформація надходить завдяки ехолокації надр Землі. Ці дані порівняно дешеві й можуть охоплювати значні площі поверхні Землі. Досліджувані глибини в разі типової сейсмічної розвідки становлять кілька кілометрів. Моделювання полягає у визначенні зв' язків між даними геофізичних досліджень свердловин і просто­ровому поєднанні їх з даними сейсмічного розвідування. У розглянутому фор­мулюванні входами моделі є ті чи інші параметри сейсмічних вимірювань, а ви­ходами - усі чи деякі геофізичні параметри, які можна отримати чи розрахувати за матеріалами геофізичних досліджень свердловин. Отже, сейсмічна інформація є опорною. Потім отриману модель зв' язків екстраполюють від свердловин по просторі тільки на підставі доступної сейсмічної інформації.

Розуміння таких явищ геології осадових порід, як ущільнення, генерація зон аномальних тисків флюїдів і міграція вуглеводнів (ВВ) з товщ, що їх генерують, по розрізу постійно випереджає за фундаментальністю опису підходи до їхнього прогнозування [4]. За останнє десятиліття геологи-нафтовики одержали могутні інструменти басейнового моделювання, що ґрунтується на числових розв'язках багатофазових 3D задач флюїдодинаміки, а прогнозування - в галузі емпірики.

У чому причина подіб­ного консерватизму? При­чин, як нам здається, кілька. Перша - традиційний від­рив теоретичних дослід­жень від практики. Друга -деякий песимізм щодо мо­жливостей ефективного використання досить склад­них математично і важких в обчислювальному аспекті формулювань прямих задач для реальних недоліків про­гнозування властивостей геофізичних середовищ. На-решті, третя - виразний поділ прикладних задач за напрямами, набагато глиб­ший, ніж потрібно в багато-дисциплінному підході до моделювання (інакше - не­ма системного підходу, по­трібного для ефективного розв' язування подібних задач).

Сформулюємо тепер за­дачу калібрування фор­мальніше, з огляду на спе­цифіку даних і їхній модельний опис.

Нехай модель геологічного розрізу, що дає опис процесів ущільнення міг­рації з необхідною повнотою, нараховує M репрезентативних елементів. Не­хай також для кожного репрезентативного елемента визначений набір пара­метрів з N компонентів для інваріантного у просторі й часі диференціального оператора прямої задачі. Параметри передбачають лінійно незалежними, во­ни можуть бути нормованими за середнім значенням. Тоді в багатовимірному просторі параметрів моделей визначений ортонормований базис X, у якому вектор      параметрів      моделі,      що      підбирають,      визначено як

{1 2 2 3 N \T

XM, XM ,    XM, X      XM) • За аналогією визначимо векторний простір даних

D з елементом d = {d/, d2', d1, d12, d2, d13, dкL}Т. Розмірність цього просто­ру визначена кроком незалежних вимірювань у просторовій області калібрування K і кількістю незалежно виміряних фізичних характеристик L. Для простоти бу­демо вважати, що просторова мережа реальних даних та сама для різних вимірю­вань і, крім того, погоджена із мережею розрахунку синтетичних даних. Область зіставлення F визначимо як область векторного простору, у якому синтетичні й реальні дані мають загальні шкали й обрану метрику неузгодженості. Іншими

Загальна схема процедури підбору.словами, довільний вектор f = {f1, f2, /}т визначають тут або шляхом трансфор­мації польових спостережень, заданих на деякій просторовій мережі, у шкалу зі­ставлення із синтетичними даними, або відображенням на цю ж мережу вектора модельних параметрів шляхом застосування до нього диференціального опера­тора прямої задачі.

Для побудови і забезпечення можливості аналізу функціонала неузгодженос­ті введемо міру неузгодженості в просторі зіставлення. З цією метою визначимо скалярний добуток довільної пари векторівf f2 є F у вигляді

fl, f2)p = f2T Cp1 fl, (1)

де матриця коваріації CF має діагональну структуру, оскільки передбачена лінійна не­залежність вимірювань. Її діагональні елементи визначені добутком і ваговими кое­фіцієнтами, введеними для нормування й обліку невизначеності вимірювань. Уведемо також норму векторів відповідно до (1):

\\f IIf = f,f )/2 (2) Нехай також відображення на область зіставлення з простору даних викону­ють оператором трансформації вимірювань T(d), а з простору параметрів моделі -оператором прямого моделювання M(x). Як наголошено вище, ці оператори по­роджують в області зіставлення невиразні підмножини, пов'язані з неминучими похибками вимірювань і моделювання (див. рисунок). Характери-зуючи ці поми­лки відображення діаметрами (0) відповідних підмножин Sf, можна формально записати процедури моделювання і трансформації вимірювань в операторній формі:

моделювання - fAєSfA} = M(x); трансформація вимірювань - {fff*} = T(d).

Оскільки міра близькості двох векторів у просторі зіставлення визначена, то можна загально сформулювати оптимізовану задачу в такий спосіб:

Xf = argmin [J(x)], де J(x) = \\T(d) - M(x)\F (3)

Очевидно, „ідеальний" розв'язок, що дає нульову розбіжність, недосяжний доти, доки не виявлені ймовірнісні критерії в разі визначення області перети­нання двох невиразних відображень {fA є f"A } і {f* є Sf* } із простору модельних параметрів і простору вимірювань, відповідно. Для простоти будемо припускати рівномірний закон розподілу всередині будь-якої підмножини в просторі зістав­лення. Іншими словами, припустимо, що будь-яка крапка з простору моделей або даних відображається в простір зіставлення у вигляді деякої компактної „плями" з кінцевими розмірами.

У випадку такого формулювання критерій припустимих неузгодженостей ві­дображень, що трансформуються з вимірювань і синтетичних даних, визначений розмірами максимальної з двох підобластей невизначеності. Умова, яку повинен задовольняти розв' язок зворотної задачі, у термінах проблеми мінімізації функ­ціонала (3) можна записати у вигляді

Xf є X = argmin (J(x)f = \\T(d) - M(x)\\f);    Гє f n Sf*. (3*)

У цій ситуації можливі три варіанти:

0{ff%<0{ff^Неоптимальний розв'язок - модель занадто груба }л}; 0 { ff*>0 { Sfa-Неоптимальний розв'язок - дані недостатньо точні }л}; (4) 0{Sf=0{<f=> Оптимальне співвідношення з погляду повноти моделі й точності даних }л}.

Зазначимо, що відображення {fлєtfл} = М(х) виконують нелінійним опера­тором моделювання. Крім того, одиничність розв'язку зворотної задачі може бути забезпечена лише в разі виконання додаткових апріорних обмежень в обла­сті варіації параметрів моделі. Область однорозв' язних відображень будемо на­зивати областю розв'язку і позначати Xa сX. Тоді з усіх можливих розв'язків як результат буде вибрано вектор X, що належить підмножині Xa, однозначно відо­бражуваний на область зіставлення (див. рисунок). У цьому разі обмеження на безлічі Fa с F можуть бути „твердими", коли вектори, не приналежні компактній підмножині Fa, просто відкидають, або „м' якими" - коли наближення зсередини до границь Fa зазначають уведенням штрафних функцій, призначуваних на ве­личину неузгодженості. Остаточно стабілізований по області пошуку алгоритм розв' язку задачі підбирання можна схематично записати так:

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В В Фурман - Геоінформаційні системи у моделюванні геофізичних та геологічних середовищ землі

В В Фурман - Сучасні методи геофізичних досліджень

В В Фурман - Особливості моделювання геодинамічних процесів та термодинамічні характеристики глибинних структур землі

В В Фурман - Проста математична модель поля напружень стиснутої осадової товщі в зоні субдукції

В В Фурман - Фундаментальні фізичні задачі для обернених методів у геофізиці