Автор неизвестен - Другий закон фіна нестаціонарна дифузія - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 

2.4.3. Другий закон Фіна (нестаціонарна дифузія)

Побіжно ознайомимося з одновимірною задачею про зміну концентрації компонентів п- (x,t) суміші газів з часом внаслідок

дифузії. Це буде корисним також для отримання навичок здобуття диференціальних рівнянь у частинних похідних. Нехай для спрощення математичних викладок суміш складається з двох газів: п1 + п2 = п0 = const, усі частинки характеризуються однаковою температурою: T = const, на суміш не діють зовнішні сили: F = 0 . Здобудемо рівняння, яке описує зміну концентрації Tj(x,t) з часом.

Розглянемо частинки j-го ґатунку, які містяться в елементарному об'ємі з поперечним перерізом S товщиною Ax. Кількість частинок j-го ґатунку, які за час dt внаслідок самодифузії влетять до зазначеного об' єму крізь контур S з координатою x, який є

Эп

перпендикулярним до осі  x, дорівнює dNj(x,t) = D——  Sdt.

Эх \x

Крізь такий самий контур S з координатою x+Ax досліджуваний об'єм

S -Ax за час dt полишать dNj (x + Ax, t) = D -

Эп

і

Sdt частинок.

Різниця між кількістю dNj(x + Ax) частинок, які полишають об'єм S - Ax, та кількістю dNj(x) частинок, які надходять до цього об'єму,

обумовлює зміну в часі кількості частинок j-го ґатунку, що знаходяться у зазначеному об' ємі:

Эп і Эпі

AN=dNj(x,t)—dNj(x + Ax,t)= D^- Sdt +

Эx \x Эx

Sdt

■Sdt

D-

dn-dx

■D-

dn-dx

Sdt

Э ( „ Эп-Л

Ix J

D

_L

Ax. (2.4.12)

Коли поділити зміну кількості частинок AN на об' єм SAx , в якому ця зміна відбулась, ми здобудемо зміну концентрації в обраній точці 212

простору з часом: An(x,t)=AN/(SAx)= dt (  Эп-Л

D

В такий спосіб

ми здобули рівняння нестаціонарної дифузії: Эп- (x,t)

+

(2.4.13)

При цьому, якщо має місце рівність:        = comt(x), тобто коли

коефіцієнт дифузії не залежить від координати, тоді (2.4.13) можна переписати у більш зручному для наступного аналізу вигляді:

по Эt    по Эx 1 по Эx

1 Эп- = і Э

D

по Эx

(2.4.14)

Рівняння (2.4.14) є подібним до того, яке описує явище нестаціонарної теплопровідності. З (2.4.14) видно, що з часом величина відносної концентрації C- = п- / по може або зростати, або зменшуватися в

залежності від форми кривої: C- = C- (x). Це прямо витікає з рівняння для відносної концентрації:

ЭС - (x,t)     Э 2С

-

D-

-

Эx2

(2.4.15)

Отже, концентрація частинок j-го ґатунку зростає з часом, якщо C- =C-(x) описується угнутою кривою (бо саме для такої кривої

лінії має місце додатність другої похідної). А якщо ж графічна залежність  C- = C-(x)  є опуклою, тоді величина  C-   з часом

зменшується. Рівняння (2.4.15) є прикладом параболічних диференціальних рівнянь у частинних похідних, які вивчаються у курсі математичної фізики.

2.4.4. Теплопровідність газів

Теплопровідність, разом із конвекцією та випромінюванням тепла, є одним із способів передачі теплової енергії. Всі ці нерівноважні процеси виникають внаслідок порушення умов теплової рівноваги, тобто наявності у термодинамічній системі градієнтів температури.

Кількісною характеристикою теплопровідності є тепловий потік Q, тобто кількість теплоти, яка переноситься внаслідок хаотичного теплового руху крізь контур S, що орієнтовано перпендикулярно до градієнта температури, за одиницю часу. Тепловий потік вимірюється в Дж/сек=Вт. Густиною теплового потоку q = dQ/dS називають тепловий потік, що тече крізь контур одиничної площі. За розмірністю [q]= Вт/см2.

Порахуємо тепловий потік в наступному випадку. Нехай температура ідеального газу змінюється вздовж осі x . Розташуємо контур площею S поперек осі x в місці з координатою x = Xo.

Молекулярно-кінетична теорія коефіцієнта теплопровідності ідеального газу полягає в наступному. Ґрунтуючись на тих самих міркуваннях, що і у підрозділі 2.4.1, вважаємо, що кількість частинок N, які за одиницю часу перетинають контур площею S зліва праворуч, дорівнює: N = tSVt / 6 . Кожна з молекул газу в середньому переносить енергію є, яку за теоремою про рівномірний розподіл енергії можна порахувати в такий спосіб: є =ikT/2, де І - це кількість ступенів вільності. Таким чином, кількість теплової енергії, що її переносять молекули ідеального газу крізь контур в зазначеному напрямку за час dt, дорівнює:

AQ+ =—l-Sdt--

6 2

(2.4.16)

Оскільки температура газу залежить від координати x, виникає питання, яку саме температуру слід використовувати у формулі (2.4.15). Для відповіді на це питання скористаємося наступними міркуваннями.

Молекули,    які    перетинають    контур, характеризуються температурою того місця, в якому вони востаннє провзаємодіяли з

молекулами фонового газу, тобто вони несуть температуру того газу, з яким востаннє зіткнулися. Як відомо, відстань, яку в середньому молекули проходять без зіткнень, називають довжиною вільного пробігу X. Отже, температуру T у формулі (2.4.16) слід обчислювати лівіше від точки спостереження на одну довжину вільного пробігу X, тобто в точці x=xoX.

Аналогічно можна записати вираз для кількості тепла, яке переноситься частинками крізь цей перетин ліворуч (проти осі x ). Він є подібним до (2.4.16), лише температуру слід брати у точці x=xo+X. Це пояснюється тим, що частинки, які рухаються ліворуч крізь перетин S, востаннє зазнали зіткнень праворуч від контуру на відстані, що в середньому дорівнює довжині вільного пробігу. Тобто, зліва праворуч за час dt внаслідок хаотичного теплового руху молекул ідеального газу крізь контур S переноситься:

AQ—

6

Sdt

ikT( xo X) 2

(2.4.17)

Аналогічно тому, як це було у випадку дифузії, результуючу кількість тепла порахуємо як різницю того, що перенесено праворуч, і того, що перенесено йому назустріч: AQ=AQ+—AQ—. Обчислимо її, розкладаючи величину температури в ряд Тейлора за малою величиною X в околі точки спостереження xo :

AQ = ikVTnS dt[T(xo X) T(xo + X)]

ikVTnS

12

dt\

12

T(xo)Xd-dxo

J

T(xo) +

= ikXVTnSdtdT — 6 dx

(2.4.18)

Визначимо тепловий потік, що переноситься крізь площу S, яку розташовано поперек осі x в точці спостереження xo :

215

Q=—kS

dx i

(2.4.19)

Тут к- це коефіцієнт теплопровідності, для моделі ідеального газу він дорівнює:

к = s (2.4.20)

N ik ik

Якщо скористатися визначенням внутрішньої енергії однієї частинки: U = ikT /2, то можна вирахувати питому теплоємність цього газу за

п dU і

умов теплопередачі при сталому значенні об єму:   Cv =--v

р dT

„  а потім  переписати коефіцієнт теплопровідності m 2 2mo

ідеального газу (2.4.20) в інший спосіб: к = VtXcvР /3 .

Експериментально явище теплопровідності вивчав Фур'є, який і вивів закон, що визначає пропорційність теплового потоку до градієнта температури:

Q х grad(T).

(2.4.21)

З закону Фур'є (2.4.21) можна зробити висновок, що для реалізації явища теплопровідності в системі має бути неоднорідний профіль температури (grad T Ф о). При цьому тепло переноситься від гарячого місця термодинамічної системи до її холодного, тобто в напрямку, що є протилежним до grad T . Для моделі ідеального газу

коефіцієнт теплопровідності є пропорційним до "JT .

Тепловий опір. Як відомо, аналогія - це потужний метод пізнання у фізиці. Скористаємося ним, щоб показати подібність явищ перенесення тепла та електричних зарядів. Нагадаємо, що в електриці потік електричних зарядів - сила струму I, тобто заряд, що за одну секунду протікає крізь перетин S дроту довжиною Ax з питомою

електропровідністю g під дією різниці потенціалів A j, визначається

1 Ax

законом Ома: I= Aj/R. Тут електричний опір R=--.

g S

Перепишемо тепловий потік (2.4.19) в такій формі, що є аналогічною до закону Ома:

Ax Ik S

1

(2.4.22)

Закон Ома є аналогічним до формули (2.4.22): електричний струм I є аналогічним до теплового потоку Q; різниця потенціалів Aj на кінцях дроту є причиною електричного струму, а різниця температур AT є причиною теплового потоку. Завершуючи перелік цієї низки аналогій, зазначимо, що електричний опір R є аналогічним до коефіцієнта

R     1 Ax й

Rt =--, який природно назвати тепловим опором.

к S

Коефіцієнт температуропровідності. Цей коефіцієнт виникає в задачах про нестаціонарну теплопровідність, в яких тепловий потік змінюється з часом. Тому розглянемо цю задачу побіжно. Для спрощення задачі, як і в попередніх випадках, розглянемо одновимірний випадок, тобто вважаємо, що температура системи змінюється в одному напрямку, який позначимо x . Виділимо елементарний об' єм перетином S і товщиною dx, чий лівий край визначається координатою xo, а правий — xo+ dx. Порахуємо зміну температури цього об' єму з часом. За час dt до обраного об' єму внаслідок теплопровідності надходить кількість тепла q(xo )Sdt, а

витікає q(xo +Ax)Sdt, тут q - густина потоку тепла. Отже, в об'ємі SAx за час dt внаслідок теплопровідності кількість тепла змінюється на таку  величину:   AQ= q( xo )Sdtq( xo + Ax )Sdt = Sdt[ q(xo + Ax)

—q(xo) ] = Sdt - grad(q)Ax . Оскільки газ в обраному об'ємі не

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа