І Єлейко, І Базилевич, Г Тимків - Гранична задача для гіллястого процесу - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2011. Вип. 17. C. 3-9

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2011. Is. 17. P. 3-9

ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА

УДК 519.21

ГРАНИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ ГІЛЛЯСТОГО ПРОЦЕСУ І. Єлейко, І. Базилевич, Г. Тимків

Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: tumkiv_gala@mail.ru

Доведено граничну теорему для послідовності процесів гіллястого процесу Гальтона -Ватсона. Вона є узагальненням на випадок довільної кількості типів частинок теореми, яку довів Солтан Алієв для скінченної кількості типів частинок. Суть теореми полягає в тому, що за певних умов скінченновимірні розподіли послідовності процесів Гальтона - Ватсона, що залежить від деякого малого параметра Є, при є — 0 збігаються до скінченновимірних розподілів гіллястого процесу з неперервним фазовим простором. >

Ключові слова: гіллястий процес, неперервний фазовий простір, перехідні явища, критичний випадковий процес, твірний функціонал, функціонал Лапласа, випадкова міра.

Ми можемо уявити собі гіллястий процес як математичну модель розвитку популяцій, що складається з частинок, які розмножуються і помирають за деякими випадковими законами. Частинки можуть бути різних типів залежно від їхнього віку, енергії, положення чи від інших чинників. Проте вони не можуть взаємодіяти одна з одною. Це обмеження, яке дає змогу побудувати єдину математичну теорію.

Ми розглянули послідовність гіллястих процесів для так званих перехідних явищ. Перехідні явища у гіллястих випадкових процесах з одним типом частинок за умови, що скінченні перші три моменти, для випадку неперервного часу вперше досліджено у праці Б. О. Севастьянова [2], а для випадку дискретного часу -С. В. Нагаєва [4]. Асимптотичні властивості гіллястих процесів Гальтона - Ватсона, які близькі до критичних, вивчав також В. М. Шуренков [3].

2. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ ДЛЯ ПРОЦЕСІВ З НЕПЕРЕРВНИМ ФАЗОВИМ ПРОСТОРОМ І ДОВІЛЬНОЮ КІЛЬКІСТЮ ТИПІВ ЧАСТИНОК

Будемо розглядати випадкові гіллясті процеси з неперервним фазовим простором і довільною кількістю типів частинок D .

Нехай у просторі D задана ( - алгебра 3, яка містить всі одно точкові множини, тобто, якщо d є D , то d є3.

Розглянемо гіллястий процес з довільною кількістю частинок D і нехай Sє3. Назвемо n(t, S)- випадковою мірою, яка характеризує маси частинок, типи яких належать множині S , що S є3 в момент часу t, який може бути дискретним і неперервним, тому можна вважати, що t є T .

Спочатку розглядаємо процеси з неперервним фазовим простором в одновимірному випадку.

Нехай R+ - множина невід'ємних дійсних чисел. Розглянемо в R+ однорідний

харківський процес fi(t),   t є [0, °°). Позначимо Ft (x) = P{fi(t) < x},  x є R+ . Для

1. ВСТУП

© Єлейко Я., Базилевич І., Тимків Г., 2011

Re Я < 0 розглядаємо функцію

ф (Я) = Мвы,) = j eXxF, (dx)

0

Будемо говорити, що /u(t) є гіллястим процесом з неперервним фазовим простором, якщо

M[еЯ"(/) | ц(0) = x] = exK(АЛ), x є [0, оо), де  K(Ь,Я)   при кожному  t > 0   є логарифмом перетворення Лапласа деякого нескінченно - подільного розподілу в R+, і отже, набуває вигляду

K(t, Я) = а,Я + j (еЯх - 1)П, (dx),

0

де at > 0, а міра П t така, що

nt {0} = 0, j (x л 1t (dx) <оо.

0

Безпосередньо з означення випливає, що K (0,Я) = Я.

Якщо процес fi(t) стохастично неперервний, то його можна задавати з допомогою кумулянти K (t,X), яка визначається так:

H(Я) = lim K(t,A).

Якщо ми розглядаємо процес із скінченою кількістю типів частинок n, то fi(t) називається гіллястим випадковим процесом із скінченою кількістю типів частинок, позаяк

M[e<XlJ{t)) | ^(0) = x] = е(x,K(t,Я)), де xє R1, Яє С, (х,Я) = Jx'X,

K(t,X) = (K[1](t,Я),..., Kn Ц,Я)). Функція K(t,X) задовольняє таке співвідношення:

K (t + s,X) = K (t, K {s,X)\

де t,s > 0, Яє С.

Функція K(t,A) і кумулянта пов'язані між собою за допомогою системи диференціальних рівнянь

dK(t,X) = H(K(t,Я)), K(0,Я) = Я, dt

^Ь^ = h (Я) ^Ь^, k (0Я) = я,

dt дЯ

де

H (Я) = (H '(Я),..., Hn (Я)).

Для процесу з довільною кількістю типів частинок D випадковий гіллястий процес із неперервним фазовим простором можна визначити так:

j Я(х)ц(Ь,сЬі) j y(cb)K(.s,tMu))

M[eD | ц{0, A) = y(A)] = eD ,

де u є D , t > 0, ReЯ(u) < 0, y(u) > 0, y(D) <о, ^(t, A) - випадкова міра, яка позначає масу частинок в момент часу t, які належать множині A , де A єЗ, З -<J -алгебра на множині D .

Зважаючи на те, що (J - алгебра множини D містить всі одноточкові множини, міру в початковий момент часу можна задавати як деяку функцію. Логічно це можна пояснити так. У початковий момент часу є лише скінчена кількість частинок різного типу, кожна з яких має певну числову характеристику - дійсне додатне число. Тобто кількість значень u, для яких y(u) є додатними - скінчена, максимум - злічена.

Вважаємо, що процес стохастично неперервний. Тому можна ввести кумулянту

H(ы,Я(^)) = lim— -—, (u є D, Я(ы) < 0).

т->0 т

3. ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ГІЛЛЯСТОГО ПРОЦЕСУ

Розглянемо послідовність гіллястих процесів Гальтона - Ватсона, що залежить від деякого малого параметра є з довільною кількістю типів частинок D та дискретним часом. На множині D задана -алгебра F, яка містить всі одноточкові множини. Нехай випадкова міра £,(Ь,є,A) позначає кількість частинок процесу з параметром є, що належить множині A є F .

Умовні ймовірності та умовні математичні сподівання за умови, що в початковий момент часу була одна частинка типу d є D позначатимемо відповідно

Введемо функціонал Лапласа

F(є,d,t,<р(-)) = Md exp^-j<p(u)_(t,є,du) j

Математичне сподівання процесу з параметром є кількості частинок, що належать множині A є F за одиницю часу за умови, що в початковий момент часу була одна частинка типу d є D , ми позначимо через Md (є, A).

Норму оператора надалі позначатимемо || ||.

Припускаємо, що для процесу з параметром є правильне зображення

Md (є, A) = E + єС + о(є), (1) де E - одиничний оператор, C - обмежений оператор, який залежить від множини A та d . Припускаємо, що існує таке число С0, що Vd є D, VA є F, справджується нерівність

IIС(d, A)\\< С0.

Розглянемо послідовність функцій Ь1(є,u) (u є D) таких, що Ь1(є,u) -—оо Vu є D при є— 0. Вважаємо, що існує деяка міра q(A), що Ь1(є, u) інтегрована стосовно цієї міри і jb^,u)q(du)= Ь(є,A) (Aє F) і Ь(є,A) — °° при є — 0.

A

Далі розглянемо випадкові міри

Ш / є],є, A)

ju(t, є, A) -■

£(0,є, A) -■

Ь(є, A) jx(u)b^, du)

де [a] - ціла частина числа a, x(u) - F -вимірна функція. Правильна така теорема.

Теорема. Нехай маємо розклад (1), і для Я^) < 0, s є D виконуються умови:

1) існує границя

lim-\(є,s)[F(є,s,ехр{Я{) / Ь,{є,■))) -

є—0 є

- ехр(Я^)/ Ь1(є, s))] = H (s,M^)); (2)

dH (s^(u ))

2)-= C (s^(u)) - обмежена по всіх аргументах.

ЭЯ

Тоді скінченновимірні розподіли гіллястого процесу, які відповідають випадковій мірі ji(t, є), слабо збігаються при є — 0 до скінченновимірних розподілів стохастично неперервного гіллястого процесу, що визначається випадковою мірою j (t,A) і j (0) = x( A) з кумулянтою H(s, Я( )), s є D .

Доведення. Приймемо

H (є, ь;Я()) =

= [2] Ь1(є, s )ln[ F (є, s, ехр(Я() / bx (є, ■))) ехр(-Я() / Ь1(є, ■))]. (3) є

Відомо, що [2]

F (d, t + т, <()) = F (d, t, F (, т, <())), тому твірна функція однорідного процесу Гальтона - Ватсона на n кроці є n -ю ітерацією твірної функції цього ж процесу за один крок.

Враховуючи позначення (3), легко бачити, що

Ь1(є, s)ln F (є, n +1, s, ехр(Я() / Ь1(є, ))) = = єН (є, s, Ь1(є, ■)ln F (є, n, , ехр(Я(^) / Ь1(є, ))) + +Ь1 (є, s) ln F (є, n, s, ехр(Я() / Ь1 (є, )))

Якщо позначити

k = [t /є],

K (є, t, d, Я= Ь1(є, u)ln F [є, [t / є], d, ехр(Я(^) / Ь1(є, ))], то з нашої рівності отримуємо

K (є, t + є, d, Я()) - K (є, t, d, Я()) = єН (є, d, K (є, t, , Я())).

Підставляючи послідовно t = 0,є,2є,...,^- 1)є, далі додаємо ці рівності й одержимо

[t/є]-1

K (є, t, d ,Я{ы))= J єН (є, d, K (є, іє, ;Я())). (4)

i=0

Очевидно, що K(є, t, d,Я(u)) при t = 0 дорівнює ).

З диференціального рівняння для кумулянти гіллястого процесу з неперервним фазовим простором

dK (s, Ь,Я)

випливає

[t/є]є

Н(s,K(■,Ь,Я)),K)) = ЯЫ), u є D

dt

K (s, t ,Я) -Я^) =

t

j H(s,K(■, u,X))ds + j H(s, K(■,u,X))ds -

0[ь/є]є /є]-1 [ь/є]-1

J Н(s,K(■,іє,Я)) + є J Н(s,K(■,іє,Я)). (5)

i=0 i=0

Якщо суму перших трьох доданків позначити через ує(Ь,Я()) , то Ує(Ь,Я()) — 0 при є— 0 рівномірно по t,Я() в кожному скінченному інтервалі [0 < t < T, Л< ReЯ(■) < 0].

Далі

А(є, Ь,Я)=і K(є, t, s, Я()) - K(t, s,Я(■))|. (6) Тоді з (4) і (5) отримаємо

A(d, є, Ь,Я) <

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

І Єлейко, І Базилевич, Г Тимків - Гранична задача для гіллястого процесу