О Нікітіна - Гібридне інтегральне перетворення типу ейлера-лежандра на полярній осі - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

Нікітіна О. Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера - Лежандра на полярній осі // Вісник ТДТУ. - 2008. - Том 13. - №4. - ст.. 183-191. - (математичне моделювання. математика. фізика).

УДК 517.91:532.26

О. Нікітіна

Чернівецький факультет Національного технічного університету „Харківський політехнічний інститут "

ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЕЙЛЕРА-ЛЕЖАНДРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) на полярній осі з однією точкою спряження запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Лежандра.

O. Nikitina

THE HIBRID TRANSFOMATIONOF THE EULER- LEGANDE'S

TYP ON POLAR AXIS

The method of delta sequence (a kernel Koshi) on an arctic landmark with one point of interface is inculcate hybrid integral transformation as Euler-Legandra.

Постановка проблеми. Вивчення властивостей композитних матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математично приводить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціальних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі. Одним з ефективних методів побудови аналітичних розв'язків таких задач є метод гібридних інтегральних перетворень, основні положення теорії яких закладено в роботі [1]. Дана стаття присвячена запровадженню одного із типів гібридного інтегрального перетворення.

Основна частина. Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині I+ = {r: r є (0, R1) U (R1, °°)} гібридним диференціальним оператором (ГДО)

Мат = ОДОД -r)aX + 0(r-Я>2A(^), aj > 0 (j = 1, 2). (1)

У   рівності   (1)   беруть   участь   диференціальний   оператор   Ейлера   [2]   Б*а =

2 2        2 2

r d / dr + (2а + 1)r d / dr + а , 2а + 1 > 0 та узагальнений диференціальний оператор

2   2 1 и2       Ц Л

Лежандра [2] А= d2/dr2 + cth r d/dr + 1/4 +--^+   ^2     , ц > Ц2 > 0, (ц) = (ць

2 ^1 - chr   1 + chr )

ц2), 9(x) - одинична функція Гевісайда [3].

Означення. Областю визначення ГДО Ма (ц) назвемо множину G „вектор-функцій" g(r) = {g1(r); g2(r)} з такими властивостями:1) „вектор-функція" f(r) = { Б*а

[g1(r)]; A(U)[g2(r)]} неперервна на множині I+; 2) функції gj(r) задовольняють умови спряження

3) існують такі числа у1 і у2, що мають місце граничні співвідношення

lim[rY1 g1(r)] = 0, lim[rY2 g2(r)] = 0. (3)

0, j = 1, 2; (2)

r ->0

Л D    U Q     Ъ\£1 Ал 1 TT1 С UTTT *      ґ\ , ,

'jk  - Hjk

а1 в       а   в2 j-

Вважаємо виконання умов на коефіцієнти: аі, > 0, Pjk > 0, с21-с11 > 0, Cj1

Зауважимо, що з умов спряження (2) випливає базова тотожність: для u є G та v є G справджується рівність

ux(r)—1 - v!(r)—l-dr dr

^  U2(r) ^ - V,(r )

dr dr

(4)

r=R1

Введемо до розгляду вагову функцію

a(r) = 0(r)0(Ri - r) a-r2a - 1 + 0(r - R-) a2sh r, a1 = C" shR 1

c  R2a+1 a2

^2

2 2

a22

і скалярний добуток

ад R- ад

(u(r), v(r)) = J uva(r )dr = J u1(r )v1(r )a1r 2a-1dr + J u2(r )v2(r )a2shrdr

0 0 R1

Перевіримо, що ГДО Ma (ц) самоспряжений. Розглянемо скалярний добуток

R- ад

(Ma, (ц)[и], v) = J ai2£<X[uJvi(r )ar 2a-1dr + J a2 Л ^)[u2]v2(r )a2shrdr

0 R1

Проінтегруємо під знаком інтегралів два рази частинами:

lRi R-

(5)

(Ma,)[и], v) = a- a-r

du1 dv1

2       2a+1 , 1 = a a r       I -!-vl - ui

dr dr

J u-(r )(a2£X[vi])ar2a-1 dr

+ u

+

00

+ a2a2shrI 2v2 -u22 ] 22    V dr  2    2 dr )

+

На підставі базової тотожності (4) та структури a1, a2 одержуємо, що

J u2(a22^)[v2])a2shrdr

dv

2   7-»2a+11 du1 a,a Ж   I 1 v1 - u1 l-

dr dr

2 f du2 dv2 a2a2 shR11 —2 v2 - u2 —2

dr

dr

a2aR2a+1 ^ - a22a2shR1

22 du2 dr v2 -u dv2 ^ dr )

0.

r=R

В силу рівностей (3) позаінтегральні доданки в точках r = 0 та r = ад зануляються. Отже, має місце рівність

(Ma, (ц) [U], v) = (U, Ma, (ц) [v]),

що означає самоспряженість ГДО Ma, (ц).

Зауважимо, що ГДО Ma, (ц) має дві особливі точки r = 0 та r = ад [1].

Відомо, що спектр самоспряженого оператора дійсний та неперервний, а спектральна функція комлекснозначна [1]. Можна вважати, що спектральний параметр в є (0, ад). Йому відповідає спектральна функція

Va, (ц)(г, в) = 0(r)0(R1 - r)Va, (ц); 1(r, в) + 0(r - R1) Va, (ц); 2(r, в). При цьому функції Va,, (ц); j(r, в) = Va, (ц); j1(r, в) + ^,,(ц); j2(r, в), j = 1, 2, І2 = -1.

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера ( Ba

+ b2)v 0 утворюють функції v1 = r acos(b1 lnr) та v2 = r asin(b1 lnr) [2];

фундаментальну систему розв'язків для узагальненого диференціального рівняння Лежандра (Л(ц) + b22 )v = 0 утворюють узагальнені приєднані функції Лежандра першого

роду P(f)(chr)  та другого роду Ь(ц)(chr) або їх лінійні комбінації ^4(f)(chr) та

B<g (chr) [1]; bj = 2 + к2 )1/2, к2 > 0, j = 1, 2; v* = - ^ + ib2. Якщо покласти

Va,(ц);l(r, в) = A1r-acos(b1lnr) + B1r-asin(b1lnr) + i(C1r-acos(b1 lnr) + D1r-asin(b1 lnr)),

Va,(^2(r, в) = A2 A^chr) +B2 B^chr) +i(C2 A^chr) + D2 B .(ц)(chr)),

V- V- v. (2

1

адто умови спряження для визначення восьми величин Aj, Bj, Cj, Dj (j = 1, 2) дають чотири алгебраїчні рівняння, що явно недостатньо.

Отже, величини Aj, Bj, Cj, Dj як розв'язок відповідної спектральної задачі Штурма-Ліувілля визначити неможливо.

Скористаємося методом дельта-подібної послідовності - ядро Коші як фундаментальна матриця розв'язку задачі Коші для параболічної системи, породженої

ГДО Ma; (ц).

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого в області D+ = {(t, r): t є (0, ад); r є I+ = (0, R1) U (R1, ад)} розв'язку системи рівнянь теплопровідності параболічного типу [4]

u1     a1 вa[ul(l, і )]      0, /1

1 + r2u - aXKfr r)] = 0, г2 > 0, гє (0, R1),

dt

du

2 + y\u2 - a2Л(ц)    (t, r)] = 0, y\ > 0, r є (R1, ад ) (6)

dt

за початковими умовами

Uj(t, r)|t = 0 = gj(r), r є (Rj - 1, Rj), j = 1, 2, R0 = 0, R2 = ад (7) та умовами спряження

0, j = 1, 2. (8)

Припустимо, що вектор-функція u(t, r) = {u1(t, r); u2(t, r)} є оригіналом за Лапласом стосовно t [5]. У зображенні за Лапласом одержуємо, що параболічній задачі (8) - (10) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині I+ розв'язок

сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейлера та Лежандра для модифікованих функцій

B -q>*(p,r) = -g^r), r є (0, R1),

- ^22)u*(p,r) = -g2(r) , r є (R1, ад) (9) за умовами спряження

0, j = 1, 2. (10)

Тут qj = a-1 (p + /2 )1/2, gj (r) = a-2g} (r) , j = 1, 2.

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

О Нікітіна - Гібридне інтегральне перетворення типу ейлера-лежандра на полярній осі