А Б Кулик - Моделювання виробничих функцій - страница 1

Страницы:
1  2 

Вчені записки. Вип. 12

УДК 519.866:336.77 А. Б. Кулик, канд. фіз.-мат. наук, доцент,

кафедра вищої математики ФУПМ, ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

МОДЕЛЮВАННЯ ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ

Представлено економіко-математичну модель функціонування виробничих комплексів. Залежно від властивостей виробничих функцій досліджено динаміку змін економічних характеристик виробництва.

Представлена экономико-математическая модель функционирования производствен­ного комплекса. В зависимости от свойств производственных функций исследована динамика изменений экономических характеристик производства.

Economic-mathematical model of production complex functioning is presented. Depending on properties of production functions the dynamics of changes production economic characteristics is investigated.

Ключові слова: економіко-математична модель, виробнича функція, економічна система.

Ключевые слова: экономико-математическая модель, производственная функция, эко­номическая система.

Key words: economic-mathematical model, production function, business system.

Актуальність теми. Однією з актуальних проблем сучасного розвитку україн­ських реформ є стимулювання підприємницької активності, що забезпечує стабіль­ні і прогнозовані показники підйому економіки. Одна з головних ланок у розв'язанні цієї проблеми — створення умов для інвестицій в економіку. Важли­вою ланкою в цьому процесі є аналіз і дослідження властивостей економічної сис­теми [1, 2]. Доля підприємств в Україні у випуску продукції з 2000 року до 2009 року невпинно знижувалась [3], що свідчить про несприятливу динаміку розвитку вітчизняного бізнесу.

До числа основних факторів, що стримують розвиток української економіки відноситься недостатність інвестиційної діяльності і чітке прогнозоване стимулю­вання бізнесу. Досвід країн з розвиненою ринковою економікою свідчить про те, що дослідження можливостей об'єкту (підприємство, галузь) істотно стимулює розвиток в них підприємництва.

Метою даної роботи є аналіз математичної моделі розвитку виробництва з ура­хуванням особливостей виробничих функцій.

Виробничі функції. В макроекономічному аналізі об'єктів виробництва (під­приємств, галузей, виробничої сфери економічної діяльності тощо) широке засто­сування отримали виробничі функції (ВФ). Виробничою функцією називають ма­тематичну залежність граничних можливостей об' єкта згідно з випуском продукції (товарів, послуг) від факторів виробництва. Факторами виробництва є різноманітні ресурси: трудові, фінансові, виробничі фонди тощо.

Якщо граничні можливості підприємства позначити через M, то фактичний ви­пуск продукції визначається співвідношенням:

У ^ M = f (x),

де x = x1,x2,k ,xn; xi,i = 1,n — кількість ресурсів і-го виду.

Як правило, припускають, що граничні можливості реалізуються повністю, тому

У = f (x). (1)

При моделюванні валової продукції окремих виробничих комплексів або сукуп­ного суспільного продукту галузей економіки факторами зазвичай приймають ос­© А. Б. Кулик, 2010

284

економіко-математичні методи

новні виробничі фонди (ОВФ), трудові ресурси (ТР) і засоби обігу. При моделю­ванні кінцевого продукту або національного доходу — виробничі фонди або капі­тал і трудові ресурси. В цьому випадку моделлю є виробнича функція

У = f (F, L), (2)

яка залежить від двох факторів: F — вартість виробничих фондів або величина капіталу, L — чисельність трудових ресурсів.

До математичних формул ВФ застосовуються певні вимоги з метою досягнення відповідності властивостей цієї моделі властивостям реального виробництва. До таких властивостей, як правило, відносяться наступні: один і той самий об'єм ви­пуску продукції може бути забезпечений при різних комбінаціях ресурсів; при від­сутності хоча б одного з ресурсів випуск неможливий; при зростанні споживання ресурсів об' єм випуску не скорочується, тобто виробництво функціонує в економіч­ній площині.

Одна з важливих властивостей ВФ характеризує її спроможність відображати зміну масштабів виробництва. Під змінами масштабів виробництва розуміють про­порційне зростання ресурсів у X разів. Пропорційне зростання всіх ресурсів при­зводить до деякої зміни випуску продукції. Отриманий в результаті збільшення ре­сурсів об'єм випуску yX можна порівняти з попереднім випуском наступним чином:

Уx = f (X х) = xXky .

Виробничі функції, які мають такі властивості, які виражені останньою рівніс­тю, називаються однорідними. Степінь однорідності дорівнює k . Однорідність ВФ свідчить про те, що при розширенні масштабів виробництва в X разів об'єм про­дукції збільшується в Xk разів. Це означає, що можуть бути різні варіанти ефектив­ності розширення виробництва, якому відповідають різні значення k .

Можливі три випадки. При збільшенні масштабів виробництва його ефектив­ність не змінюється (k = 1), зростає (k > 1) або спадає (k < 1).

Модель у вигляді ВФ дає можливість визначати дві групи економічних характе­ристик виробництва: характеристики ефективності використання ресурсів і харак­теристик співвідношення ресурсів.

Для зміни ефективності використання ресурсів застосовують наступні показ­ники.

1. Середня продуктивність ресурсів ц =       , що виражає кількість виробленої

х

продукції за рахунок одиниці і -го ресурсу. Серед показників ці широке застосу-

f(F, L) . ,        . f (F, L)

вання отримала продуктивність праці ц L =- і фондовіддача ц F =-.

LF

от-f (х)

2. Іранична продуктивність ресурсів уt =        , що відповідає приросту об єму

виробництва продукції залежно від додаткового застосування малої одиниці ре­сурсу.

3. Коефіцієнт еластичності об'єму виробництва за ресурсом Et = f (х): f (х),

який визначає, на скільки відсотків збільшується виробництво продукції при при­рості ресурсу хі на 1 %.

Характеристики співвідношення ресурсів зручно розглядати за допомогою графіків ізоквант. Ізокванта відображає еквівалентну взаємозамінність ресурсів у виробництві при постійному випуску продукції у відповідності з властивостя­ми об' єкта — оригінала. Ірафіки ізоквант різного вигляду проілюстровано на рис. 1.

F2

Fi 0

к

а

 

\^ а=о

\ О        \ СТ= оо

% \

---1---

і

Лаг І^^ЗЇТГЧ-

І_2

Ь L

Рис. 1

Ланка 2

Ланка 1 Ф'(Р)

X

Керув. Ф2)=а Вироби.

ф1>=трТТ

У випадку, коли ресурси у виробництві доповнюють один одного, ізокванта має вигляд прямого кута зі сторонами, паралельними осям F і L . У випадку абсолют­ної взаємозамінності вона має вигляд прямої, що перетинає обидві осі.

Застосовують наступні показники співвідношення ресурсів.

1. Основний показник — фондоозброєність ер:

L

У різні моменти часу значення фондоозброєності у виробництві може не співпа-

F

дати. В точці (L1,F1) (рис. 1, а) — фондоозброєність ер1 = — , у точці (L2,F2) — фон-

доозброєність р 2

L2

L1

Другі два показники характеризують процеси еквівалентної

взаємозаміни факторів.

2. Гранична норма заміщення h

: const відображає, на скільки оди-

dF

при У-dL

ниць потрібно збільшити вартість виробничих фондів F для скорочення чисельно­сті трудових ресурсів на малу одиницю. Тому гранична норма заміщення має від'ємне значення. Чисельно величина h дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної (а1,а2) до ізокванти в точках, що відповідають значенням фондовіддачі (L1,F1), (L2, F2) . У загальному випадку зі зміною фондоозброєності змінюється значення граничної норми заміщення.

3. Еластичність еквівалентної взаємозамінності ресурсів а. Значення цього по­казника обчислюється за формулою еластичності фондоозброєності за граничною нормою заміщення

дер ер а = ~дй' h'

Цей показник означає, на скільки відсотків зміниться фондоозброєність при од-новідсотковій зміні граничної норми заміщення. Характерна особливість показника а полягає в тому, що його значення при зміні фондоозброєності залишається ста­лим. Разом з тим, формули виробничих функцій можуть відповідати об'єктам з різ­ними характерами взаємозамінних ресурсів. Так, на рис. 1, а наведено ізокванти трьох типів, що відповідають різним типам ВФ. Випадок а = со характеризує ви­робництво, у якого повна взаємозамінність ресурсів. При цьому гранична норма заміщення залишається сталою величиною при довільному значенні фондоозброє­ності, для скорочення чисельності трудових ресурсів ( L ) на малу одиницю завжди потрібно збільшувати вартість виробничих фондів ( F ) на h одиниць. У випадку а = 0 ресурси можуть лише взаємодоповнюватись, а будь-яка точка ізокванти, за винятком вершини кута, відповідає наявності у виробництві зайвої кількості того або іншого ресурсу. Виділені випадки є граничними для виробничих функцій зісталою еластичністю заміщення, яка може прийняти будь-яке значення з проміжку

(0) .

Загально відомою моделлю виробництва зі сталою еластичністю заміщення є ВФ Кобба-Дугласа

у = aFа Le,   а + р = 1, (3)

де a — коефіцієнт загальної ефективності ресурсів, а, в коефіцієнти еластич­ності об'єму виробництва по F і L відповідно (EF = а, EL = в ). Особливість ВФ Кобба-Дугласа полягає в тому, що еластичність еквівалентної взаємозаміни ресур­сів у цій моделі дорівнює одиниці і коефіцієнт однорідності дорівнює одиниці. Для показників ефективності використання ресурсів характерні наступні співвідношення:

цf = аер-в, цl = аера, уf = ацf , Yl = ацl

Взаємозамінність між фондоозброєнням і граничною нормою заміщення вира­жається формулою:

вер = аh ,

з якої безпосередньо випливає, що еластичність взаємозамінності ресурсів а = 1 .

Необхідно звернути увагу на специфіку ВФ як ланки економічної системи в ди­намічних моделях. Її особливість полягає в тому, що фактор часу в ній у явному вигляді не міститься. Але ця модель дає можливість обчислювати ряд показників (граничні корисності факторів, еластичність виробництва за факторами тощо), які відображають динамічні властивості виробництва. Тому при чисельному відтво­ренні динамічних систем з врахуванням ВФ виникають ситуації, при яких відбува­ються несуттєві стрибки таких важливих економічних характеристик, як продуктив­ність праці, фондоозброєння та фондовіддача.

Інша особливість цієї моделі полягає в тому, що показник у характеризує інтен­сивність процесу виробництва (інтервальний показник), і тому в окремі моменти часу його значення не можуть бути виміряні, а фактори x відображають стан ви­робництва, вимірюються в довільний момент часу (миттєвий показник) і в інтерва­лі часу їх значення не можуть бути визначені точно. Звідси випливає, що синтезу­вати ВФ, що відповідає конкретному об' єкту, без додаткового узгодження відносно часового інтервалу і способу вимірювання факторів виробництва неможливо.

У зв' язку з тим, що ВФ у математичній формі не є диференціальним рівнянням, включати її як ланку моделі, що описується системою диференціальних рівнянь, неможливо. Тому для аналітичного розв' язку економічних систем потрібно вивести ВФ у формі диференціального рівняння. Разом з цим, для чисельного відтворення поведінки (імітації) можна скористатися формою ВФ (2) у вигляді:

у (t) = f [F (t), L (t), t ] (4)

з накладанням додаткових обмежень, що забезпечують адекватність поведінки моделі.

Динамічні виробничі функції з врахування досягнень сучасних технологій.

ВФ (4) дозволяє розширити можливості відображення виробництва, включивши до моделі зміну ефективності використання факторів. Оновлення виробничих фондів шляхом заміни застарівши технологій більш досконалими, запровадження досяг­нень сучасної науки і техніки збільшує ефективність факторів виробництва, а дов­готривала експлуатація і амортизація технологій — зменшує ефективність. Додат­ковий внесок у розвиток ефективності додає удосконалення економічного меха­нізму, організації і керування в виробництві, підвищення професіоналізму працю­ючих тощо, що в явному вигляді в даній моделі не відображено. Але вказані проце­си являють собою вплив техногенної цивілізації на виробництво продукції. Моде­лювання сучасних технологій пов' язують з моделюванням виробництва у вигляді

ВФ. Відомі наступні методи моделювання таких технологій: екзогенний, матеріалі­зований, індукційний і у вигляді окремої галузі. При екзогенному методі моделю­вання припускають, що аналітична форма ВФ не змінюється, а змінюються значен­ня її параметрів. Розрізняють дві основні форми екзогенного методу: нейтральний або такий що не відноситься до визначених факторів виробництва і матеріалізова­ний в конкретних факторах. Якщо застосовується ВФ Кобба-Дугласа, то у випадку нейтрального методу в модель вводиться функція A(t), у випадку матеріалізова­ного методу — функції ОС(t) і р (t) . ВФ відповідно мають наступний вигляд:

yi(t) = A(t)F(t)aL(t)р,   y2(t) = aF(t)a(t)L(t)p(t).

Надалі будемо застосовувати для імітації нейтральну форму екзогенного мето­ду, а для аналітичного розв'язку — матеріалізований метод у вигляді однофактор-ної ВФ

y (t) = ц (t) F (t). (5)

Під впливом досягнень сучасних технологій змінюється ефективність викорис­тання виробничих фондів ц (фондовіддача). Функція зміни фондовіддачі задається екзогенно і зазвичай має експоненціальний вигляд.

Тоді ВФ з екзогенним методом виражається формулою:

y (t) = ц оe х tF (t), (6)

де ц 0 — фондовіддача в нульовий момент часу (t = 0 ), X — показник степені ме­тоду, індекс зростання або темп приросту фондовіддачі.

Фізична заміна елементів виробничих фондів новими або попередніми техноло­гіями, збільшення або скорочення кількості цих елементів здійснюється в економіч­ному процесі репродукцією. Тому процес оновлення тісно пов' язаний з репродук­цією виробничих фондів.

У процесі репродукції, з однієї сторони, здійснюється капіталовкладення і вве­дення виробничих фондів в експлуатацію. Цим процесом обумовлюється збіль­шення виробничих фондів. З іншої сторони, відбувається зменшення виробничих фондів у результаті амортизації і вибуття. Якщо в якості моделі руху виробничих фондів прийняти інерційну ланку першого порядку [4, 5], у якої зовнішній вплив x (t) — інтенсивність потоку капіталовкладень, s (t) — інтенсивність потоку амор­тизації і T — лаг експлуатації виробничих фондів, тоді поточна вартість виробни­чих фондів визначається операторним рівнянням:

F (p) = - [[ (p) - S (p) + Fo ], (7) P

де F0 початкова вартість виробничих фондів.

Зображення процесу амортизації можна записати у вигляді:

S (p) = 1F (p) = nF (p),

p

тобто амортизація пропорційна поточній вартості виробничих фондів і складає її частину. Частку амортизованих фондів n називають нормою амортизації. Підстав­ляючи реакцію S(p) в (7) і розв'язуючи дане рівняння відносно F(p), отримаємо наступну операторну залежність нагромадженої кількості виробничих фондів від капіталовкладень:

F (p) = —[[ (p) + Fo ]. (8)

p+ n

Звідси, замість (5) однофакторну динамічну ВФ можна записати у вигляді інтен­сивності випуску продукції від інтенсивності потоку капіталовкладень в оператор-ній формі:

Y(p) = 0(p)[X(p) + Fo ],   O(p) =        , (9)

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А Б Кулик - Моделювання виробничих функцій

А Б Кулик - Структурний аналіз і синтез виробничих систем