Р Пелех - Двосторонні методи розв'язування задачі коші для нелінійних інтегро-диференціальнихрівнянь вольтерра - страница 1

Страницы:
1  2  3 

Пелех P., Лучко Й. Двосторонні методи розв'язування задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра // Вісник ТДТУ. — 2009. — Том 14. — № 2. — С. 136-142. — (математичне моделювання. математика. фізика).

УДК 519.62

Р. Пелех1 ; Й. Лучко2, докт.техн.наук

1Проектно-конструкторське технологічне бюро АСУ залізничного

транспорту, м. Львів 2Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту ім. академіка В. Лазаряна

ДВОСТОРОННІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА

Запропоновано двосторонні формули розв'язання задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра. Ці формули дозволяють в кожній вузловій точці отримувати не тільки верхні та нижні наближення до точного розв'язку, але й давати інформацію про величину головного члена похибки без додаткових звертань до правої частини інтегро-диференціального рівняння Вольтерра.

Ключові слова: двосторонні методи, задача Коші, інтегро-диференціальне рівняння Вольтера.

R. Pelekh, J. Luchko

TWO-SIDE METHODS FOR THE SOLUTION OF CAUCHY PROBLEM FOR NONLINEAR VOLTERRA INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

The two-side formulas for the solving of nonlinear Volterra integro-diffefential equations are constructed. The formulas give an opportunity to reseive upper and lover approximation at eath point to the exact solution and define the value to the main error without referring to the right part of Volterra integro-differential equation.

Key worlds: two-side methods, Cauchy problem, Volterra integro-differential equation.

Актуальність проблеми. Багато прикладних задач, зокрема розрахунок напружено-деформованого стану тонкостінних елементів конструкцій (стержнів, пластин, оболонок) у загальному випадку зводяться до розв'язання нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь.

При розв'язуванні таких задач важливо, щоб основні властивості розв'язку добре відображались наближеними методами. В прикладній математиці широкого застосування набули дробово-раціональні наближення, які при відповідних умовах дають високу швидкість збіжності алгоритмів, двосторонні і монотонні наближення, мають слабку чутливість до похибок заокруглень, вірно відображають основні властивості розв'язків досліджуваних задач [1-3].

Постановка задачі. Розглянемо на відрізку IL : [x0, x0 + L] задачу Коші для нелінійного інтегро-диференціального рівняння

x 1

u'(x ) = F x, u(x), J g[x, s, u(s )ds] (1)

u(xo) = uo, x e[xo, xo + L]. (2)

Припустимо, що розв'язок (1), (2) існує і єдиний, а функції F і g володіють

необхідною гладкістю. Зауважимо, що рівняння (1) можна перетворити в еквівалентну систему

u'(x) = F [x, u(x), z(x)]

z(x)=\g[х,s,u(s)}is . (3)

Пропонуються обчислювальні схеми, які дають можливість на кожному кроці інтегрування отримувати двосторонні наближення до точного розв'язку задачі (1)-(2).

Ці двосторонні формули будуються так, щоб локальні похибки схеми в кожній вузловій точці мали вигляд:

U( xn+1) - un+l\ = а№КФ п (F) + O(hp+1), де u(xn+1) і un+1 - відповідно точний і наближений розв'язок задачі (1)-(2), h- крок інтегрування, Ф n (F) - деякий диференціальний оператор, обчислений в точці (xn, yn),

К - константа, р - порядок точності, а> - параметр двосторонності.

За допомогою параметрів а> і h досягаєтся двосторонність і необхідна точність на всьому інтервалі інтегрування.

Побудова   двосторонніх   алгоритмів.   На   відрізку    IL    введемо сітку

°~h = {х0 < х1 < к < xN-1 < xN = х0 + L} з кроком h = хі+1 - хі, і = 0, N -1. Використовуючи апарат ланцюгових дробів та теорію побудови методів Рунге-Кутта [4], наближений розв'язок задачі (1), (2) в точці х1 = хо + h шукаємо у вигляді неперервного дробу [5,6]:

u = ^ = k---. (4)

di ,0 +

1 +

dk ,1

1 +

При k +1 = 2 (k = 1,2; I = 0,1)

+ dk ,l

=      л   =   51   л  =S\ - C0S2    і   = 8X - c0S2 (5)

C0 = u0, d1,0 = j d1,1 =      T ' d2,0 = 2       , (5)

S1 = a11hk1, 82 = h(a21k1 + a22k2), k1 = F[х0 +a1h1,u0,0], k2 = F[х0 + a2h, х0 + P21hk1, Y21K1 ], K1 = hg[x0 + ah, х0 + ph, u0 + yhk1 ], де , a22, a, P, P21, Y - невідомі поки що параметри.

Розвинення розв'язку задачі (1)-(2) в ряд Тейлора в околі точки х0 має вигляд:

u(x0 + h) = u(x0) + h(FX + 2 h2 {(Fx )0 + (Fu )0 (F\ + (Fz \ (g\ }+

+ -{(Fx)0 + 2(Fxu)0(F)0 +(Fuu\(F2J, +(FX)0 x 6

x(Fu )0 +(FZZ X (g2 )0 + 2(Fxz )0 (g X + + 2(FuZ \ (F)0 (g\ + 2(Fz \ (gx \ +(Fz \ (gu \ (F)0 +(F2 \ (gs \ +

+ F )0 (F )0 +(Fu \ F \ (g)0}+ 0(h4 ). (6) Розглянемо формули (4) і (5) при k = 1, l = 1:

u11,1] =■

u0

h

1 -

aw k1 u0

(7)

ha-wk^    u0 (a21k1 +    k 2)

1+

u0 a^k1

k1 = F [x0 + a1h, u0,0],     k2 = F [x0 + a2 h, u0 + P21hk1, Y21K1 ],

K1 = hg[x0 + ah, x0 + ph, u0 + )hkx ]. (8) Невідомі параметри a{j-, aj (i = 1,2; j = 1,2), P21, Y21, a, P, y виберемо з умови,

щоб

= |u( х0 + h) - щ \ = ah2 Ф 0 (F) + 0(h3).

де

Для цього спочатку перетворимо формулу (7) до вигляду

u}u] = u 0 +

ha11k12 = u + jin-n.

(a11 -        )k1 - k2

P

+

P[1,1]= a2 {h(F2 )0 + 2a1h2 (F)0 (Fx \-h3 (a2 (Fx \ +a2 (F )0 (Fx \)+ O(h4)}.

(9)

(10)

= (a11 - a21 )k1 - a22k2 = (a11 - a21 - a22 )(F)

+ h{[(aw -        )a1 - a22a2 \Fx )0 -a22P21 (Fu )0 (F)0

+

І2 2 (a11 - a21 )a2^ - a22

(Fxx )o

a22P221 (Fuu )0 (F)0 - 1 a22 Y221 (fzz )0 (g' )0 - 1 a22a2P21 (Fxu )0 (F)>

1

2 ^.^2W        л 2

21V xuj0V /0

a22a2Y21 (Fxz )0 (g)0 - a22P21Y21 (Fuz )0 (g)0 - a22P21a1 (Fx )0 (ffu )0

a22Y2

21a(Fz )0 (gx )0

a22Y21Y(Fz )0 (gu )0 (F)0

- a22Y21P(Fz )0 (gs)0 | + O(h3) .

Тоді

u(x0 + h)- u|1,1]

ем:

(h(F )0 [aw

a21      a 22

an ]+ h 2 [(a11 - a21 )a1

(11)

a 22 a2 +

(a11 - a21 - a22 )- 2a1 a2 ](F)0 (Fx )0 + h 2   1 (a11 - a21 - a22 )- a22 P2

x(F )0 (Fu )0 + h

+ h3

1 /

- + (a11 - a21

(Fxx )0

2

a22Y2

11

22       22 21

1 (a11 - a21 - a22 ) - a22 Y21   (F)0 (Fz )0 (g)0

+

6 2

a22P221 |(Fuu )0 (F )0 +

11

+ I 6 - 2 ^(Fzz )0 (g)0 + ^ 3 - a22a2p21 ^(Fxu )0 (F)0

+

1

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Р Пелех - Двосторонні методи розв'язування задачі коші для нелінійних інтегро-диференціальнихрівнянь вольтерра