С Шахно - Двопараметричні методи типу хорд для розв'язування нелінійних рівнянь - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2009. Віт. 15. C. 117-125

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2009. Is. 15. P. 117-125

УДК 517.948

ДВОПАРАМЕТРИЧНІ МЕТОДИ ТИПУ ХОРД ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

С. Шахно, С. Граб, Г. Ярмола

Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kom@franko.lviv.ua

Запропоновано однокрокову та двокрокову модифікації методу хорд з використанням апроксимації похідної Фреше поділеними різницями.Вивчено локальну збіжність однокрокового методу у випадку, коли поділені різниці задовольняють узагальнену умову Ліпшиця. Знайдено умови та швидкість збіжності цього методу, виявлено область сдиності розв'язку задачі. Проведено порівняння запропонованих методів на тестових прикладах.

: , , .

1. ВСТУП

Нехай задано нелінійне операторне рівняння

F (x) = 0, (1) де оператор F визначений на опуклій відкритій множині D банахового простору X зі значеннями в банаховому просторі Y. Базовим методом для розв'язування (1) є класичний метод Ньютона, який має квадратичну швидкість збіжності за виконання умов Ліпшиця для похідної Фреше чи обмеженості за нормою другої похідної за . ' (1)

, . набуває вигляду

*n+i = хп - F(xn, xn_x)-1F(xn), n = 0, 1, 2,... (2)

де обмежений лінійний оператор F(x,y) називають поділеною різницею першого

порядку для оператора F за точками x, y , якщо справджується рівність

F (x, y)(x - y) = F (x) - F (y).

Збіжність класичного методу хорд (2) вивчало багато авторів [4-6, 8, 10]. Пізніше були запропоновані методи типу хорд, типу Стеффенсена, які мають вільний числовий параметр [7, 9]. Вибором цього параметра авторам вдалося показати, що швидкість збіжності ітераційної послідовності має порядок 1 + p , де 0 < p < 1. Якщо

параметр методу не прямує до нуля, то доведено тільки лінійну збіжність. Крім того, при дослідженні збіжності накладаються умови на похідні від оператора F у

, . ми пропонуємо ширший, двопараметричний клас методів типу хорд

xn+1 = xn -F(un,vn)-1 F(xn), n = 0, 1, 2,..., (3) де  un = xn + an (xn-1 - xn),  vn = xn + bn (xn-1 - xn),   an є bn є [0;1]. Прийнявши

an = bn = 0, отримаємо класичний метод Ньютона, прийнявши an = 0, bn = 1, матимемо метод хорд (2), за an =-1, bn = 1 - метод лінійної інтерполяції Курчатова

© Шахно С, Граб С, Ярмола Г., 2009

[3], і, нарешті, за an = 0, bn є [0;1] одержимо метод типу хорд [9]. Як бачимо,

(3) , квадратична збіжність, і методи типу хорд з дещо нижчою збіжністю. Дослідження в рамках одного методу дає змогу порівняти радіуси збіжності окремих відомих методів за однакових умов, накладених на нелінійний оператор.

У праці [18] введено узагальнені умови Ліпшиця для похідної Фреше, де замість сталої Ліпшиця використано додатну інтегровну функцію, і за цих умов

. [6]

таких умов провели дослідження методу хорд.

(3).

Показано надлінійну швидкість збіжності ітераційного процесу порядком (1+ V5)/2) для постійних параметрів, для незростаючої послідовності {bn} і постійного an, а при певному виборі параметрів одержимо і квадратичну збіжність.

,

методів типу хорд.

. 2 (3)

єдиності розв'язку. У розділі 3 запропоновано двокроковий різницевий метод, а у розділі 4 наведено результати чисельного експерименту.

1) рівняння (1) має розв'язок x* в кулі B(x*, r) = {x є D : Lx - x*L< r} , існує похідна за Фреше F'(x*) і вона оборотна;

2) в кулі B(x*, r) функція F(x) має поділені різниці першого порядку F(x, y), які задовольняють умову Ліпшиця з усередненим L :

», , II        р ||x - xJI+1 y - x* N

F'(x*)-1 F(x,y) -i| < у L(z)dz, (6)

де x, y є B(x*,r) і L - неспадна;

3) нехай r > 0 задовольняє нерівність

I L(z)dz ——-< 1 (7)

Г (2-a0 +la0l)r УІ>

1 - J 0 L(z)dz

lk+1 -x*\\ < q1 IIxn-1 - x*\\\\xn -x* II, (8)

~n+1~* И 41 II  n-1

де

f(1 + 2| ao|)pm,x

J 0 L( z)dz

f (2-a0 +|a0|)p„,x \

1 - J 0 L(z)dzJPmax

Доведення. Доведення проведемо для фіксованих an = a0 і незростаючої послідовності {bn} . Виберемо довільно x-1, x0 є B(x*, r), де r задовольняє (7), і

L(z)dz

IШKаЖCMO,    ЩО    q =- a0 -b0)p(x0)+(|a0|+b0)p(x1)- [1]УДЄ    МЄНШЄ   Ш    1.    CпpаBДІ, З

1 -I L( z)dz

L

(t 10[2]1 jz)*=( t2 j;+(і-1) j:) L(z)dz -1 L(t1) j: Ht - Ї) j:1)

dz = (9)

:L(ti)| + t,

2 V t2 t1

11

для 0 < t1 < t2. Toбто, -j jo L(z)dz є неспадною стосовно t. Отже, ми маємо

Г (1+|ao|-Ao)p(xo)+(|ao|+b,)p(x_i)

I L(z)dz q =   -[3]_x

"      ,       Г (2-ao-Ao)p(xo)+(|ao|+Ao)p(x-i)

1- I 0 L(z)dzх (1+ | «о I ~Ьо)Р(хо) + (I «о I +bo)P(X-l) <

(1+ I ao I -bo)p(Xo) + (I ao I +bo)p(x_i) ~

f (1+2KI)r L()d L(z)dz

<--х

(1 + 2 I «oI)r (l - jo   0      L(z)dz)

X(1+ I «o I -bo)p(Xo) + (I «o I +bo)p(X-i) <

< (1+ I «o I -bo ) ||xo - x* || + (I «o I +bo^|X-1 - x* || < 1

< (1 + 2 I «oI)r • Якщо xn є B(x*, r), то згідно з (3) одержуємо

x„+1 - x, = xn - x* - F(un, vn )-1 F(xn) = -F(Un, vn )-1 F(x*, x*) XF(x*, x*)-1 [F(xn, x*) - F(Un, Vn)](xn - x*). Тоді згідно з лемою 1 і умовою (6) отримаємо

||xn+1 -x*\\ = I|xn -x*-F(un,vn)-1 F(xnІ < <|F(Un,Vn)-1 F(x*,x*|F(x*,x*)-1[F(xn,x*)-F(un,vn)](xn-x*)|| <

Ґ ||un -x4+1 lVn -x>|   j .    . ,

J o L( z )dz

Г ||un -*|+||vn -x*\\

1- J o L(z)dz

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

С Шахно - Двопараметричні методи типу хорд для розв'язування нелінійних рівнянь

С Шахно - Про різницевий метод з надквадратичною збіжністю для розв'язування нелінійних задач про найменші квадрати