Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

H х A


Із урахуванням зако-ну повного струму rotH= 8 рівність (2.25) набуде вигляду:


такогоWM =1 {Ad dV -1 f div

м     9 J             9 J


H х AVV

Застосуємо до другого інтеграла теорему Остроградсь-кого - Гауса (1.7), при цьому можна показати, що потіквектора


H х A


крізь замкнену поверхню, яка охоплює всіджерела об'єму V, буде дорівнювати нулю. У результаті

маємоWM = іp ® dV. (2.26)

2 V

Припустимо, що I 8 dS = I = const для будь-якого від-

S

різка dl   у заданому контурі, а [j]Ad/ = Ф = const для

 

®

будь-якого перерізу dS, тоді об'ємний інтеграл (2.26) можна записати в такому вигляді:

1  г® ®    г®®   1 ТІ2

2\\    2 2

Для практичних розрахунків зручно виходити із таких рівностей:

WM = - \ uH2 dV = 2V 2

або

Фг =\UaHdS = ZMJk . (2.27)

При цьому магнітний потік може бути розрахований за

векторним потенціалом Фг = jj Adl г .

к

 

 

2.7 Приклади аналізу стаціонарних і квазістаціона-рних полів у найпростіших компонентах електричних кіл

Найпростіші компоненти пристроїв електронної техні­ки - резистори, котушки індуктивності, конденсатори, від­різки сполучних ліній. Крім названих, електронні ланцюги містять так звані активні компоненти, які безпосередньопідсилюють сигнали, перетворюють енергію із однієї фор­ми в іншу, відображають інформацію і т.п. Ці компоненти є предметом вивчення курсів електроніки. Розглянемо ли­ше найпростіші (пасивні) компоненти з погляду на їх схе­мотехнічні властивості, тобто зв'язки між струмом і напру­гою (резистори), зарядом і напругою (конденсатори), маг­нітним потоком і струмом (котушки індуктивності).

Приклад 2.1 (резистор). У найпростішому варіанті ре-
зистор
- деякий об'єм речо-
U____ _______ вини (рис. 2.8), яка має по-

мітну електричну провідність і для якого виконується закон Ома в диференційній формі:

®®

8 = g E. Помножимо обидві

l

частини цієї рівності на еле­®®

Рисунок 2.8 - Резистор

ментарний об'єм dS dl і про-інтегруємо за всім об'ємом.

®®

Інтеграл від 8 dS у лівій частині - повний струм il, а ін-

®®

теграл від E dl у правій - різниця потенціалів U на всій довжині зразка. Тому il = g SU або U = iR, де R = і / g S -опір.

Таким чином, для резистора характерна пряма пропор­ційність між струмом, що проходить і спаданням напруги. Ця закономірність називається законом Ома, а коефіцієнт пропорційності - опором. Така залежність спостерігається лише для початкової ділянки вольтамперної характеристи­ки резистора. У сильних електричних полях питома елек­трична провідність стає залежною від напруженості елек­тричного поля і закон Ома порушується.

Приклад 2.2 (плоский конденсатор). Відмітною озна­кою елементів, що характеризуються ємністю, є електро­статичне поле. Розглянемо конденсатор, на пластинах яко­го розміщені рівні за величиною і протилежні за знаком заряди (рис. 2.9). Відомо (див. п. 2.5), що заряд однієї із пластин прямо пропорційний різниці потенціалів q = CU, де C - ємність конденсатора.

Збільшення заряду, наприклад, на верхній пластині,

ам

L

призведе до збільшення різни-
i                      ці потенціалів. Але з іншого

боку, збільшення заряду мож-U      ливо лише за рахунок проход-

q

у             ження струму i = dq/dt у колі.

Тому струм у колі конденсато­ра   пропорційний швидкості

Рисунок 2 9 -                     зміни напруги в часі i = C ——,

Плоский конденсатор

а коефіцієнтом пропорційності

є ємність конденсатора.

При підключенні до конденсатора змінної напруги у його колі буде проходити змінний струм. У припущенні

•   •      •      (д в 0) ї

квазістаціонарності процесу (---- =0) між їхніми комплекс-

д t

ними амплітудами спостерігається пряма пропорційність i = jw CU.

За формою ця рівність аналогічна до закону Ома, а ве­личина 1/w C = XC називається реактивним ємнісним опо­ром.

Приклад 2.3 (котушка індуктивності). Одним із еле­ментів електричних кіл є котушка індуктивності, при про­ходженні електричного струму по ній виникає магнітне поле (рис. 2.10).

Для аналізу схемотехнічних властивостей такого еле­мента припустимо, що він виготовлений із провідника безвтрат і скористаємося другим рівнянням Максвелла в інте­гральній формі (1.10):f[ Edl

[f BdS.

о 2

За замкнений контур інтег­рування виберемо лінію, яка проходить від точки 1 до точки 2 уздовж провідника зі стру­мом, і потім від точки 2 до точ­ки 1 по вільному простору. Оскільки у ідеальному провід­нику електричне поле відсутнє, інтеграл на першій ділянці до­рівнює нулю, а на другій - різниці потенціалів між точка­ми 1 і 2 (2.6), тобто спаданню напруги на котушці (зі зво­ротним знаком). Інтеграл у правій частині дорівнює потоку вектора магнітної індукції Ф крізь поверхню, обмежену обраним контуром. Як відомо, цей потік пропорційний струму, тобто Ф = Li. Тому напруга U на котушці, у при-пущенні квазістаціонарності процесу на швидкості зміни струму у часі:


D

(д

д t


=0), пропорцій-U = L


di dtа коефіцієнт пропорційності L називається індуктивністю (див. п.2.6).

Під   час   роботи   котушки   на   змінному струмі

(i Iх eJ0>t, U Ux eJ0>t) між амплітудами напруги і струму буде спостерігатися пряма пропорційність, тоді, якщо скористатися методом комплексних амплітуд,

U = jwLI.Формально ця залежність для комплексних амплітуд аналогічна до закону Ома, а коефіцієнт пропорційності XL = wL називається реактивним опором котушки індук­тивності аналогічно до ємнісного реактивного опору кон­денсатора (див. приклад 2.2).

Приклад 2.4 (магнітна індукція відрізка дроту зі струмом). Для порівняння законів повного струму і Біо-Савара-Лапласа розглянемо процедуру знаходження маг­нітної індукції, створеної відрізком лінійного дроту зі струмом i у довільній точці m (рис. 2.11). Для знаходжен­ня магнітної індукції скористаємося співвідношенням (2.16).

Припустимо, що точка m віддалена на відстань b . Ку
.0

l

позначимо a b

r = ■

sin a dl x 1 x sin a; dB


Із геометричних міркувань має-

bda

bctga,      отже,      dl = 2—;

sin2a

 

sinada.У результаті інтеграл (2.16) шуться у вигляді: і його розв'язання запи-B =       f sin a da = -m°- (cos a, - cos a2),
том, отриманим за законом повного струму в п.1.6 (1.29).

Приклад 2.5 (поле і ємність дводротовоїлінії). Одні­єю із простих задач електростатики, при розв'язанні якої використовується теорема Гауса в інтегральній формі (1.11), може бути задача зі знаходження напруженості поля

E, потенціалу j та ємності C дводротової лінії передачі -однієї із компонентів електричних кіл. При цьому для більшої наочності розв'язання задачі доцільно розбити її на три етапи: визначення поля нескінченно довгого і тонкого провідника (зарядженої осі); двох паралельних заряджених осей; дводротової лінії із урахуванням товщини провідни­ків.

Заряджена вісь розміщена у діелектричному середо-

д я тт

вищі ea і має заряд на одиницю довжини t = —. Для зна­д l

ходження напруженості поля E у деякій точці, віддаленій на відстань r від осі (рис. 2.12), проведемо через цю точку циліндричну поверхню так, щоб її вісь збігалась із заря­дженою віссю.

Тоді теорема Гауса для такої системи запишеться у та­кий спосіб:

f EdS = Я =  f tdl. (2.28)

S eaea У нашому випадку замкнена поверхня утворена бічною поверхнею циліндра і двома його основами. Потік вектора

E проходить тільки крізь бічну поверхню циліндра. Крізь основи потік вектора E відсутній, оскільки елемент повер­хні dS кожного із них перпендикулярний до E, то маємо інтегрування тільки по бічній поверхні. Із урахуванням то­го, що елементи dS бічної поверхні і напруженість елек-тричного поля збігаються, а t

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч