Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


E


dSi ' tE

E

dS3

E у будь-якій точці циліндра за напрямом не залежить від елемента довжини заряд­женої     осі, рівняння (2.28) набуде такого ви­гляду:

t

"a l

t

a

E | dSi =  J dl

або ES,J_де S = 2p rl.Рисунок 2.12 - До визна­чення напруженості електри­чного поля зарядженої осі

t

E

Звідки напруженість поля зарядженої осі

(2.29)

2же гІз (2.29) видно, що напруженість у полі зарядженої осі змінюється обернено пропорційно відстані r від точки до осі, тому потенціал визначається у такий спосіб:

2РЄa      \ r.

де C - константа інтегру­вання, а одиниця, що пере­буває під знаком логарифма у (2.30), має сенс одинично­го радіуса (одиниці вимірю­вання), тому логарифм бе­реться від величини із нульовою розмірністю.

Паралельні заряджені осі схематично наведенні на рис. 2.13. Нехай одна вісь на одиницю довжини має заряд

j = - fEdr =      — f(r-l )dr = ^— In {-1 + C, (2.30)


J           2pea iX *+т , інша - заряд -t. Візьмемо у їхньому полі деяку дові­льну точку M .

—>—>—>

Результуюча напруженість поля в ній Em = Em 1 + Em2. Відстань від точки M до позитивно зарядженої осі позна­чимо через a, до негативно зарядженої осі - через b . По­тенціал точки M дорівнює сумі потенціалів від кожної осі:

jM = -?— in- +       in- + C = -! lnb + C . (2.31) 2яєа   a   2pea    b        2pea a

Для   еквіпотенціальних   ліній   (j = const) відстань

b

= const. a


Дводротова лінія із провідниками кінцевого радіуса схематично наведена на рис. 2.14.

Нехай два дроти однакового радіуса R перебувають на відстані d друг від друга. Якщо лівий дріт буде мати заряд +t на одиницю довжини, а правий —t, то у просторі між ними виникне електричне поле. Заряди дротів розподілять­ся по поверхні з неоднаковою густиною: на внутрішніх стінках дротів густина заряду буде більша, ніж назовні.

Поверхня кожного дроту є еквіпотенціаллю. Усередині дротів Е =0. Задача про поле дводротової лінії зводиться до розглянутої вище задачі про поле двох заряджених осей.Розташуємо дві заряджені осі так, щоб поверхні кожного дроту були еквіпотенціальними.

Точками O1 і O2 позначимо геометричні осі провідни­ків. Нехай заряджені осі будуть розміщені в точках M і N . З умови симетрії вони віддалені від геометричних осей на однакову відстань x. Запишемо умову рівності потенці­алів точок 1 і 2 лівого дроту. Відношення в (2.31) дляточки 1 є


d - R - x R - x


відношення — для точки 2 дорівнюєd + R

d-R-xd+R

R


 

отримаємо

(2.32)У виразі (2.32) знак мінус перед радіусом відповідає положенню точки N, знак плюс - точки M .

Неважко переконатися в тому, що якщо d >> R, то x

стає на багато менше R . При цьому електричні і геоме­тричні осі практично збіга­ються. На рис. 2.15 наведена картина електричного поля дводротової лінії.

Знайдемо ємність дво-
дротової лінії.
Для цього ви-
разимо напругу між двома
дротами з використанням
за-
ряду
t на одиницю довжини.
Виберемо           точку 1

(див. рис. 2.14), що належитьповерхні лівого дроту, точку Різниця потенціалів між ними


3


поверхні правого дроту.-in


d - R - x


in


R-x2жє а

При d >> R і R >> x U


R-


-2in

 

 

РЄ а

in d

R

d

d-R-x

inІз (2.33) випливає, що ємність лінії залежить тільки від її геометричних розмірів і від властивостей середови­ща, у якому вона розміщується. Залежність від величини заряду і напруги Ul3 у виразі (2.33) відсутня. Слід зазначи­ти, що якщо відстань між двома провідниками збільшува­ти, то ємність буде зменшуватися.

Приклад 2.6 (ємність і індук­тивність коаксіального кабелю (циліндричного конденсатора)). Коаксіальний кабель (циліндрич­ний конденсатор) являє собою два циліндричні провідники (один -суцільний, інший - порожній), розміщених так, що їхні осі збіга­ються (рис. 2.16). Простір між провідниками заповнений діелек­триком із проникністю eа. Нехай

внутрішній і зовнішній провідни­ки заряджені різнойменними зарядами із лінійною густи­ною +1 та -1. Ці заряди зосереджені на обернених один до одного поверхнях. Оскільки осі циліндричних провід­ників   коаксіального   кабелю   збігаються,   то зарядирівномірно розподілені по всій поверхні. Тому поле між цими електродами можна розглядати як поле, створене за­рядженою віссю (див. приклад 2.5). Тоді напруженість електричного поля між провідниками визначається вира­зом (2.29).

Напруга між оберненими один до одного поверхнями дротів U = j1 - j2. Тут j1 - потенціал на поверхні внутрі­шнього провідника; j2 - потенціал на внутрішній поверхні зовнішнього провідника.

Із (2.30) знаходимо U :

U =f Edr =—[ (Vі )dr =  in (R .

Ri          2Pea{{       '      2РЄа      I R1 J

Підставивши отримане значення напруги у формулу для ємності, отримуємо

C =1 =               . (2.34)

in

v Ri 0

Зі співвідношення (2.34) видно, що ємність коаксіаль­ного кабелю, як і дводротової лінії (2.33), залежить тільки від параметрів матеріального середовища і геометрії елек­тродів.

Власна індуктивність коаксіального кабелю L на оди­ницю довжини при постійному струмі і m = const створю­ється магнітними потоками, розподіленими в трьох облас­тях поля: усередині жили кабелю L1 , в області L2 , зайнятій ізоляцією (зовнішньою відносно до струму жили), і усере­дині оболонки L3 (див. рис. 2.16). Повна власна індуктив­ність кабелю L=L1+L2+L3.

Приклад 2.7 (використання аналогії стаціонарних електричних полів). Якщо будь-які електроди помістити в провідне середовище і приєднати до джерела е.р.с., то усередовищі виникне струм I. При напрузі між електрода­ми U12 провідність середовища є величиною, зворотною

опору G = I / U12.

ґ® ®      г®®          г ®®

Оскільки I = | 8 dS = g| EdS та U12 = I Edl, то провід-

i

ність

g f E d®S

G = -*          . (2.35)

2®®

| Edl

1

У свою чергу, в електричному полі із електродами та­кої ж конструкції ємність за наявності різнойменних ста-зарядів Q = I DdS буде

тичних зарядів Q = | DdS буде мати вигляд

 

®®

Q    єа I EdS

C = Ur = JaT       . (2.36)

U        2 ®®

U12   I Edl

1

= ^. (2.37)

Якщо розділити (2.36) на (2.35), то після скорочення отримаємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч