Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

На відміну від рівнянь Максвелла кожне із отриманих

диференційних рівнянь другого порядку залежить тільки

від однієї змінної H або E і у проекціях на осі прямокут­ної системи координат запишуться у вигляді трьох рівнянь такого вигляду:

д2H уш1 + д2Hx^z + д2Hx^z - J_ д2Hxy z = 0
дх2               ду2           3z2      v2 '

Аналогічним способом запишуться і рівняння для век­тора E:

д2 E       д 2E       д2 E        1 д2 E

x, y, z ^    x, y, z ^    x, y, z        1___ x, y, z    0

3x2     зу2 3z2    v2 де  ~ '

Скориставшись першим і другим рівняннями Максвел­ла в комплексній формі запису (1.14), можна одержати рів­няння Гельмгольца для гармонійних коливань:V2 E- p2 E = 0; V2 H-p2 H = 0, (3.4) де p = jco-Jekama - коефіцієнт поширення хвилі.

Неоднорідне хвильове рівняння Даламбера для век­торного потенціалу A.

Скористаємося першим рівнянням Максвелла в дифе-ренційній формі (1.9) і помножимо його на \la:

®

®®        д E

marotH =       5 +     a

t

Внесемо ma під оператор rot, тоді з урахуванням того, ® ®® що maH = B = rotA , отримаємо

1 д E

rotrotA = ma 5+

v2 t

Застосувавши тотожність rotrotK=graddivK-V2 K, можна записати

graddivA-V2 A = ma 8+\ . (3.5)

v2 t

AA

Щоб перейти від вектора E до вектора A, скористає­мося другим рівнянням Максвелла (1.10) і виразом магніт­ної індукції через векторний потенціал (1.5).

A     BA AA

rotE =         = -rot        .

t t

Якщо рівні ротори від двох функцій, то рівні і їх функ­ції із точністю до градієнта від деякої скалярної функції (тому що rotgradj ° 0 ), тобто®     д A

E = -—— gradj. (3.6)

(Це нескладно перевірити: якщо на (3.6) подіяти опера­тором ротора, то вийде друге рівняння Максвелла, а для

A

стаціонарного поля зв'язок E = -gradj ). Підставивши (3.6) в (3.5), маємо:

або

д A + gradj д t

(    a \

A         1 д

graddivA- V2 A = ma 5 —-—

v д t

v2 д t 0

grad\ divA+-^ \-V2 A+—Г = ma 5 . (3.7)Для переходу від (3.7) до стаціонарного рівняння

Пуассона V2 A = -/ma 5 (— ° 0 ) необхідне виконання рів-

.д_ д t ності

divA = -± * (3.8)

v д t

Останній вираз називається калібруванням Лоренца. Остаточно отримуємо рівняння Даламбера для век­торного потенціалу:

A

V2 A-4^4 = -ma 5. (3.9)

v2 t2 a

Рівняння Даламбера для векторного потенціалу можна записати        через        чотиривимірний Лапласіан

 

 

 

2A = -Ha A . (3.10)Неоднорідне хвильове рівняння Даламбера для ска­лярного потенціалу j.

Скористаємося третім рівнянням Максвелла в дифере-

нційній формі (1.11) і підставимо в нього значення E із (3.6):divE = —; div

a


d A dt


+ gradj


P_

e ( div AI + graddivj = - —.

dt yj       e a

Із урахуванням калібрування Лоренца (3.8) отримаємо рівняння Даламбера для скалярного потенціалу, яке також можна записати через чотиривимірний Лапласіан:j ==-—


(3.11)
Для більшої наочності згрупуємо отримані хвильові рівняння у вигляді табл. 3.1.Слід також зазначити, що рівняння Гельмгольца в основному використовуються при вивченні гармонійних хвильових процесів у різних середовищах і напрямних системах, а рівняння Даламбера разом із рівняннями Макс­велла дозволяють проаналізувати процеси випромінюван­ня електромагнітних хвиль антенними пристроями.

 

3.2 Параметри плоскої хвилі в однорідному середо­вищі

За найпростішу модель електромагнітного хвильового процесу розглянемо плоску електромагнітну хвилю, що поширюється в однорідному середовищі. Хоча така модель і є ідеалізованою, але вона дозволяє у спрощеному вигляді вивчати загальні властивості і параметри електромагнітної хвилі.

Для опису поширення електромагнітних хвиль викори­стовується поняття фазового фронту - поверхні, що про­ходить через точки з однаковими фазами.

Однорідною називається хвиля, яка має постійну ам­плітуду у всіх точках фазового фронту.

Хвиля називається плоскою, якщо її фазовий фронт являє собою площину, перпендикулярну до напрямку поши­рення хвилі.

За формою фазового фронту, крім плоскої хвилі, роз­різняють циліндричну й сферичну хвилі. Хвилю із цилін­дричним фронтом випромінює, наприклад, довгий провід­ник зі струмом, сферичну - куля. Але далеко від джерела електромагнітних коливань і для обмеженої області прос­тору із достатнім ступенем точності можна вважати фронт хвилі плоским (рис. 3.2).Тому плоскою однорідною електромагнітною хви­лею називається електромагнітне поле, векторні величини

якого E і Н у кожний момент часу у всіх точках площини
(x0y), перпендикулярної до напрямку поширення хвилі
(вісь            
z),             мають            постійні значення

(дE   дE   дН   дН                     б     ® . H

(---- =----- =----- =----- = 0), тобто E і Н взаємно пер-

дх    ду     дх ду

пендикулярні і залежать тільки від координати z та не


залежать від х і у. Як правило, вектори E і Н зміню­ються вздовж осі z за гармонійним законом (законом си­нуса чи косинуса).

Визначимо закон поширення плоскої електромагнітної хвилі, тобто знайдемо хвильову функцію плоскої хвилі. Для цього розв'яжемо хвильові рівняння Гельмгольца в комплексній формі (3.4), які для плоскої хвилі запишуться у такий спосіб:^ - Р2 E = 0; ^ - Р H = 0, (3.12) dz dz

де p - коефіцієнт поширення;

p = Weкаца = а + jp ; (3.13) а - коефіцієнт загасання; p - коефіцієнт фази.

Розв'язок рівняння Гельмгольца будемо шукати у ви­гляді

Е = Emekz. (3.14) У результаті підстановки (3.14) в (3.12) отримуємо ха­рактеристичне рівняння

k2 -pр = 0,

звідки k = ±p . Тоді

E = E+ e~pz + ET epz = E+ e-az e-jpz + ET eaz ejpz. (3.15)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч