Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

що divB = 0 (див. п.1.2).

Під еквіпотенціальною (рівнопотенціальною) поверх­нею розуміють сукупність точок поля, що мають однако­вий потенціал. Якщо подумки розсікти статичне поле будь-якою січною площиною, то в отриманому перетині будуть видимі сліди перетинання площини із еквіпотенціа­льними поверхнями. Їх називають еквіпотенціальними лініями (або еквіпотенціалями). Таким чином, еквіпотен­ціальними називаються лінії поля, на яких потенціал не змінюється. Еквіпотенціальні та силові лінії у будь-якій точці поля перетинаються під прямим кутом.

Еквіпотенціальні лінії стаціонарного електричного по­ля замкнені (тому що rotE = rotgradj ° 0).

Еквіпотенціальні лінії стаціонарного магнітного поля

при 8 =0 (rotH = rotgradj]u ° 0) починаються і закін­чуються на струмах (аналогічно, як і силові лінії електрич­ного поля починаються і закінчуються на зарядах). При­клад розподілу силових і еквіпотенціальних ліній для електричного поля точкового заряду і магнітного поля провідника зі струмом наведено на рис. 1.2.

Із рис. 1.2 видно, що силовим лініям електростатично­го поля відповідають еквіпотенціальні лінії магнітного по­ля, а еквіпотенціалям електростатичного поля - силові лі­нії магнітного поля.
На закінчення даного підрозділу сформулюємо деякі теореми і принципи, які є загальними при розв'язанні багатьох задач теорії електромагнетизму.

Інтегральні теореми застосовуються при переході від рівнянь поля, записаних в інтегральній формі, до рівнянь поля в диференційній формі і навпаки.

 

Теорема Остроградського-Гаусса

J divKdV = j KdS (1.7)

VS

визначає співвідношення між інтегралом дивергенції век­тора K по об'єму V і поверхневим інтегралом, узятим по замкненій поверхні S, що обмежує цей об'єм. При цьому обмежувальна поверхня повинна бути кусково-гладкою, а вектор на цій поверхні - безперервним. Позитивною є зов­нішня нормаль dS .Теорема Стокса

J rotKdS = j Kdl (1.8)

Sl

прирівнює поверхневий інтеграл ротора вектора K до лі­нійного інтегралу цього вектора, взятого по замкненому

контуру l, що обмежує цю поверхню. Вектор K повинен бути безперервним по усьому контуру інтегрування, а кон­тур - кусково-гладким. Позитивний напрямок нормалі до поверхні і напрямок обходу зв'язані правилом правоходо-вого гвинта.

Теорема одиничності (однозначного) розв'язку при­датна для постійних і змінних електромагнітних полів: ро­зв'язок, що задовольняє рівняння поля, граничні та по чаткові умови, є єдиним. Наприклад, електричне поле опи­сується рівнянням Лапласа або Пуассона. Вони є рівнян­нями у частинних похідних. Для рівнянь у частинних по хідних на відміну від звичайних диференційних рівнянь допускається у загальному випадку безліч лінійно неза лежних один від одного розв'язків. У будь-якому реально­му практичному завданні існує єдина картина поля, тобто єдиний розв'язок. Із безлічі лінійно незалежних розв'язків, що допускаються рівнянням Лапласа - Пуассона, єдиний вибір, який задовольняє конкретне завдання, роблять за допомогою граничних умов.

Якщо існує деяка функція, яка задовольняє рівняння Лапласа - Пуассона і граничні умови у даному полі, то ця функція і являє собою той єдиний розв'язок конкретного завдання, який шукають.

Принцип накладення (суперпозиції) застосовується для полів, які описуються лінійними рівняннями: резуль­туючий вектор (скаляр) дорівнює сумі векторів (скалярів), створюваних кожним джерелом окремо. Наприклад, n за­рядів створюють результуючу напруженість електричного поля E = ^ Ek .

k=1

Принцип подвійності (принцип переставної подвій­ності) придатний для електростатичного, електричного постійного струму і магнітного постійного струму полів та ґрунтується на аналогії стаціонарних полів (див. п.2.5): за­дачі про розрахування одного поля можна замінити зада­чею про розрахування іншого поля, застосувавши аналогію величин і коефіцієнтів, які характеризують ці поля, якщо граничні поверхні обох полів за формою і взаємним розмі­щенням однакові, а граничні умови і диференційні рівняння подібні до величин і коефіцієнтів, властивих кожному по­лю.

 

1.2 Рівняння Максвелла та їх фізичний зміст

Рівняння Максвелла є фундаментальними рівняннями електромагнітного поля. Інтегральна форма запису рів­нянь встановлює зв'язок між величинами в різних точках або на різних відрізках поверхні. Диференційна форма за­пису описує співвідношення між величинами поблизу од­нієї і тієї ж точки поля у певний момент часу.

Перехід від інтегральної форми запису рівнянь Макс­велла до диференційної форми здійснюється за допомогою теорем Остроградського-Гаусса (1.7) і Стокса (1.8).

Існує чотири рівняння Максвелла:

Перше рівняння Максвелла (закон повного струму):

 

(1.9)Фізичний зміст: вихрове магнітне поле H створюється струмом провідності  іпров = jjj 8 dS  і струмом зміщення

S

drfin S      dD .
z   = II DdS , де-- змінне електричне поле.

dt S dt

Друге рівняння Максвелла (закон електромагнітної ін­дукції):

Рdl = -ft jjS,
rotE =                .

—>

Фізичний зміст: вихрове електричне поле E ство-

dB

рюється змінним магнітним полем---- .

dt

Третє рівняння Максвелла (теорема Гаусса): [j DdS = | pdV = £ q,

SV (1.11)

—>

divD = p,

де p і q - вільні заряди у середовищі.

Фізичний зміст: силові лінії електричного поля почи­наються і закінчуються на зарядах q .

Четверте рівняння Максвелла (принцип безперерв­ності магнітних силових ліній):

j BdS = 0,

s (1.12)

divB = 0.

Фізичний зміст: силові лінії магнітного поля замкнені.Для опису гармонічних змінних електромагнітних по­лів (які змінюються за законами синуса або косинуса) зручно використовувати рівняння Максвелла у комплексній формі запису. Відобразимо вектори електромагнітного по­ля у комплексному вигляді (за приклад візьмемо розгляну­>

тий вектор E):E = E_e


(1.13)де Em - амплітуда поля; j - фаза поля;

2л:f - колова частота;t І


часова координата; комплексна одиниця. д E dt


->

jw E.З урахуванням цього можна записати перше рівняння

Максвелла у такому вигляді:

                 ••

—>—>—>—> —> —> rotH = 8+jw D = g E + jwe a E = (g + jwe a )E =jw


e a + —


E=jwea


a 0

jg

we


E=jweka Eде e


ka


f

1


a0

jg

we


комплексна діелектрична проник-ність, яка не має фізичного змісту, а вводиться для зруч­ності і симетрії представлення рівнянь Максвелла.

Часто уявну частину у виразі для комплексної діелек­тричної проникності заміняють тангенсом кута діелек­тричних втрат tg8 :tgd =  g  =  g E = d пров ooea    соєЕ d„,

aa зм

Таким чином, тангенс кута діелектричних втрат

tgd дорівнює відношенню густини струму провідності у середовищі до густини струму зміщення. Отже,

Єка = Є a (1 " jtgd ) .

Значення tgd для різних речовин наводяться у довід­никах, наприклад [12]. Величина тангенса діелектричних втрат може бути основою для характеристики речовин. Так, якщо tgd <<1, то речовина є гарним діелектриком, якщо tgd >>1, то речовина - гарний провідник.

З урахуванням подання інших векторів поля у вигляді (1.13) рівняння Максвелла в комплексній формі запи­шуться в такий спосіб:

    •• —>—>—>—> rotH = d + jw D = ja>e ka E,

•••

® ®® rotE = - jw B = -jmma H,

divD = p, (1.14)

divB = 0.

 

Рівняння Максвелла в комплексній формі запису фізичного змісту не мають.

Узагальнюючи сказане вище, подамо системи рівнянь Максвелла у трьох формах запису (табл. 1.1).

Як правило, система рівнянь Максвелла доповнюється матеріальними рівняннями (1.1), (1.2) і законом Ома (1.6):

d = є0є е = eaE, в = m0 m н = maH, d = g е .
1.3 Рівняння безперервності, Лапласа і Пуассона

Рівняння безперервності (закон збереження заряду) ви­водиться із першого рівняння Максвелла у диференційнійформі: roiH = 8+


д D diЗастосуємо оператор div до всіх членів цього рівнян-ня.     Одержимо     divroiH = div 8+div


д D

7


Оскільки—>

^ ®  d(divD) п
divroi ° 0, то div 8 +------ = 0 .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч