Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 33

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

За наявності декількох точкових (електричний диполь, однойменні точкові заряди, рівномірно заряджене кільце) або розподілених зарядів (рівномірно заряджений відрізок, нескінченно довга заряджена вісь, циліндри) поле розрахо­вують, застосовуючи принцип накладення (див. п. 1.1). При цьому розподілені заряди за об'ємом поверхні та лініїзображують у вигляді сукупності точкових зарядів р dV, s dS і t dl відповідно.

Поле близько розміщених різнойменно заряджених не­скінченних циліндрів (паралельно розміщених поза і усе­редині один одного) розглядають як поле, створене фіктив­ними різнойменно зарядженими осями - електричними осями (див. п. 2.7, приклад 2.5). Електричні осі не збіга­ються із геометричними осями циліндрів. Електричні осі розміщують таким чином, щоб поверхні кожного циліндра, який є еквіпотенціальною поверхнею, збігалися з еквіпо­тенціальною поверхнею поля електричних осей. У просто­рі поза циліндрами поле електричних осей збігається з по­лем циліндрів. Усередині провідних циліндрів електричне поле відсутнє, а поверхнева густина зарядів на поверхні циліндрів нерівномірна внаслідок електростатичної індук­ції. Положення електричних осей можна визначити аналі­тично (див. приклад 2.5, формула (2.32)).

Вектор напруженості H або вектор магнітної індукції

B магнітного поля постійного струму, який має симетрію щодо контуру інтегрування, визначають за допомогою за­. ->->

кону повного струму в інтегральній формі [jHdl = ^I

(див. п. 2.4). У кожній точці замкненого контуру інтегру­вання, що охоплює струми, і проведеного через точку спо-

-

стереження вектор H має те саме значення і може бути

-

винесений з-під знака інтеграла. При збігові векторів H і

dl (вектор H спрямований по дотичній до елемента кон­-

туру інтегрування dl ) закон повного струму набуває ви­гляду Hl = ^ I. Наприклад, напруженість магнітного по­ля, створюваного постійним струмом I , який проходитьпо циліндричному дроту на відстані r від його осі, H = I / (2л: r). Докладне розв'язання задачі розглянуто в прикладі 1.1.

За наявності декількох проводів зі струмом або котуш-

-

ки із числом витків V вектор напруженості H розрахову­ють, застосовуючи, як і для електростатичного поля, метод накладення (див. п. 1.1).

5.3 Інтегрування рівнянь Пуассона і Лапласа для одновимірних полів

Найбільш просте рівняння Пуассона і Лапласа розв'я­зуються у випадку одновимірних полів, потенціал яких за­лежить від однієї координати. При цьому диференційне рі­вняння в частинних похідних переходить в одновимірне диференційне рівняння другого порядку, розв'язок якого при відомих граничних умовах не викликає труднощів. Якщо потенціал є функцією двох або трьох координат, то розв'язати рівняння в частинних похідних значно важче.

У крайовій електричній задачі необхідно враховувати такі умови, які повинен задовольняти потенціал j :

-    у всіх точках поля, які не лежать на граничних по­верхнях і не зайняті зовнішніми джерелами, справедливе рівняння Лапласа;

-    потенціал j усюди безперервний, включаючи грани­ці діелектриків і провідників;

-    потенціал j усюди кінцевий;

-    потенціал j має постійне значення усередині і на поверхні провідників;

j - регулярна функція на нескінченності.Крім цих умов, для однозначності розв'язку необхідне

-

виконання граничних умов (2.10), (2.11) для векторів E і

-

D (див. п. 2.2).

При розв'язанні рівняння Лапласа для магнітного по­тенціалу jM він усюди кінцевий і безперервний, включаю­чи граничні поверхні: jMl = jMl.

При визначенні магнітного поля усередині провідника з постійним струмом розв'язується рівняння Пуассона для

векторного потенціалу V A = -a d при виконанні таких

умов:

-

-    у всіх точках поза областями зі струмом V2 A = 0 ;

-

-    у всіх точках, які не лежать на границі divA = 0;

-

-    тангенціальні та нормальні складові вектора A -

безперервні ( A1t= A2t, A1n= A2n).

 

5.4 Інтегрування рівнянь Лапласа і Гельмгольца методом розділення змінних (методом Фур'є)

Метод розділення змінних в основному використову­ється для розв'язання рівнянь Лапласа і однорідних хви­льових рівнянь Гельмгольца. Розглянемо для простоти двовимірні випадки у декартовій, сферичній та циліндрич­ній системах координат.

Система плоскопаралельних електродів. Для поля, створеного плоскими, необмеженими по осі z електрода­ми, рівняння Лапласа набуває вигляду [3]:

д2j (x y) + д2j (^ y) = 0

д x2        д y2 '

Розв'язок рівняння Лапласа можна записати у формі добутку двох незалежних функційj ( x, y ) = M ( x ) N ( y ). Підставивши цей розв'язок у рівняння Лапласа і по­членно розділивши на добуток M ( x) N (y ), знаходимо

1    d2M (x ) =      1    d2N (y) M (x)    dx2    ~   N (y)   dy2 '

Оскільки ліва і права частини цього рівняння залежать від різних змінних, то вони повинні дорівнювати деякій сталій, наприклад K2 (стала розділення).

У результаті одержують два незалежні диференційні рівняння:

d2M (x)        2   ґ ч      d2N (y)        2   , ч
------ У- = ±K 2M (x ), ------- 2£Z = + k 2 N (y ).

dx2 dy2

Розв'язок цих рівнянь при першій комбінації знаків при K має вигляд

M ( x) = A cos (Kx) + B sin (Kx), N ( y ) = Cch ( Ky ) + Dsh ( Ky ) .

При зворотній комбінації знаків при K гіперболічні і тригонометричні функції міняються місцями.

Спочатку знаходять ту незалежну функцію, за змінною якої задані нульові граничні умови, наприклад M (x) . Ця

функція буде задовольняти задані однорідні граничні умо­ви і не буде дорівнювати нулю (що не є цікавим) тільки при певних значеннях чисел Kn. Числа Kn у загальному

випадку обчислюють, прирівнюючи до нуля головний ви­значник системи рівнянь, отриманої шляхом підстановки розв'язку Mn (Kx) у вираз для граничних умов (при x = a і

x = b ). Визначник складають із коефіцієнтів при Ап та Bn, які розглядають як величини, які необхідно знайти. Потім будь-яке зі знайдених чисел Kn підставляють у цю систе­му рівнянь і знаходять одну зі сталих, наприклад A, вира­жену через B . Однак числа Kn у ряді випадків можуть бу­ти розраховані без складання системи рівнянь, безпосеред­ньо за граничними умовами із урахуванням властивостей отримуваного поля. Після знаходження Kn записують час­тковий розв'язок для функції:

Nn (y ) = Cnch (Kny ) + Dnsh (Kny ) .

Загальний розв'язок вихідного диференційного рівнян­ня має вигляд

¥

j        y) = H[(An C0S (Knx)+ Bn Sin (Knx ))X

n=1

x(Cnch(Kny) + Dnsh(Kny))] .

Сталі Cn і Dn визначають із граничних умов за змін­ною y залежно від умови задачі. Знаючи j, нескладно ви­значити напруженість поля:

E = М+^ = \{-j I2                            " \

V xy   \V   dx)    {   dyJ

Куля в зовнішньому однорідному полі (схема розв'язан­ня). Для кулі (кулястої порожнини) із урахуванням неза­лежності потенціалу від координати a рівняння Лапласа в сферичній системі координат має два доданки [3]:

-T—\r \ + —2--------- 1 sin в \ = 0. (5.1)

r2 dr {   dr J   r2 sin в дв У      дв 0

Представляючи потенціал у вигляді j = M (r) N ) і

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч