Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

підставляючи його в (5.1), отримаємо

------- \r2--- \ +----------- \ sin в \ = 0. (5.2)

M dr {    dr 0   N sin в дв {      дв 0

У цьому рівнянні перший доданок залежить тільки від

r , другий - від в , а їх сума дорівнює нулю. Ця умова ви­конується або коли кожний доданок дорівнює нулю, або коли кожний доданок дорівнює якомусь поки що невідо­мому числу p (нехай перший доданок дорівнює + p , дру­гий доданок дорівнює -p ), тобто:

1 д ( 2 дМ

rz— = 0, (5.3)

М dr І дгАГ s,n в ^ 1 = 0, (5.4)

N sin в дв І дв

1 д(2 дМ

Jz— = p, (5.5)

M дг \ дг•I sin в    

1д

(5.6)

N sin в дв        дв ' * Із розв'язання рівнянь (5.3) і  (5.4) випливає, що A

М1 = + A2 та N = A3. r

Використовуючи підстановку Ейлера і рівняння (5.5), отримаємо М2 = Crn, де n12 =-2 + p . Розв'язок рів­няння (5.6) має такий вигляд: N2 = B cos в, при підстановці якого знаходимо, що p =2. Тут A1, A2, A3, C і B - сталі інтегрування.

Повний розв'язок рівняння Лапласа можна зобразити у вигляді

C

j = j + j = MN + M2 N2 = + C2 +

+1 C3r + ^2. j cos в. Позначимо потенціал усередині кулі j, поза кулеюТоді потенціали для внутрішньої і зовнішньої областей кулі запишуться у такий спосіб:

j, = Cf + C2l + (C3tr +      cosd, (5.8)

j = C^ + C. + ( C3er + ^ j cos q.

Сталі інтегрування C знаходять із граничних умов, які залежать від типу заданого поля (електричного або магніт­ного) і матеріалу кулі (діелектрик, магнетик, провідник).

Циліндр у зовнішньому однорідному полі (схема розв'я­зання). Рівняння Лапласа в циліндричній системі коорди­нат із урахуванням нескінченності системи по осі z має вигляд [3]:

1  Я (   Ят Л     1 F>2rn

r Яа

Аналогічно до кулі розв'язок знайдемо              у вигляді
j = М (r) N ) , у результаті підстановки якого в (5.9)
отримуємо

r Я ( ЯМ \   1 P2N   0 (5 10)
------- \r--- 1 +----           = 0.------ (5.10)

М Pr у   Pr )   N Яа

У цьому рівнянні перший доданок залежить тільки від r, другий - від а, а їх сума дорівнює нулю. Ця умова ви­конується або коли кожний доданок дорівнює нулю, або коли кожний доданок дорівнює якомусь поки що невідо­мому числу p (нехай перший доданок дорівнює + p , дру­гий доданок дорівнює -p ), тобто:

r Я ( ЯМ \                                        1 d1N

М7^\ r^rr 0, (5.11) N770^ = 0, (5.12)
М Яг у   Яг )                               N Яа

r Я ( ЯМ]                  ,с                     1 Я2N

ТТ-ТГГ^-Г Р, (5.13) — = ~P. (5.14)
М Яг {   Яг )  N ЯІз рівняння (5.11) отримуємо, що М1 = A1 lnr + A2, із (5.12) отримуємо, що N1 = A3.

Із рівняння (5.13) отримуємо, що М2 = Crn, де n12 = ±A/p. Розв'язок рівняння (5.14) має вигляд N2 = B cos а, звідки p =1. Тут A1, A2, A3, C і B - сталі інтегрування.

Тоді повний розв'язок рівняння Лапласа можна навести у вигляді

j = j1 + j2 =        + М2 N2 = C ln r + C2 +

(5.15)

Позначимо потенціал усередині циліндра jt, поза ци­ліндром je.

Тоді потенціали для внутрішньої і зовнішньої областей
Сталі інтегрування C знаходять із граничних умов і залежать від того, з якого матеріалу виготовлений циліндр. Граничні умови для кулі і циліндра

1  Для діелектричних і магнітних куль (циліндрів) зруч­но потенціал на початку координат взяти таким, що дорів­нює нулю (jr=0 = 0 ).

2  Заряд кулі Q на нескінченності (r ®оо ) сприймаєть-
ся як точковий заряд
j0 =Q--------- Er cosd , а заряджений

4жє ar

циліндр - як заряджена вісь j0 =   Т   ln r - Er cos а

3  2РЄ На поверхні провідної незарядженої кулі (циліндра) потенціал    безперервний    (поверхня еквіпотенціальна

jr=R = COnSt У-  jl(r=R) = j2(r=R)  аб° Et = E2t ( H1t = H2t ).

4  На границі поділу діелектричних середовищ нор­мальні   складові   вектора     D   безперервні:   Dln = D2n,

dj1      д<р2 r                                            ..                            . ®

e1 —— = e2—LA- (із урахуванням заданої поляризованості P

dr dr

кулі Dln = e0 E2 + P ).

2

5 На границі поділу провідних середовищ нормальні

складові вектора о безперервні- о1п = o2n, Y1—LL = Y:

dr2dr

6 На границі поділу магнітних середовищ нормальні складові      вектора      B       дорівнюють:       Bjn = B2п,

m1       = m2     м (jM ~ магнітний потенціал поля з ураху-

drdr

® ®® ванням заданої намагніченості M кулі Bjn = m0 H2 + m0 M ).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч