Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

E0

де H0 = 0 задана амплітуда поля;

kx, ky , jx, jy - сталі інтегрування, які знаходять із гранич­них умов на стінках прямокутного хвилеводу (див. п. 3.4).

 

5.5 Метод дзеркальних зображень

Для розрахунків електростатичних полів, особливо об­межених якою-небудь провідною поверхнею правильної форми або в яких є геометрично правильної форми грани­ця між двома діелектриками, широко застосовують метод дзеркальних зображень. Це штучний прийом розрахунків, у якому, крім заданих зарядів, уводять ще додаткові заря­ди, величини і місце розміщення яких вибирають так, щоб задовольнити граничні умови у полі. Якщо границя між двома середовищами плоска, то додаткові («фіктивні») за­ряди поміщають територіально там, де перебувають дзер­кальні (у геометричному змісті) відображення заданих за­рядів. Метод дзеркальних зображень застосовують не тіль­ки для розрахунків електростатичних полів, але й для роз­рахунків електричних полів у провідному середовищі та магнітних полів постійного струму. Обґрунтуванням мето­ду і правильності розв'язку є теорема одиничності розв'яз­ку (див. п. 1.1).

Розглянемо два приклади на метод дзеркальних зобра­жень.

Система «провідне середовище-діелектрик». Якщо в діелектричному середовищі із діелектричною проникністю e помістити точковий заряд (заряджену нитку), то вільні електрони провідного середовища будуть рухатися у бік (або в протилежний бік) цього заряду (явище електроста­тичної індукції). У результаті електричне поле в діелектри­ку буде дорівнювати сумі електричного поля, створеного точковим зарядом, і поля, створеного вільними електрона­ми провідного середовища.

Нехай у діелектричне середовище поміщений заряд q

h

h

Рисунок 5.1 -Метод дзеркальних відображень для сис­теми «діелектрик-провідник»

на відстані h від поверхні про­відного середовища. Тоді для визначення електричного поля в діелектричному середовищі з e (у провідному середовищі елек­тричне поле дорівнює нулю) провідне середовище заміняють діелектричним із такою ж про­никністю e і вводять додатко­вий «уявний» заряд q тієї самої величини, але протилежний за знаком, розміщений дзеркально на відстані h від поверхні поді­лу (рис. 5.1). Поле в будь-якійточці діелектрика буде дорівнювати векторній сумі поля фактичного і «уявного» зарядів.

Розглянемо застосування методу дзеркальних зобра­жень для системи «діелектрик-діелектрик». Нехай у діе­лектрику з діелектричною проникністю e1 на відстані h

від поверхні поділу перебуває заряд q1 (рис. 5.2 а). Необ­хідно визначити поле в одному із діелектриків. Для розв'я­зання цієї задачі має важливе значення те, у якому із діеле­ктриків - з e1 або з e2 - необхідно визначити поле. Розглянемо два випадки.

Нехай необхідно визначити поле в діелектрику з e1, де

перебуває заряд q1. Тоді діелектрик із e2 заміняють на діе­лектрик з e1 і в діелектрику з e2 вводять додатковий «уяв­ний» заряд q2, розміщений дзеркально на відстані h від поверхні поділу (див. рис. 5.2 б). Причому

 

 

Тоді поле в будь-якій точці діелектрика, у якому пере­буває заряд, буде дорівнювати векторній сумі поля фактич­ного q1 та «уявного» q2 зарядів.

Нехай необхідно визначити поле в діелектрику з e2, у якому відсутній заряд q . Тоді діелектрик із e1 заміняють на діелектрик з e2, а заряд q1 заміняють на заряд q3, роз­міщений у тому ж місці, де і q1 (див. рис. 5.2 в). Причому

2e2

(e 1 + e 2 )

Тоді поле в будь-якій точці діелектрика з e2 буде ви­значатися полем, створеним зарядом q3 .

hs


s


h


sа


q2 5

б


вРисунок 5.2 - Метод дзеркальних зображень для сис­теми діелектрик-діелектрик: а - вихідне завдання; б - визначення поля в діелектрику з e1;

в - визначення поля в діелектрику з e 2

 

Абсолютно ідентичне застосування методу дзеркаль­них зображень і у випадку поля, створеного зарядженою ниткою. Тільки в цьому разі замість поля заряду q визна­чається поле зарядженої нитки t.

Метод дзеркальних зображень застосовують не тільки для розрахунків електростатичних полів, але й для розра­хунків електричних полів у провідному середовищі та маг­нітних полів.

У випадку електричного поля постійного струму ви-

значається електричне поле, створене не зарядом q , а

струмом I, і замість діелектриків з діелектричними про­никностями ei і e2 розглядаються провідні середовища з

питомими провідностями g1 і 72.

У випадку магнітного поля постійного струму визнача-

ється результуюче магнітне поле, створене додатковими струмами I2 та I3:
( m2 - mi) (^2 + mi) (^2 + ^1 )


Il.5.6 Конформне перетворення (відображення) плос-копаралельних полів

Перетворення двовимірного плоскопаралельного поля, яке задовольняє рівняння Лапласа (d2 j / dx2 + д2 j / dy2 = 0) у комплексній площині z = x + jy, справедливе і для ком­плексної площини w = u + jv, де одержують більш просте поле. Залежність w (z) встановлює зв'язок між точками

площини Z і точками площини W. При цьому будь-яка нескінченно мала фігура на площині Z переходить у по­дібну нескінченно малу фігуру на площині W. Тому кути між пересічними кривими зберігаються. При цьому коефі­цієнт лінійного розтягання (стиску) довільного нескінчен­но малого відрізка дорівнює модулю похідної dw / dz, а кут повороту відображення w (z) в точці z - аргументу цієї

похідної. Таке відображення називають конформним.

Для здійснення конформного відображення необхідно і достатньо, щоб відображувана функція w (z) була аналі­тичною, однозначною, а похідна dw/ dz усередині області ніде не перетворювалася в нуль.

При конформному перетворенні залишаються незмін­ними потенціал електродів, сумарні заряди, зосереджені на електродах, ємності електродів і загальна енергія поля. Конфігурація і лінійні розміри електродів, напруженість поля і густина зарядів на електродах змінюються.

При розв'язанні задач методом конформного перетво­рення основною невідомою функцією є комплексний по­тенціал - це комплексна функція w (z) = u (x, y) + jv (x, y), яка описується сукупністю силових, наприклад, u (x, y) = const,      і      еквіпотенціальних, наприклад,

v (x, y ) = const, ліній плоскопаралельного двовимірногополя. За допомогою функції w(z) здійснюється перетво­рення поля із площини z (x, y) на площину w (u, v) , де ка­ртина поля спрощується. Значення комплексного потенці­алу дозволяє одержати картину поля і всі величини, які ха­рактеризують досліджуване поле: напруженість, енергію, ємність, індуктивність та ін. При цьому для комплексного потенціалу повинні виконуватися такі умови:

-   у кожній точці заданої області комплексний потенці­ал повинен бути однозначною функцією, маючи кінцеву і безперервну похідні, які не повинні перетворюватися в нуль (для цього необхідні і достатні умови du / dx = dv / dy і du / dy = -dv / dx );

-    задовольняти рівняння Лапласа;

-   дійсна і уявна частини - ортогональні, тому залежно від завдання одну із частин комплексного потенціалу, на­приклад уявну частину, можна вважати потенційною фун­кцією, а дійсну зобразити як потік вектора напруженості поля.

Таким чином, визначення плоскопаралельного поля, створеного двома електродами відомої форми, методом конформного перетворення зводиться до відшукання такої функції w (z ) = u (x, y) + jv (x, y) або в полярних коорди­натах w (z) = r eja, за допомогою якої можливо здійснити конформне відображення області Dz на площині Z із шу­каним комплексним потенціалом на області Dw площини

-    W з відомим комплексним потенціалом (або на якій ком­плексний потенціал легко розрахувати). Спільного методу знаходження функції w (z) для будь-якої форми електро­дів немає. Серед найпоширеніших відзначимо такі методи перетворення плоскопаралельних полів із застосуванням комплексного потенціалу [1-3]:метод заданого комплексного потенціалу;

-    метод перетворення областей у канонічні;

-    метод відображення за допомогою інтеграла Крісто-феля - Шварца.

Як приклад проаналізуємо комплексну функцію вигля­ду w = Az = A In (r eja ) і визначимо конформне перетво­рення яких полів здійснюється цією функцією.

Перетворимо задану функцію r eja, виділивши уявну і дійсну частини:

w (z) = A In (r eja ) = A In r + jAa = u + jv.

Візьмемо за рівняння еквіпотенціалей рівняння u = A In r = const (рівняння концентричних кіл), тоді рів­няння силових ліній буде мати вигляд v=Aa =const (рів­няння радіальних прямих), а модуль напруженості елек­тричного поля запишеться у такий спосіб:

 

E

 

dw( z)

= A

 

 

dz

r

Задана функція здійснює перетворення поля одиночно­го провідника круглого перерізу. Стала інтегрування A визначається за граничною умовою.

5.7 Приклади розв'язання задач Теорема Гауса

Приклад 1 Визначити напруженість і потенціал елек­тричного поля провідної рівномірно зарядженої кулі: заряд кулі Q радіус - a.

Розв'язок. Оскільки куля провідна, то усередині кулі поле відсутнє: E = 0 при r < a.

На поверхні кулі рівномірно розподілений сумарний

заряд Q.Для знаходження електричного поля поза кулею r > a скористаємося теоремою Гауса в інтегральній формі (див. п. 2.2), яка для нашого випадку запишеться у такий спосіб:
,0EdS = Q .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч