Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 37

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

(5.23)За поверхню інтегрування виберемо сферу радіусом r>a із центром у місці розміщення центра кулі (рис. 5.3).

Очевидно,     що через

®

центральну симетрію E і

®

dS колінеарні, а напру­женість постійна на всій поверхні інтегрування. Тоді (5.23) набуде такого вигляду:

eaE0dS = Q,

S

звідси із урахуванням площі поверхні сфери ма­ємо

Q

E

4pear

Потенціал кулі визначимо із загального співвідношен­ня (див. п. 2.1) j = -\ Edl, яке для нашої задачі набуде ви-гляду

 

Q drQ

j

4pe J r 4pear Із отриманого виразу випливає, що j =0 при r ®¥, отже, стала інтегрування C =0.

4pear2

Q      j = Q

4рє ar

Відповідь: EПорівнюючи дану відповідь із прикладом 1.3 (див. п. 1.6), доходимо висновку, що поле провідної кулі із заря­дом Q збігається з полем, яке має однаковий із ним точко­вий заряд при розміщенні його в центрі кулі. Ідентичними є також картини полів (див. рис. 1.12 і рис. 5.3).Приклад 2 Визначити напруженості і потенціал елек­тричного поля діелектричної рівномірно зарядженої кулі:

заряд кулі Q, радіус - a.

Розв'язок. Оскільки куля ді­електрична, то електричне поле буде присутнє як усередині (за рахунок поляризаційних ефек­тів), так і з зовні кулі. При цьо­му електричне поле усередині кулі буде залежати від об'ємної густини заряду, тому теорему Гауса необхідно застосовувати для двох вищезазначених обла­стей: r <a і r >a (рис. 5.4).

При r < e a Г| EdS = j р dV,

SV

Q Q

де для нашої задачі р

VKym    4/3p a3


(5.24)Підставивши в (5.24) значення р і перетворивши ліву частину шляхом першого прикладу, будемо мати(5.25)

E 0 dS

S       4/3p a3 V

Присутні в даній рівності інтеграли дорівнюють відпо­відно площі поверхні і об'єму кулі, що дозволяє рівність (5.25) записати в такому вигляді:

p r

e aE 4p r2

4/3pa3 3

Зробивши нескладні перетворення, отримаємо такий вираз для напруженості електричного поля:

Qr       р r

3ea

E

4РЄ a1Потенціал усередині кулі

j E1dr = —— j rdr =
J                3ea J


р r

6eT

 

 

+C


Qr2

8pea1a


 

+ C■ + C2

При r > a задача зводиться до прикладу 1, у результаті чого маємо:

j2

Q    „ = Q

E2 =

4Pea2r

4Pea 2r

Сталі інтегрування C1 та C2 визначаються із гранич­них умов: j2 = 0 при r ®oo; j1 = j2 при r = a. У результаті отримаємо, як і для попередньої задачі, C2=0.Із j = j2 при r = a маємо


Qa2

8pe a1a


+C1


Q

4pea2a


звід-

ки C1


Q ( 1

V Є a 2


2e


 

a1 0


Q      2Є a1 + Є a

8P a       Є a1e a У результаті потенціал усередині кулі буде описувати­ся такою функцією:

j1


Qr2

 

Відповідь:

 

при r < a E1


Q2ea1+ea

j1

 

 

 

Qr

4pea1a3


Q

8p a

 

Q f

2ea1+ea2

Vea1ea2


2

 

 

 

2

 

ea1a0

j2

при r > a E2

4жеа 2r           4жЄа 2r

Графічна картина розподілу полів і потенціалів для ді­електричної кулі зображена на рис. 5.4.Закон повного струму

Приклад 1 Через дріт круглого перерізу радіуса а про­ходить постійний струм I (рис. 5.5). Визначити напруже­ності магнітного поля H усередині і поза проводом. Побу­дувати якісну картину розподілу полів.

_^                                          Розв'язок. Для знаходжен-

(5.26),

ня магнітного поля усередині ( r £ а ) і поза (r > а ) проводом зі струмом скористаємося за­коном повного струму в інтег­ральній формі:

0 Hdl = 21.

де I = І 8 dS

S

За контури інтегрування виберемо два кола з радіусами r £ а і r > а. В обох випадках

®®

вектори H  і  dl колінеарні, тому H  постійне на контурі інтегрування, і його можна ви­нести за знак інтеграла 0Hdl = H0dl = H 2жr . Вираз

її (5.26) набуде такого вигляду:

H

2ж r

21

(5.27)Для області r £ a :I    p r

8

p a2

pa

I1 = \J— dS =-IT f dS
І p a            p a S

SS

Підставимо в (5.27) значення I1 та отримаємо, що

Ir


2p r

I

2p a2

I

Відповідь: H,

при r > a .

Для області r > a : I2 = I і значення H2

 

Ir

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч