Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

1 d \ dj r-

Розв'язок. Потенціал для циліндричного конденсатора можна визначити із рівняння Пуас­сона в циліндричній системі коор­динат:

22

1 d2j d2j

rdr

dr

Є a '

симетрії

+ —r- Zr +

ґ da1 dz1

Внаслідок аксіальної циліндричного конденсатора

0

da2

f d 2j Л

та рівномірності розпо-

ділу заряду по всій довжині конден-сатора


dz2


0


рівняння Пуассоннабуде вигляду1 d\dj r


arrdr


drІз рівняння Пуассона для шару радіусом R2 у резуль­таті подвійного інтегрування маємоj1(r)


ar 16e a


- + C1 ln r + C2.Із рівняння Лапласа для шару радіусом R3, для якого р 0, знаходимо аналогічно:

j2 (r) C3ln r + C4. Визначимо константи інтегрування із граничних умов:aR^ + C1ln R + C2.

1) j1 U при r— R1. Тоді

16e

a1


U

2) j2 0 при r— R3 . 0 C3ln R3 + C4

3) j1— j2 при r— R2 .

16e a1

+ C1ln R2 + C2 C3ln R2 + C4.

 

при     r R2.     Тоді     e а1Еы e a 2 E2„ або

Звідки випливає:aR3 -

V    a1 R2


R
j2(r)


R2

f и л

16ea1ea2U+4aea1R24ln

VR30

16ea

ea1ln

fR, Л

VR20


+ae


a2


(R14 - R24)Приклад 3 (зворотна задача) Чи може потенціал елек­тричного поля j в області простору, де об'ємна густина заряду р =0, виражатися рівнянням у циліндричній системі координат:

j (r, a, z) — 3r2 cos3 a + 5r - cos3 a ?

Розв'язок. Запишемо рівняння Лапласа в циліндричній системі координат:1 _d_

rdr


dr

dj Л    1 d 2j   d 2j

r2da2dz2Перевіримо, чи виконується рівність V2 j 0 Знайдемо кожний доданок:dr

dj 23 1d
r—- 6r cos a + 5r,--

rdr


dr


12cos3 a + .

rdj 3r2 3 cos2 a (- sin a) - 3 cos2 a (- sin a).

2da

-dj2. -9r2 (cos2 a cos a + sin a 2 cos a (- sin a)) +
da2              1                                              v ,}

+3 cos2 a cos a + 6 cos a (- sin2 a).

d2j

dzV j 12cos a + 9cos a + 18cosa sin a + r

3362 1

+2~cos a 2-cosa sin a 31 1 + |cos a +

r2r2Vr2

+6 V3 - -1 j cos a sin2 a + ^ 0. Відповідь: не може.Метод розділення змінних

Приклад 1 Визначити потенціал і напруженість поля

g2 g1

усередині і поза провідним незарядженим (t 0) нескін­ченно довгим циліндром ра­діусом R , який поміщений у однорідне електричне поле E0 , методом розділення змін­них. Циліндр і навколишнє його середовище мають пи­томі провідності /1 і /2. Зов­нішнє поле напруженістю E0

перпендикулярне до осі ци­ліндра z (рис. 5.10).

Розв'язок. Рівняння Лап­ласа в циліндричній системі координат   з урахуванням відсутності складової по осі z (циліндр нескінченно дов­гий):V2j

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч