Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

д

Із урахуванням третього рівняння Максвелла (1.11) дР + div 8 = 0. (1.15)

д

Отриманий вираз називається законом збереження за­ряду, або рівнянням безперервності ліній повного стру­му.

Для одержання закону збереження заряду в інтеграль­ній формі проінтегруємо рівняння (1.15) по об'єму V. У результаті отримуємо

dІ jpdV\ + \div8dV = 0.

Скориставшись теоремою Остроградського-Гаусса (1.7), запишемо інтегральну форму закону збереження заряду:

d (j pdV + \j\S dS = 0. (1.16)

Фізичний зміст цього рівняння: струм провідності

inpoe = [j8 dS обумовлений рухом вільних зарядів p або

S

заряди не можуть переміщуватися із однієї точки в іншу, не створивши між ними електричного струму.

Рівняння Пуассона і Лапласа для скалярного потен­ціалу j є основними диференційними рівняннями елект­ростатики. Вони випливають із третього рівняння Макс-

8                        8     8 8

велла: divD = p . Оскільки D = eaE, а E = -gradj, то

divgradj = -.

ea

Оператор V2 =D = divgrad називають оператором Ла­пласа, або лапласіаном. Тому можна записати таким чи­ном:Dj = - . (1.17)

ea

Дане рівняння називають рівнянням Пуассона. Якщо вільних зарядів p немає, то рівняння Пуассона переходить у рівняння Лапласа:

 

Dj = 0. (1.18) У декартоеій системі координат рівняння Пуассона і Лапласа мають вигляд:

д2 j + д2 j + д2 j = p дх2    ду2    ді2      ea ' д2j   d2j д2j

0.

дх2    дУ ді1 Для циліндричної та сферичної систем координат вони наведені в [3].

При отриманні рівняння Пуассона для векторного

8

потенціалу A запишемо перше рівняння Максвелла для

88

стаціонарного поля: roiH= .

Помноживши обидві частини на \іа і використавши матеріальне рівняння (1.2), отримаємо

8       8 8

maroiH=roiB = ma 8.

Скористаємося виразом магнітної індукції через век-

88

торний потенціал (1.5). Тоді roiroiA = ma 8 .

8              8 8

З урахуванням того що roiroiA = graddivA-V2 A, мо­жна записати

888

graddiv A-V2 A = ma 8 .Оскільки для стаціонарного поля лінії вектора A

замкнені самі на себе, то divA = 0. У результаті отримуємо рівняння Пуассона для векторного потенціалу :

v2 A = -ma ®. (і.і9)

 

1.4 Рівняння енергетичного балансу електромагніт­ного поля (теорема Умова-Пойнтінга)

Крім рівнянь Максвелла і закону збереження заряду, велике значення в теорії електромагнітного поля має тео­рема Умова-Пойнтінга, яка описує енергетичні співвід­ношення розподілу полів у заданому об'ємі. Її не складно отримати із рівнянь Максвелла.

Для виведення теореми Умова-Пойнтінга скористаємо­ся першим і другим рівняннями Максвелла у диференцій-ній формі, записаними з урахуванням матеріальних рів­нянь (1.1), (1.2), (1.6):

,®     ®     dE     Л dH
rotH
= g E + e a   ; rotE = -ua          .

a dt                  a dt

Помножимо перше рівняння Максвелла скалярно на

E, а друге - на H і віднімемо із першого рівняння друге рівняння. У результаті отримаємо

®     ®   ®     ®     ®®     ®д E       ®д H

ErotH-HrotE = gEE+ e E--------- + m H-- .

a    dt     a dt

З урахуванням того, щоErotH-HrotE=div


H х E


divзо-divdt


dtПеремістивши E і H під знаки операторів диферен­ціювання, отримаємо

Ex H

div

і d{eaE2) і d(maH2) =

dt

g E2 +

2 dtg E2 + — dt

eaE2 , maH

2Таким чином теорема Умова-Пойнтінга в диференцій-ній формі запису має такий вигляд:div


ExH


g E2 + dt


(1.20)
У (1.20)


являє собою енергію електричного поля б    maH2

в одиниці обєму, енергію магнітного поля в оди-ниці об'єму dV, gE2 - теплові втрати електромагнітної енергії. Для визначення енергії у повному об'ємі проінтег-руємо вираз (1.20) за об'ємом V. Із урахуванням теореми Остроградського-Гаусса (1.7) теорема Умова-Пойнтінга в інтегральній формі запису набуде виглядуI Ex H dS = J gE2dV +J


dV


(1.21)Векторний добуток


Ex H


П називають векторомПойнтінга; він характеризує значення і напрямок перемі­щення енергії, яка проходить за одиницю часу крізь оди­ницю площі, перпендикулярної вектору П (рис. 1.3).

4 dS
®     ® ®

Рисунок 1.3 - Орієнтація векторів E, H, П до повер­хні S, яка обмежує об'єм V

 

Якщо вектор П спрямований усередину поверхні, то його потік, який проходить крізь поверхню, буде позитив-ним:


-J П dS >0 (при позитивному напрямку dS у бікзовнішньої нормалі до поверхні).

Фізичний зміст теореми Умова-Пойнтінга: енергія електромагнітного поля витрачається на теплові втратиg E2 і на збільшення електричної


d f e E2 ^

v 2 0


і магнітноїd t


v   2 0


енергій у заданому об'ємі.Теорема Умова-Пойнтінга у комплексній формі запису використовується для опису енергетичного балансу гармо­нічних електромагнітних коливань. При її виведенні ско­ристаємося першим і другим рівняннями Максвелла (1.14):        •• ••

8    8         8      8 8

rotH = gE + jwea E; rotE = -jwma H . При знаходженні повної потужності необхідно ком-

8

плекс вектора напруженості електричного поля E помно­жити на сполучений комплекс вектора напруженості маг-

8

нітного поля H і виконати послідовність операцій, викла­дених вище при отриманні рівняння для миттєвих значень. Унаслідок отримаємо

8                   f и H2   e E2 ^
- div П = g E2 + 2 jw ^---- ^— . (1.22)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч