Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 40

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

1А rdr


dr

dj Л    1 d 2j

r2da2Розв'язок будемо шукати у вигляді j M (r) N (a) . Одержимо два звичайні диференційні рівняння, які містятьнезалежний параметр     K, що не залежить від r і a:

r    d ( dM \   K2      1    d2N K2

M (r) dr    dr J         N (a) da

Розв'язки отриманих диференційних рівнянь будуть мати такий вигляд:

¥

M (r )=Z(n2 l)Anr"—2 = 0,

П=—¥

звідси П =±1,

N (a) = A cos (Ka) + B sin (Ka).

Визначимо функцію N (a) за граничними умовами для сталої розділення K. Оскільки потенціал є парною функ­цією відносно a, тобто j (r, a) = j (r, a), то B =0 і

N (Ka) = A cos (Ka).

Якщо вважати, що потенціал на осі y дорівнює нулю j (r, ±p/2) = 0, то N(±p/2) = 0, а, отже, K=1. При K>1 нульова потенційна лінія буде нахилена до осі y, що не відповідає досліджуваному полю (потенціал дорівнює ну­лю по осі z). Таким чином, N (a) = A cos a.

Розв'язок рівняння, що відповідає частковому значен­ню K =1, такий:

j (r, a) = M (r) N (a) = (C1r + C2 / r) cos a.

Тоді потенціал усередині і поза циліндром буде мати такий вигляд:

jt (r, a) = (Cu r + C2i / r) cos a =     E0r cos a,

Ї1 je (r, a) = (Qe r +    / r) cos a = E{)


((1 + Ї2 ) r


J


cosa.Значення сталих інтегрування знаходять із граничних умов (див. п. 5.4):

1) j = je при r = R;2) 5гп = Sen (тобто 71


д r


Jr=R


g2


д r


Jr=RНапруженість поля усередині і поза циліндром
dj ^ д r 1 dj r d-E0 = const

2(2

Ї1 + Г2

Усередині циліндра напруженість поля має те саме значення і напрямок: E

Поза циліндром
((1 Ї2 ) R

.(/1 + /2 )


2 >

+1


cos2a+


(2) R

.(/1 + /2 )


2 >

1Картина поля наведена на рис. 5.10. Відповідь: потенціали провідного циліндра в зовніш­ньому електричному полі дорівнюють2/2


-E0r cos a, je = E(


(


cosa,напруженість поля

2/2

E

g1 + g2


усередині    циліндра постійн
f

(g1 — g2 ) R

X(1 + g2 )


2 Y

+1

 

cos2a+


(g1 — g2 ) R

X(1 + g2 )


22


Приклад 2 Виходячи із загального розв'язку задачі для кулі в зовнішньому однорідному полі (див. п. 5.4), визна­чити потенціал і напруженість поля провідної кулі радіу­сом R із зарядом Q, розміщеної в діелектричному середо­вищі із проникністю e . Зовнішнє поле напруженістю E0 спрямоване вздовж осі z (рис. 5.11).

 

а б Рисунок 5.11 - Провідна куля в однорідному електрич­ному полі діелектричного середовища:

а) куля у сферичній системі координат;

б) картина поля

 

Розв'язок. Оскільки куля провідна, то поле усередині кулі відсутнє (j = 0), розв'язок для потенціалу кулі, роз­міщеної в зовнішньому однорідному полі, має такий ви­гляд:

j = <Cf + С + (C^er +     ) cos в. (5.28)

У (5.28) присутні чотири невідомі сталі C1e, C2e, C3e і

C4e, для визначення яких необхідно врахувати не тільки

умову на поверхні кулі, але й умови на нескінченно вели­кій відстані від кулі, тобто на нескінченності.Сукупність досить віддалених від кулі точок в умов­ному смислі розглядається при цьому як нескінченність. Якщо куля не заряджена, то всі точки площини X0Y, яка проходить через центр кулі, мають той самий потенціал (позначимо через j0).

При віддаленні від кулі на великі відстані z = r cos в , порівняно з якими радіус кулі R досить малий, змушува-льна дія кулі на поле проявляється як збурення від точко­вого заряду Q. Потенціал на нескінченності визначається так:

j =   Q   + j0 + E0r cos в . (5.29) 4жє ar

Перший доданок правої частини (5.29) дає складову потенціалу від заряду кулі Q, доданок E0r cos в ураховує

приріст потенціалу від напруженості рівномірного поля E0

на шляху z = rcose . Оскільки розв'язок (5.28) підходить і для точок поля, досить далеко віддалених від кулі, то мож­на порівняти вирази (5.28) і (5.29). Вони повинні давати той самий результат. Це буде тільки в тому випадку, коли відповідні доданки в обох виразах рівні. Із порівняння ви­пливає, що С2 = j0, C =  Q  , C3 = E0.

Порівняння на нескінченності не дає можливості знай­ти величину C4, тому що в (5.29) немає складових, які змі­нюються обернено пропорційно другому ступеню r. Для знаходження C4 скористаємося тим, що в умовах електро­статики всі точки поверхні кулі мають той самий потенці­ал. Ця умова рівносильна тому, що тангенціальна складова напруженості поля на поверхні кулі дорівнює нулю. При

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч