Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

v   22 0 Для визначення енергії у повному об'ємі проінтегруємо (1.22) по об'єму V і застосуємо до лівої частини теорему Остроградського-Гаусса (1.7):

-JП dS = JgE2dV + j2w\fuUaaH dV . (1.23) SVVv220

Перший доданок правої частини являє собою активну потужність, другий - реактивну потужність. Таким чином, теорема Умова-Пойнтінга в комплексній формі може бути записана і сформульована у такий спосіб:

- J П dS = P + jQ,

S

 

8

потік комплексного вектора Пойнтінга П крізь замкнену поверхню дорівнює комплексній потужності, що виділя­ється усередині об'єму, обмеженого цією поверхнею.1.5 Закони зміни векторів електромагнітного поля на границі поділу двох середовищ (граничні умови)


Для областей, що містять границю поділу двох або більше середовищ, безпосередній розв'язок диференційних рівнянь Максвелла неможливий. Як правило, розв'язують рівняння для кожного середовища окремо, а отримані роз­в'язки «зшивають» на границі поділу. Для цього викорис­товують так звані граничні умови - співвідношення між значеннями векторів поля по обидва боки від границі поді­лу середовищ. Оскільки рівняння Максвелла є векторними, а розв'язки їх, як правило, перебувають у проекціях на осі координат, то граничні умови зручно подати у вигляді нормальної (проекція на вісь у ) і тангенціальної (проекція на вісь x ) складових (рис. 1.4).

складових

 

Методика виведення граничних умов базується на ви­користанні рівнянь Максвелла (1.9) - (1.12).

Граничні умови для нормальних складових поля. Не­хай досить гладкий елемент поверхні DS розділяє два се­редовища 1 і 2 з різними діелектричними проникностями e1 і e2; у кожному середовищі параметри e1 і e2 постійні(рис. 1.5). Позначимо вектор електричної індукції (елек­тричного зміщення) у сере­довищі 1 вектором D1, у середовищі 2 - вектором

D2. Побудуємо на плоскій границі поділу елемент ци­ліндра з висотою Dh ®0 і основою циліндра DS1 =DS2 = DS . Вектори

dS1 і dS2 будуть спрямо­вані перпендикулярно до основ  і   поверхні поділуподілений заряд з поверхневою щільністю s =

значимо кут між векторами D1 і dS1 через a

(dS = ndS , де n - нормаль до поверхні поділу), на якій у загальному випадку роз-dq

По-

dS

між векто­рами D2 і dS2 - через a2 .

Скористаємося третім рівнянням Максвелла у інтегра­льній формі (1.11): [j]DdS = jрdV = [JsdS .

S VS

Сумарний інтеграл по поверхні циліндра в лівій части­ні буде містити два інтеграли по основах і один - по бічній поверхні, який можна виключити з урахуванням того, що при Dh ®0 площа бічної поверхні DS6i4H ® 0 . Тоді для ви­діленого циліндрJDdS = j Д dS1 + j D2 dS2 = j sdS .

S             DS1           DS2 DS

Оскільки DS1 = DS2 =DS, а |dSj = |dS2| = |dS|, то з ура­хуванням рівності підінтегральних скалярних добутків при переході до запису в проекціях на осі координат отримає­мо D1 cosa1 + D2 cos(180°-a2) = s.

Для остаточного запису граничних умов розкладемо,

наприклад, вектор D1 на нормальну і тангенціальну скла­дові (рис. 1.6).

Із   рис. 1.6   видно, щоcosa1 =

D

D1Cos a1 = Dm ,

-D2

Аналогічне розкладання можна провести і для вектора

D2 . Тоді

D2C0S (180°- a2)- ^2n

Рисунок 1.6

Прик-

D

лад розкладу вектора на складові

Ураховуючи те що сере­довища 1 і 2 ізотропні, а заряд s розподілений по поверхні поділу рівномірно, отримуємо остаточний вираз для нор­мальних складових вектора електричної індукції на границі поділу середовищ:

Dm - D2n = s . (1.24) Фізичний зміст: нормальна складова вектора елек­тричної індукції Dn при переході через границю поділу двох середовищ зазнає стрибка, який чисельно дорівнює поверхневій густині електричного заряду s .Граничну умову для нормальної складової магнітного поля можна одержати із четвертого рівняння Максвелла

(1.12): \j\BdS = 0.

S

У цьому випадку виведення граничних умов аналогіч­не вищенаведеному виведенню для електричного поля (студенти роблять виведення самостійно).

У результаті отримуємо

 

або

Вт = B2n. (1.25) Фізичний зміст: нормальна складова вектора магнітної індукції Bn при переході через границю поділу двох сере­довищ не змінюється.

Граничні умови для тангенціальних складових поля виводяться з першого і другого рівнянь Максвелла (1.9),

(1.10).

Нехай досить гладка поверхня S розділяє два середо­вища 1 і 2 з різними магнітними (діелектричними) проник­ностями m і m2 (є1 і e2); параметри середовищ постійні

(рис. 1.7). Позначимо вектором H1 напруженість магніт­ного поля у середовищі 1, H 2 - у середовищі 2. Охопимо границю невеликим контуром довжиною Al і висотою Ah, який складається із елементарних відрізків Al1, Al2 і Al3,

обумовлених за напрямами одиничними векторами dl1 ,

dl2 і dl3. Припустимо, що |Al3| = Ah ®0, а вздовж поверхні

S у нескінченно тонкому шарі, поміщеному на границі поділу,   проходить   поверхневий   струм   із густиноюіпов = dl / dl. Позначимо кут падіння вектора H1 на грани-

8


цю через a1 , а кут заломлення вектора H2 - через a2.

8 8

Рисунок 1.7 - Переломлення векторів H і E на грани­ці поділу середовищ

 

Запишемо перше рівняння Максвелла (1.9) в інтегра­льній формі

j Hdi=j 8 ds+j .

l                           d AS

Очевидно, що з умов Al 80 і S6i4H 80 випливає заміна j 8 dS на  inoe dl, тому що d за розміром кінцева величи-

S Al

на і слід ураховувати лише поверхневий струм іпов. Внес­ком бічних сторін (Al 80) на контурний інтеграл тут зне­хтуємо. Другий інтеграл у правій частині рівняння Макс­велла також прямує до нуля, оскільки AS = Al xAh 80. То­ді вихідне рівняння буде мати такий вигляд:Al1


Al2


AlІз   урахуванням   того   що   при    Dl1 = Dl2 =Dl і

8   8 8

dl1 = dl2 = dl підінтегральні вирази рівні, при записі скаля­рних добутків векторів у проекціях на осі координат має­мо:

tfjCOS a - Н 2 cos a2 = іпов.

8

Розкладемо вектор Н1 на нормальну і тангенціальну

складові (рис. 1.8). Тоді cos a1 = Н1т / Н1, аналогічно

cos a2 = Н2т / Н2. У резуль-H1n таті маємо:

Н cos a, = Н,,,

H

1т                                   Н2 х cos a2 = Н2т.

кладу складові

Остаточно отримуємо
_,              граничну умову для танген-

розкладу вектора  Н   на    ціальної складової магніт-

ного поля:

 

- Н2Т = іпов. (1.26)

 

Фізичний зміст: тангенціальна складова вектора на­пруженості магнітного поля НТ при переході через грани­цю поділу двох середовищ зазнає стрибка, який чисельно дорівнює поверхневому струму іпов .

Граничну умову для тангенціальної складової елек­тричного поля можна отримати із другого рівняння Макс­велла (1.10).

Виведення граничних умов для електричного поля аналогічне вищевикладеному виведенню для магнітного поля (студенти виведення роблять самостійно).

У результаті отримуємоК - Е= 0

або

= E2T . (1.27) Фізичний зміст: тангенціальна складова вектора на­пруженості електричного поля Er при переході через гра­ницю поділу двох середовищ не змінюється.

Таким чином, загальна система граничних умов для електромагнітних полів має такий вигляд:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч