Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 

 

Електричні Магнітні компоненти поля       компоненти поля

 

1n2n           '               1n2n '

E= E,                           Н-Н=і. (1.28)

1,2, 1,2,пов

Індекс 1 відповідає верхній півплощині середовища, індекс 2 - нижній півплощини.

1.6 Приклади використання основних рівнянь і за­конів при описі електромагнітних полів

Для більш глибокого розуміння фізичної сутності на­ведених вище рівнянь і законів розглянемо найпростіші приклади їх використання при описі електромагнітних процесів.

 

Приклад 1.1 (перше рівняння Максвелла)

Розглянемо прямий провідник, вздовж якого проходить постійний струм I (рис. 1.9). Навколо провідника виникає магнітне поле Н, яке може бути визначене із першого рів­няння Максвелла в інтегральній формі (1.9):

8

8888 dD

[J Hdl = [J 8 dS, (=0).

is dtВиберемо поверхню S, обмежену контуром l у вигля­ді кола радіусом r із центром, що збі­гається з віссю провідника і розміще­не у площині, перпендикулярній до осі провідника. Використовуючи осьову   симетрію   задачі, замінимо

скалярний добуток векторів H dl до­бутком їх довжин і винесемо H за знак інтеграла як величину сталу вздовж контуру інтегрування. Тоді

Idl = 2pr, а інтеграл у правій части-ні дорівнює повному струму I перетинає поверхню S . Отже, Т_ '


який

 

(1.29)Дане співвідношення є виразом закону Ампера для знаходження магнітного поля провідника, через який про­ходить постійний струм.

d г ®®

Проаналізуємо значення другого доданка ГҐDdS в

dt s

правій частині першого рівняння Максвелла (1.9).

Розглянемо дві пластини конденсатора (рис. 1.10), у колі якого проходить струм і. Виберемо контур інтегру­вання l у вигляді кола, яке охоплює провідник. Якщо по­верхня S1 , обмежена цим контуром, перетинає провідник

до першої пластини конденсатора, то згідно з рівнянням Максвелла (1.9) струм провідності створює магнітне поле, обумовлене таким співвідношенням:

8   8 .88

Hdl = І 5 dS 1 = іпр.і

S,

тт

Щ Hdl = — j DdS2

зм

1

Виберемо іншу поверх­ню S2, обмежену таким са­мим контуром, але розмі­щену між пластинами кон­денсатора, де струм провід­ності переривається. Тоді d_ dt

S

Рисунок 1.10 - Схема проходження струму по колу конденсатора

Однак результат виник­нення магнітного поля не повинен залежати від вибо­ру поверхні інтегрування, тому праві частини останніх виразів повинні бути рівні. Отже, струм провідності у колі конденсатора замикається струмом зміщення між його пластинами:

d Й D dS.

dt

Густина струму зміщення8 з


д DСтрум зміщення виникає у будь-якому діелектрику при зміні електричного поля в часі. Хоча природа струму про­відності і струму зміщення різна, обоє вони утворюють ма­гнітне поле.

 

Приклад 1.2 (друге рівняння Максвелла)

—>

У просторі, де є магнітне поле B, розглянемо одиноч­ний дротовий контур l (рис. 1.11). Згідно із другим рів­нянням    Максвелла    в    інтегральній    формі (1.10)- ->->      d г ®®
ГҐ Edl =---- ГҐ BdS  у просторі

і                dt S

вектора

виникає електричне поле. Інтег­рал у правій частині являє со-

магнітної індукції B через по­верхню S, обмежену контуром l . Інтеграл у лівій частині являє собою електрорушійну силу, що виникає у контурі:


[J] BdSEdi

 

Рівняння

= _d0 dt

виражає закон електромагнітної індукції, отриманий Фа­радеєм.

 

Приклад 1.3 (третєрівняння Максвелла)

Розглянемо точковий заряд q, навколо якого існує електричне поле. Відповідно до третього рівняння Макс­велла      в      інтегральній      формі      (1.11) маємо

єє0ҐEdS = JрdV = q .

SV

Якщо за поверхню інтегрування вибрати сферу (рис. 1.12) із центром у місці розміщення заряду, очевидно,

що через центральну симетрію вектори E і dS колінеарні, а напруженість постійна по всій поверхні інтегрування. Тоді інтеграл у лівій частині дорівнює добутку E на пло-щу поверхні сфери 4p r2 нює заряду q.

S


E

а інтеграл у правій частині дорів-

q


E

 

Напруженість поля точкового заряду визначається виразом

4жєє 0 r

Якщо в електричне поле за­ряду q внести пробний заряд q*,

то сила, що діє на нього, буде до­рівнюватиF = qE


4к£Е 0 r
Даний вираз являє собою за­пис закону Кулона про взаємодію між зарядами (див. п.2.2).

 

Приклад 1.4 (четверте рів­няння Максвелла)

 

Четверте рівняння Максвелла (1.12) показує, що потік вектора магнітної індукції крізь замкнену поверхню S дорівнює нулю, тобто вхідний потік дорівнює вихідному (рис. 1.13). Це означає, що магнітні силові лінії завжди замкнені і не мають ні початку, ні кінця. Силові лінії електричного поля почина­ються або закінчуються на зарядах.Приклад 1.5 (рівняння безперервності)Якщо у однорідному середовищі, яке характеризується питомою електропровідністю g, будь-яким чином створи­ти об'ємний заряд р , то очевидно, що за рахунок струмів провідності цей заряд буде "розпливатися" доти, доки не розподілиться рівномірно по всьому об'єму, тобто до зник-

нення створеного ним електричного поля. Це явище нази-

вається релаксацією, тобто поверненням до стану рівнова­ги. Проведемо кількісний аналіз процесу релаксації об'єм­ного заряду р  за допомогою рівняння безперервності

(1.15), для чого замість густини струму 5 підставимо його значення з (1.6), а замість divE - величину -£— з (1.11)

ee

(постійні величини g і ee0 можна винести за знак опера­тора дивергенції). У результаті отримаємо диференційне dp    gp Л

рівняння------ 1-- = 0, розв язком якого є експонентна

dt ee0

функція р (t) = р (0) etІт" (рис. 1.14).


рee0

Величина tM =—- характеризує швидкість спадання

об'ємного заряду і називається максвеловим часом релак-

сації. Треба мати на увазі, що за час tM об'ємний заряд зменшується в e = 2,7 раза. Приблизно вважається, що об'ємний заряд повністю зникає за час, що дорівнює (3-5) tM. У металах, які мають високу провідність, цей час

дуже  малий  (порядку   10-17 -10-18 с).   У діелектриках

залежно від їхньої якості він дорівнює 10-2 -10-6 с.

Описане явище спостерігається, наприклад, при такій простій ситуації, як розрядження конденсатора за рахунок струмів витоку, які проходять через ізолюючий діелектрик. Час розрядження визначається параметрами діелектрика: діелектричною проникністю e і питомою електропровід­ністю середовища g .

Іншим найпростішим прикладом використання рівнян­ня  безперервності   є  аналіз  вузла  електричного кол
(рис. 1.15), у якому сходяться кілька провідників з постійними струмами i1, i2, i3,     in. Оточимо

даний вузол деякою замкненою поверхнею S і скористаємося рів­нянням безперервності у формі (1.16). Оскільки при постійних струмах заряд усередині поверхні не накопичується і не зникає, тоРисунок 1.15 - перший доданок дорівнює нулю. Вузол   електричного    Другий доданок дорівнює повно-кола


му струму, який проходить крізь поверхню S , томуk=1Це співвідношення являє собою перший закон Кірхго-фа, який є одним із основних у теорії електронних кіл (див. п.2.3).Приклад 1.6 (рівняння енергетичного балансу)

Розглянемо найпростіший приклад застосування тео­реми Умова-Пойнтінга.

Нехай вздовж коаксіального кабелю (рис. 1.16) прохо­дить постійний струм I. Напруга між жилою і оболонкою U.

Провідність матеріалу жили і оболонки g. Потужність сиг­налу, переданого по кабелю: P = IU. Підрахуємо потік век­тора Пойнтінга через попере­чний переріз діелектрика, який заповнює простір між жилою і оболонкою.

Напруженість магнітного поля у діелектрику можна ви­значити за законом Ампера (1.29):
I
2ж r

Нормальна складова вектора напруженості електрич­ного поля En у діелектрику для коаксіального контура ви­значається таким співвідношенням [3]:r In

 

де R1 - радіус жили; R2 - внутрішній радіус оболонки.Тоді тангенціальна складова вектора Пойнтінга для то­чок діелектрика на відстані r від осі ( R1 £ r £ R2) визнача­ється виразом

П,   EnH =

2p r 2ln R

Потік вектора Пойнтінга через кільце діелектрика з ра­діусами Rj і R2 дорівнює

\j\ПdS = jnT2prdr = 2p-------- U^ j(r l)dr = UI.

S             Rj                         2p ln I R2|Rj

.                                             > R 0

Оскільки вся подана до коаксіального кабелю потуж­ність P = IU проходить тільки через діелектрик, то можна зробити такий висновок: електромагнітна енергія від міс­ця її генерування до місця споживання передається по діе­лектрику; дроти виконують роль каналів, по яких прохо­дить струм, і організаторами структури поля у діелект­рику. По жилі і оболонці енергія до приймача не переда­ється. Дроти самі споживають із діелектрика енергію на покриття теплових втрат.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56 


Похожие статьи

Г С Воробйова - Теорія електромагнітного поля та основи техніки нвч