А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

F4 = F2-N/2(1 + cos a). Застосувавши закон Кулона й маючи на увазі, що Q2 = Q3 = Q1, знай-

демо:

.Ш. = -2^2(1 + cos a), 47іє0 r1    4лє0 r

звідки

22

Q4 = 0^^2(1 + cos a). (2) r

З геометричних побудов у рівносторонньому трикутнику випливає,

що:

r /2            r r
r
=------------------ =----------------- = —;=;       cos a = cos 60° = 1/2.

1   cos(a /2)   2 cos 30° V3 З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду:Q4 = a/V3.

Зробимо обчислення:

Q4 = 10-9/V3 Кл = 5,77 -10-10Кл=577 пКл. Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 3. Два точкових електричних заряди Q1 = 1 нКл і Q2 =-2 нКл знаходяться в повітрі на відстані d = 10 см один від одного. Визначити напруженість E та потенціал ф поля, яке створене цими заря­дами в точці A, віддаленої від заряду Q1 на відстань r1 = 9 см та від заря­ду Q2 на r2 = 7 см.

Розв'язок. Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, ко­жен заряд створює поле н езалежно від присутності у просторі інших заря­дів. Тому напруженість E електричного поля в точці, яку шукаємо може бути знайдена як геометрична сума напруженостей E1 та E2 полів, які створені кожним зарядом окремо: E = E1 + E2. Напруженості електрично­го поля, яке створюється в повітрі ( є = 1) зарядами Q1 та Q2:

Qi 47іє0 r1

 

E =        Q2         (2)

2 4^є0Г22


Вектор E1 (рис. 8) спрямований по силовій лінії від заряду Q1, тому що цей заряд позитивний; вектор E2 направлено також по силовій лінії, але до заряду Q2 , тому що цей заряд негативний.Модуль вектора E знайдемо за теоремою косинусів:

 

E = a/e2 + E2 + 2E1E2 cos a, (3)

 

де a - кут між векторами E1 и E2, який може бути знайдений з три­кутника зі сторонами r1, г2та d:

 

222 d - r - r2

cos a = -

2r1r2

У даному випадку, щоб уникнути громіздких записів зручно значен­ня cosa обчислити окремо:

 

cos a = (0,1)2 -(0,09)2 -(0,07)2 = - 0,238. 2 • 0,09 • 0,07

Підставляючи вираз E1 з (1) і E2 з (2) в (3) та виносячи загальний множник 1/ (47іє0) за знак кореня, отримає

 

E = 1

47іє0Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів потенціал ф результуючого поля, яке створене двома зарядами Q1 та Q2, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів:

 

ф = ф1 +ф2. (5)

Потенціал електричного поля, яке створене у вакуумі точковим за­рядом Q на відстані r від нього, виражається формулою:

 

Ф = т°- (6) 47іє0 r

 

У нашому випадку відповідно до формул (5) і (6) отримаємо:

 

 

4лє0 r1   47іє0
1

471Є0


0_ + QЕ =


4V(


1

4л-9-109
Приклад 4. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q = 40 нКл з лінійною щільністю т = 50 нКл/м. Визначити напруженість

E електричного поля, яке створене цим зарядом у точці А, що лежить на осі кільця й віддалена від його центру на відстань, рівну половині радіуса.


Розв'язок. Поєднаємо координатну площину xOy з площиною кіль­ця, а вісь Oz - з віссю кільця (рис. 9).

На кільці виділимо малу ділянку довжиною dl. Так як заряд dQ = Tdl, що знаходиться на цій ділянці можна вважати точковим, то на­пруженість dE електричного поля, яке створене цим зарядом, може бути записана у вигляді:dE


Tdl r 4лє0r2 rде r - радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки А.

Розкладемо вектор dE на дві складові: dE1, перпендикулярно пло­щині кільця (співнапрямлену з віссю Oz), і dE2, паралельну площині кі­льця (площині xOy), тобто:

 

dE = dE1 + dE2.

 

Напруженість E електричного поля в точці А знайдемо інтегруван-

ням:

E = J E + J E2

L L

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. За­уважимо, що для кожної пари зарядів dQ, та dQ (dQ = dQ), розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори dE2 та dE 2 в точці А рівні по модулю й протилежні за напрямком: dE2 = - dE2. Тому векторна сума (ін­теграл) J dE2 = 0. Оскільки складові dE1 для всіх елементів кільця співна-

L

прямлені з віссю Oz (одиничним вектором k), тобто dE1 = kdE1, тоді

E = k J dE1.

 

 

Так якdE1 = dE cos a;


2

dE =------------- ;

4лє0 r

dEi =-------------- 2t= dl = p=-------

4лє0 5R45      ^5лє0RТаким чином:2%R


 

5л/5тіє0 R1      5л/5є0 R'Зі співвідношення Q = 2%Rt визначимо радіус кільця:

 

R = Q /(2тгс),

 

тоді:

 

2

-   г 2т2лт    г 4лт

5V5s0Q 5V5s0Q

Е = k------ F=----- = k

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка