А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

 

Модуль напруженості:47ГС2Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю напруженості (В/м):1 Кл

(1 Кл/м)2

[є0 ][Q]   1 Ф/м 1 Кл   1 Ф 1 м


= 1 В/м.Виразимо фізичні величини, що входять до формули (1), в одиницях СІ (т = 540"8Кл/м, Q = 440"8Кл, є0 = 8,8540"12Ф/м) і зробимо обчис­лення:

 

Е =    .1   '    К        }----------- г В/м = 7,92 кВ/м.

5V5 • 8,8540"12 • 4•Ю"8

 

Приклад 5. Дві концентричні провідні сфери радіусами R1 = 6 см і R2 = 10 см несуть відповідно заряди Q1 = 1 нКл і Q2 = - 0,5 нКл. Знайти напруженість Е поля в точках, віддалених від центру сфер на відстанях r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см. Побудувати графік Е (r).

Розв'язок. Зауважимо, що точки, в яких потрібно знайти напруже­ності електричного поля, лежать у трьох областях (рис. 10): області I (r1 < R1), області II (R1 < r2 < R2), області III (r3 > R2).1. Для визначення напруженості Е1 в області I проведемо гауссову поверхню S1 радіусом r1 і скористаємося теоремою Остроградського -Гауса:

 

ф Е = cf EndS = 0,

 

 

(оскільки сумарний заряд, що знаходиться всередині гауссової поверхні, дорівнює нулю). З міркувань симетрії Еп = Е1 = const.

Відтак, ф Е = 0 та Е1 (напруженість поля в області I) в усіх точках,


які відповідають умові r1 < R1, буде дорівнювати нулю.

2. В області II гауссову поверхню проведемо радіусом r2. В цьому випадку (діелектричну проникність є середовища будемо вважати рівною одиниці (вакуум)):

 

ф Е = Q1/

(оскільки всередині гауссової поверхні знаходиться тільки заряд Q1). Так як En = Е = const, то Е можна винести за знак інтеграла:

ф Е = Q1/ s0     або      ES2 = Q1/ Позначивши напруженість Е для області II через Е2 , отримаємо:

Е2 = Q1/(e0 S2), де S2 = 4лг22 - площа гауссової поверхні, тоді:Е2 = ~гЧ (D

471Є о r2

 

3. В області III гауссова поверхня проводиться радіусом r3. Позна­чимо напруженість E області III через E3 та врахуємо, що в цьому ви­падку гауссову поверхню охоплює обидві сфери і, отже, сумарний заряд буде дорівнювати Q1 + Q2, тоді:

 

E   Q + Qi

E3 =------------ 2 .

4о r3

 

Помітивши, що Q2 < 0, цей вираз можна переписати у вигляді:

 

E =Q1   Ql (2) 3 4W32

Переконаємося в тому, що права частина рівності (1) і (2) дає одини­цю напруженості:

 

Q                   1 Кл                    1 Кл  = і в/м.

S0

r2\   1 Ф/м-1 м2   1 Ф-1 м

 

Виразимо    всі    величини    в    одиницях    СІ    (Q1 = 10 9Кл;

Q2 =- 0,5-10-9Кл; r1 = 0,09 м; r2 = 0,15 м; 1/(4тсє0) = 9-109м/Ф) та зро­бимо обчислення:

 

 

E2 = 9-109------------ 2 В/м = 1,11 кВ/м;

2                   (0,09)2

= 9. 109 (1 - 0,5)10-9 В/м = 200 В/м.

3                        (0,15)2

Побудуємо графік E(r). В області I (r1 > E = 0. В області II (і<1 < r < R2) E2(r) змінюється за законом 1/ r . У точці r = R1 напруже­ність E2(R1) = Q1 / (47іє0R-2) = 2,5 кВ/м. У точці r = R2 ( r прагне до R2 зліва) E2(R2) = Q1/(4^s0R22) = 0,9 кВ/м. В області III (r > R2) E3(r) змі­нюється за законом 1 / r2 , причому в точці r = R2 ( r прагне до R2 право­руч) E3(R2) = (Q1 - Q2 )/ (47іє0R^) = 0,45 кВ/м. Таким чином, функція E (r) у точках r = R1 та r = R2 зазнає розрив.Графік залежності Er представлений на рис.
Приклад 6. Точковий заряд Q = 25 нКл перебуває в полі, яке створене прямим нескінченним циліндром радіусом R = 1 см, рівномірно зарядженим з поверхневою щільністю а = 0,2 нКл/см . Визначити силу F, яка діє на заряд, якщо його відстань від осі циліндра r = 10 см.

Розв'язок. Значення сили F, яка діє на точковий заряд Q, що знахо­диться в полі, визначається за формулою:F = QE,де E - напруженість поля.

Як відомо, напруженість поля нескінченно довгого рівномірно заря­дженого циліндра:E =


т

27іє0 rде т - лінійна щільність заряду.

Виразимо лінійну щільність т через поверхневу щільність а. Для цього виділимо елемент циліндра довжиною l і виразимо заряд, що зна­ходиться на ньому Q, двома способами: Q = aS = a2%Rl; Q = тІ Прирів­нявши праві частини цих формул і скоротивши отриману рівність на l, знайдемо т = 27iRg . З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду: E = Ra / (є0r). Підставивши вираз E в (1), отримаєF =


QaRЗробимо обчислення:


Є0 rF =


2,5-10-8 -2-10-6-1 8,85-10-12-10

 

Н = 5,65-10-4Н = 565 мкН.Сила F співнапрямлена з напруженістю E, яка в силу симетрії (ци­ліндр нескінченно довгий) перпендикулярна поверхні циліндра.

Приклад 7. По тонкій нитці, яка зігнута по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною щільністю т = 10 нКл/м. Визначити напру­женість E та потенціал ф електричного поля, яке створене таким розподі­леним зарядом у точці, яка співпадає з центром кривизни дуги. Довжина l нитки становить 1/3 довжини кола й дорівнює 15 см.

Розв'язок. Виберемо осі координат так, щоб початок координат спів­падав з центром кривизни дуги, а вісь Oy була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 12). На нитці виділимо елемент довжини dl. За­ряд dQ = Tdl, що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точко­вим.
Визначимо напруженість електричного поля в точці O. Для цього знайдемо спочатку напруженість dE поля, створюваного зарядом dQ :dE


Tdl r

47іє0r2 rде r - радіус-вектор, спрямований від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор dE через проекції dEx і dEy на осі координат:dE = idEx + jdEy,

 

де i і j - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість E знайдемо інтегруванням:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка