А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 18

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

 

E = J dE = Г J dEx + j J dEy.

l               l l

 

Інтегрування ведеться вздовж дуги довжиною l. У силу симетрії

J dEx = 0, тоді:

l

E = jJdEy, (1)

l

де    dEy = dE cos J = Tdl cos J / (4лє0r ).    Так   як    r = R = const; dl = Rd 3, то:

 

dE = TRd& cos з = T cos 3d3. y   47is0R2 47is0R

Підставимо вираз dEy в (1 ) і, прийнявши до уваги симетричне роз­ташування дуги щодо осі Oy, межі інтегрування візьмемо від 0 до % / 3, а результат подвоїE = j      f cos 3d3 = j    T    V3/2. (2)

%/3

---------  I   cos 3d 3 = j-----

4%є0R 0                               2%є0R

Виразимо радіус R через довжину l нитки (3l = 2%R), отримаєE = j—V3. 6s0l

 

З цієї формули видно, що напруженість поля у напрямку збігається з віссю Oy.

Знайдемо потенціал електричного поля в точці О. Спочатку знайде­мо потенціал dф, який створений точковим зарядом dQ у точці O:

 

d ф = Tdl /(4%є0 r).

 

Замінимо r на R і проведемо інтегрування:тіФ =


--------  I UI — -------- .

47іє0R 0      47іє0RТак як і = 2%R / 3, то:

 

Ф = т/(6s о).Зробимо обчислення за формулами (2) та (3):

10"8-1,73

 

 

В/м = 2,18 кВ/м;

6-8,85-10-12 -0,15

E =

Ф =


10

6-8,85-10


-12


В = 188 В.Приклад 8. На тонкому стрижні довжиною і рівномірно розподілений заряд з лінійною щільністю т = 10 нКл/м. Знайти потенціал Ф, створений розподіленим зарядом у точці A, яка розташована на осі

стрижня та віддаленої від його найближчого кінця на відстань і.

Розв'язок. У задачі розглядається поле, яке створене розподіленим зарядом. У цьому випадку діють наступним чином. На стрижні виділяють малу ділянку довжиною dx. Тоді на цій ділянці буде зосереджений заряд dQ = TdX, який можна вважати точковим. Потенціал d ф, який створений цим точковим зарядом у точці A (рис. 13), можна визначити за форму­лою:dQ


TdX
Згідно з принципом суперпозиції електричних полів, потенціал елек­тричного поля, яке створене зарядженим стрижнем у точці A , знайдемо інтегрування цього виразу:

ф =

 

 

Зробимо інтегрування:

 

 

 

Ф =

І

______________ І

1 4лє0 x   4лє0 1 x

т

ln x

 

 

 

2l

4лє 0

т

4лє0lПідставимо числові значення фізичних величин (т = 10 -10~9Кл/м; 1/ (47іє0) = 9 -109м/Ф) і зробимо обчислення:

 

Ф = 9-109 -10-10"9 • 0,693 В = 62,4 В.


в СІПриклад 9. На пластинах плоського конденсатора знаходиться за­ряд Q = 10 нКл. Площина S кожної пластини конденсатора дорівнює

100 см2, діелектрик - повітря. Визначити силу F, з якою притягуються пластини. Поле між пластинами вважати однорідним.

Розв'язок. Заряд Q однієї пластини перебуває в полі напруженості

(1)



E, яке створене зарядом іншої пластини конденсатора. Відтак, на перший заряд діє сила (рис. 14):

E = а /(2Є0) = Q /(2Є0 S),

 

де а - поверхнева щільність заряду пластини, то формула (1) набу­де вигляду:

 

F = Q 2/(2є0 S).

10-іб

F =----------------- п------ 2 Н = 5,65-10-4Н = 565 мкН.

2 8,85-10-12-10-2

 

Приклад 10. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом R = 1 cм, рівномірно зарядженим з лінійною щільністю т = 20 нКл/м. Визначити різницю потенціалів двох точок цього поля, що знаходяться на відстані a1 = 0,5 см та а2 = 2 см від поверхні циліндра, в середній його частині.

Розв'язок. Для визначення різниці потенціалів скористаємося спів­відношенням між напруженістю поля й зміною потенціалу: E = - grad ф. Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, це співвідношення можна записати у вигляді:

 

E = -d ф / dr;     або     d ф = - Edr.

 

Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів двох точок, віддалених на відстанях r1 та r2 від осі циліндра:

 

r2

ф2-ф1 = -JEdr. (1)

1

Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої части­ни, то для вираження напруженості поля можна скористатися формулою напруженості поля, яке створене нескінченно довгим циліндром:

E = т/( 27іє0 r). Підставивши вираз Е в (1), отримаємо:

 

1   r2 dr       т   7 r2

 

 

або

 

 

 

Зробимо обчислення, враховуючи, що величини r1 та r2, які входять до формули (2) у вигляді відношення, можна виразити у сантиметрах (r1 = R + а1 = 1,5 см;   r2 = R + а2 = 3 см):

ф1 - ф2 = 2 10-8 1,8 1010 ln (3/1,5) = = 3,6-102 2,3 ln 2 В = 250 В.Приклад 11. Електричне поле створюється двома зарядами Q1 = 4 мкКл і Q2 = -2 мкКл, що знаходяться на відстані a = 0,1 м один від

одного. Визначити роботу А12 сил поля з переміщення заряду Q = 50 нКл

з точки 1 в точку 2 (рис. 15).
Розв'язок. Для визначення роботи A12 сил поля скористаємося спів­відношенням:

 

A1,2 = Q((P1 2).

 

Застосовуючи принцип суперпозиції електричних полів, визначимо потенціали ф1 та ф2 точок 1 і 2 поля:Q2   = 2(Q + Q2)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка