А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

F = mG; (1.30) г) сила тертя (ковзання):

F = fN, (1.31)

 

де f - коефіцієнт тертя;N - сила нормального тиску. Закон збереження імпульсу:

 

N

^ pt = const (1.32)

1=1

 

або для двох тіл (i = 2):

 

m1u1 + m2 и2 = m1u1 + m2U2,                                            (1.33)

 

де и1 та и2 - швидкості тіл у момент часу, прийнятий за початковий;

й1 и й2 - швидкості тих самих тіл у момент часу, прийнятий за кін­цевий.

Кінетична енергія тіла, що рухається поступально:

 

гг   mu2                                        p2

T =------------ або     T = ^—. (1.34)

2 2m

Потенційна енергія:

а)  пружно-деформованої пружини:

 

П = кх2 /2, (1.35)

 

де к - жорсткість пружини; х - абсолютна деформація;

б)  гравітаційної взаємодії:

 

П = - Gm1m2 / r,                                                            (1.36)

 

де G - гравітаційна постійна;

m1 та m2 - маси тіл, які взаємодіють;

r - відстань між ними (тіла розглядаються як матеріальні точки);

в)  тіла, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння:

П = mgh , (1.37) де g - прискорення вільного падіння ;

h - висота тіла над рівнем, прийнятим за нульовий (формула спра­ведлива за умови h<<R де R - радіус Землі). Закон збереження механічної енергії:

 

Е = Т + П = const. (1.38)

 

Робота A, здійсненна вислідною силою, визначається як міра зміни кінетичної енергії матеріальної точки:А = Т2- Т1.


(1.39)Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої

осі z:

Mz = Jz є, (1.40) де Mz - вислідний момент зовнішніх сил відносно осі z, що діють на

тіло;

є - кутове прискорення;

Jz - момент інерції відносно осі обертання.

Моменти інерції деяких тіл масою m відносно осі z, що проходить через центр мас:

а)  стрижня довжиною І відносно осі, перпендикулярної стрижню:

 

Jz = ml2 /12; (1.41)

 

б)    обруча (тонкостінного циліндра) щодо осі, перпендикулярної
площині обруча (що збігається з віссю циліндра):

 

Jz = mR2, (1.42)

 

де R - радіус обруча (циліндра);

в)  диска радіусом R відносно осі, перпендикулярної площині диска:

 

Jz = mR72. (1.43)

 

Проекція на вісь z моменту імпульсу тіла, що обертається відносно нерухомої осі z :

Lz = Jz ю, (1.44) де ю - кутова швидкість тіла.

Закон збереження моменту імпульсу систем тіл, що обертаються навколо нерухомої осі z:

 

Jz ю = const, (1.45)

 

де J - момент інерції системи тіл відносно осі z;

ю - кутова швидкість обертання тіл системи навколо осі z.

Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі z:

Т = JzG)72      або     Т = L2z/(2Jz). (1.46)1.2 Методичні вказівки до розділу «Фізичні основи класичної механіки»

 

Для вирішення завдань по кінематиці прямолінійного руху необхід­но чітко уявляти фізичний зміст формул шляху й швидкості цього руху. Запис законів руху виробляється в координатній формі. Вибір системи координат довільний; вибирати її необхідно таким чином, щоб математи­чне рішення було спрощено. Наприклад, під час руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, зручно вісь у направити вертикально, а вісь х - по го­ризонталі, так як рух вздовж вісі х буде рівномірним, а вздовж вісі у - рів-нозмінним.

У завданнях на рівномірний прямолінійний рух двох тіл зручно пе­рейти до системи відліку, пов'язану з одним із тіл.

Для вирішення завдань по кінематиці обертального руху необхідно мати на увазі, що в формулах (1.12) та (1.13) величини ф, со0, со та є - алге­браїчні. Знак ф визначається напрямком повороту тіла за час t, а знаки сс та со0 - напрямком обертання тіла у відповідні моменти часу. Величини сс та є мають однакові знаки при прискореному обертанні й протилежні - при сповільненому. При вирішенні завдань будь-яке з двох напрямків обер­тання можна прийняти за позитивне.

Якщо тіло одночасно бере участь у двох обертальних рухах з куто­вими швидкостями ю1 та ю2 щодо двох пересічних осей, то вислідний рух

буде також обертальним з кутовою швидкістю, що дорівнює ю = ю1 + ю2.

Для розв'язання задач динаміки поступального руху необхідно за­стосовувати ІІ закон Ньютона. Доцільно дотримуватися наступного по­рядку дій:

а) зробити рисунок до задачі;

б ) вказати всі сили, які діють на кожне тіло системи; в ) записати ІІ закон Ньютона у векторній формі для кожного тіла системи;

г)    вибрати зручні осі координат;

д)    записати ІІ закон Ньютона у скалярній формі для кожного тіла
системи;

е ) розв'язати отриману систему рівнянь.

Якщо тіла пов'язані ниткою, масою якої можна знехтувати, то силу натягу нитки вважають однаковою по всій її довжині.

Закон збереження імпульсу та механічної енергії слід застосову­вати в тих випадках, коли обчислення сил або утруднене, або не потрібне за умовою задачі. У тому випадку, коли сили, що діють на дане тіло, вияв­ляються залежними від часу, закон руху визначається за допомогою інтег­рального числення. Застосування законів збереження дозволяє обійти ме­20

ханічні труднощі.

При використанні законів збереження перш за все, необхідно з'ясу­вати можливість застосування цих законів в конкретній задачі. Закон збе­реження імпульсу, точно кажучи, застосовується тільки для замкнутих систем, тобто до таких систем тіл, на які не діють зовнішні сили чи їх век­торна сума дорівнює нулю. Однак, цей закон можна застосувати й для не­замкнутих систем, якщо:

а)     внутрішніх сил у багато разів більше, ніж зовнішніх. Наприклад,
при розриві летючого снаряду;

б)     проекція вислідної зовнішньої сили на будь-який напрямок під
час взаємодії дорівнює нулю. Вздовж цього напрямку справедливий закон
збереження імпульсу.

При складанні рівняння на підставі закону збереження імпульсу слід звертати увагу на те, що швидкості всіх розглянутих тіл мають обов'язко­во відраховуватися щодо однієї й тієї ж системи відліку, а так само на век­торний характер закону.

Система тіл, механічна енергія яких постійна, називається консерва­тивною. Умова консервативності - відсутність переходу механічної енер­гії в інші види енергії та обміну механічною енергією між тілами, що на­лежать до даної системи, і зовнішніми тілами. Перша умова виконується для консервативних сил, які, за визначенням, не залежать від координат взаємодіючих тіл, або коли робота внутрішніх консервативних сил дорів­нює нулю. Не консервативними силами є, наприклад, сила тертя, сили, що виникають при не пружному ударі. Друга умова виконується в тих випад­ках, коли алгебраїчна сума робіт зовнішніх сил, що діють на систему, до­рівнює нулю.

Методика рішення задач по обертальному руху принципово не від­різняється від методики вирішення завдань поступального руху. У завдан­нях цього розділу зазвичай розглядають обертання твердого тіла лише навколо нерухомої вісі або вісі, що переміщається в просторі паралельно самій собі. У цьому випадку всі псевдовектори, що характеризують обер­тальний рух тіла: ю, є, M, L - спрямовані вздовж вісі обертання. Це до­зволяє вибрати вісь обертання за вісь проекції.

Складний плоский рух, наприклад рух тіла, яке котиться, слід розг­лядати як суму двох рухів - обертальний навколо вісі, що проходить через центр мас, і поступальний рух зі швидкістю центру мас. Для вирішення завдання слід користуватися одночасно рівнянням динаміки обертального

руху:

 

та ІІ законом Ньютона:та =

 

 

Механічні коливання відрізняються від розглянутих вище видів руху тим, що прискорення при коливальному русі є змінна величина.

З (1.17) та (1.18) випливає, що максимальному зсуву при гармоній­ному коливанні відповідають нульова швидкість і максимальне приско­рення, спрямоване протилежно зміщенню (убік рівноваги). Навпаки, в по­ложенні рівноваги (х = 0) швидкість максимальна, а прискорення дорів­нює нулю.

 

 

1.3 Приклади розв'язання задач

 

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж вісі має ви­гляд х = А + Bt + Ct3, де А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с3. Знайти коорди­нату х, швидкість их та прискорення ах точки в момент часу t = 2 c.

Розв'язок. Координату х знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, B та С та часу t:

 

х = (2 +1-2-0,5 • 23) м = 0.

 

Миттєва швидкість відносно осі х є перша похідна від координати за часом:

 

и x = — = B + 3Ct2. dt

Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості за часом:

 

а = ^ = 6Ct. dt

У момент часу t = 2 с:

их =(1 - 3 • 0,5 • 22) м/с = -5 м/с, ах = 6 (-0,5) • 2 м/с2 = -6 м/с2.

 

Приклад 2. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом Ф = А + Bt + Ct2, де А = 10 рад, В = 20 рад/с, С=- 2 рад/с2. Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1 м від вісі обертан­ня, для моменту часу t = 4 с.Розв'язок. Повне прискорення а точки, що рухається по кривій лінії, може бути знайдено як геометрична сума тангенціального прискорення а%, що спрямоване по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення ап, спрямованого до центру кривини траєкторії (рис. 1):

 

а = ат + а

 

Рисунок 1. - Повне прискорення точки, що рухається по кривій лінії

Так як вектори а% та ап взаємно перпендикулярні, то модуль повно­го прискорення:

 

а = 4а2 + аПг . (1)

Модулі тангенціального та нормального прискорення точки тіла, що обертається виражаються формулами:

 

ат = єг;       ап = ю2 r,

 

де со - модуль кутової швидкості тіла;

є - модуль його кутового прискорення.

Підставляючи вирази ах та ап у формулу (1 ),знаходимо:

 

а = у/є2 r2 +ю4 r2 =    є 2 +ю4. (2)

 

Кутову швидкість с знайдемо, взявши першу похідну кута повороту за часом:

ю = d ер/dt = В + 2Ct. У момент часу t = 4 с модуль кутової швидкості:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка