А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 38

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

Розв'язок. Для визначення енергії фотона скористаємося серіальною формулою для воднеподібних іонів:

 

1/X = RZ2(1/n2 -1/n2), (1)

 

де X - довжина хвилі фотона; R - постійна Ридберга;Z - заряд ядра у відносних одиницях (при Z = 1 формула переходить в серіальну формулу для водню);

n1 - номер орбіти, на яку перейшов електрон;

n2 - номер орбіти, з якої перейшов електрон (n1 і n2 - головні кван­тові числа).

Енергію фотона є можна виразити формулою:

 

є = Не / X.

Тому, помноживши обидві частини рівності (1) на Не, отримаємо ви­раз для енергії фотона:

 

є = RHcZ2(1/n2 -1/n2!

 

Оскільки Rhe є енергія іонізації Е атома водню, то:

 

є = EiZ2(1/n2 -1/n2).

 

Обчислення виконаємо в позасистемних одиницях:  Еі = 13,6 еВ (див. табл. 1 додатка); Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:

 

( 1     1 ^

є = 13,6-12 — —-  еВ = 13,6• 3/16 еВ = 2,55 еВ. і 22   42 )

 

Приклад 2. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехту­вати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля електрона для двох випадків: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Розв'язок. Довжина хвилі де Бройля для частинки залежить від її ім­пульсу р і визначається за формулою:

X = Н / p, (1) де Н - постійна Планка.

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Т. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією різна для нерелятивістського випадку (коли кінетична енергія частинки багато менше її енергії спокою) та для релятивістського випадку (коли кінетична енергія порівняна з енер­гією спокою частки).

У нерелятивістському випадку:
де т - маса частинки.

У релятивістському випадку:p = J(2E0 + T)T / с,де E0 = тс1 - енергія спокою частинки.

Формулу (1) з урахуванням співвідношень (2) та (3) запишемо: - у нерелятивістському випадку:у/2тТу релятивістському випадку:hc

(2E0 + Т / сПорівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові завдання різниці потенціалів U1 = 51 Ві; U2 = 510 кВ, з енергією спокою

електрона й залежно від цього вирішимо, яку з формул (4) або (5) слід застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшла, прискорює різницю потенціалів U:

 

Т = eU.

 

У першому випадку Т1 = eU = 51 еВ = 0,51 -10 4 МеВ, що багато

Враховуючи, що h / тс є комптонівська довжина хвилі Л, отримає-



менше енергії спокою електрона E0 = тс = 0,51 МеВ. Отже, в цьому ви­падку можна застосувати формулу (4). Для спрощення розрахунків заува­жимо, що 71 = 10 тс . Підставивши цей вираз у формулу (4), перепише­мо її у вигляді:

х1 = 102 л/72.


Оскільки Л = 2,43 пм (див. табл. 1 додатка), то:л1 = 102 2,43/V2 пм = 171 пм.

 

У другому випадку кінетична енергія T2 = eU2 = 510 кеВ = 0,51 МеВ,

тобто дорівнює енергії спокою електрона. У цьому випадку необхідно застосувати     релятивістську     формулу     (5).     Враховуючи, що

T2 = 0,51 МеВ = mc2, по формулі (5) знаходимо:

 

Л                          h h

sj(2mcc + mc2)mc2 / c ^I3mc або

 

л 2 = л/V3.

 

Підставимо значення Л і зробимо обчислення:

 

Л2 = 2,43/V3 пм = 1,40 пм.

Приклад 3. Кінетична енергія електрона в атомі водню складає ве­личину порядку Т = 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначе-ностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

Розв'язок. Співвідношення невизначеностей для координати та ім­пульсу має вигляд:

 

AxApx > h, (1)

де Ax - невизначеність координати частинки (в даному випадку електрона);

Apx - невизначеність імпульсу частинки (електрона); h - постійна Планка.

Зі співвідношення невизначеностей випливає, що чим точніше ви­значається положення частинки в просторі, тим більш невизначеним стає імпульс, а отже, і енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри І, тоді електрон атома буде знаходитися десь в межах області з невизначеністю:

 

Ax = І/2.

Співвідношення невизначеностей (1) можна записати в цьому ви­падку у вигляді:

/2)Apx > h,

 

звідки

l > 2h / Apx. Фізично розумна невизначеність імпульсу Apx в усякому разі не по­винна перевищувати значення самого імпульсу рх, тобто Apx < px. Ім­пульс рх пов'язаний з кінетичною енергією Т співвідношенням px = л/2mT . Змінимо Арх значенням V2mT (така заміна не збільшить 1).

Переходячи від нерівності до рівності, отримаєlmin = 2h /^2mT.Перевіримо, чи дає отримана формула одиницю довжини. Для цього в праву частину формули (3) замість символів величин підставимо позна­чення їх одиниць:
1 Дж • с

([ m][T ])1/2    (1 кг -1 Дж)1/2


1/2


•1 с =1/2


•1 с = 1 м.Знайдена одиниця є одиницею довжини.


Приклад 4. Хвильова функція \|/(x) = V2/і sinописує основний

стан частинки в нескінченно глибокому прямокутному ящику шириною І. Обчислити ймовірність знаходження частинки в малому інтервалі АІ = 0,011 у двох випадках: 1) (поблизу стінки) (0 < x < АІ); 2) в середнійчастині ящика


І АІ

І АІ

< x <- +—

2  2      2 2
Розв'язок. Імовірність того, що частка буде виявлена в інтервалі dx (від х до x + dx) , пропорційна цьому інтервалу й квадрату модуля хвильо­вої функції, яка описує даний стан, дорівнює:

2

dсе>= \|/(x) dx.

У першому випадку шукана ймовірність знайдеться інтегруванням в межах від 0 до 0,011:

2 0,01і * ю = і sin1 xdx.

м і

 

Знак модуля опущений, так як у - функція в даному разі не є ком­плексною.

Так як х змінюється в інтервалі 0 < x < 0,011 і, отже, rax /1«1 спра­ведливо наближена рівність:• 2 л sin —x «

І


^71 >

—x V І J
2

w = -ra2-10-6 = 6,6-10-6. 3

У другому випадку можна обійтися без інтегрування, так як квадрат модуля хвильової функції поблизу її максимуму в заданому малому інтер­валі (АІ = 0,011) практично не змінюється. Ймовірність, яку шукаємо у другому випадку визначається виразом:

 

w = Wl /2)|2 АІю =


І


sin


п І 2 2


2


АІ = 2 0,011 = 0,02. ІПриклад 5. Обчислити дефект маси й енергію зв'язку ядра 3Li.

Розв'язок. Маса ядра завжди менша ніж сума мас вільних (що знахо­дяться поза ядром) протонів і нейтронів, з яких ядро утворилося. Дефект маси ядра Ат і є різниця між сумою мас вільних нуклонів (протонів і ней­тронів) і масою ядра, тобто:

 

Ат = Zmp + (A - Z)mn - Жя , (1)

де Z - атомний номер (число протонів в ядрі);

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка