А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

ю = [ 20 + 2 (-2) 4 ] рад/с = 4 рад/с.

 

Кутове прискорення знайдемо, взявши першу похідну від кутової швидкості за часом:є = d ю/ dt = 2С = -4 рад/с2 .

 

Підставляючи значення ю, є і r у формулу (2), отримує
Приклад 3. Ящик масою т1 = 20 кг зісковзує по ідеально гладень­кій дощечці довжиною l = 2 м на нерухомий візок з піском і застрягає в ньому. Візок з піском масою т2 = 80 кгможе вільно (без тертя) переміщу­ватись по рейках в горизонтальному напрямку. Визначити швидкість u ві­зка з ящиком, якщо дощечка нахилена під кутом а = 30° до рейок.

Розв'язок. Візок та ящик можна розглядати як систему двох не пружних взаємодіючих тіл. Але ця система не замкнута, так як на неї ді­ють зовнішні сили: сили тяжіння т1 g та т2g і сила реакції N1 (рис. 2). Тому застосувати закон збереження імпульсу до системи ящик - візок не можна. Але так як проекції зазначених сил на напрям вісі х, що збігається з напрямком рейок, дорівнюють нулю, то проекцію імпульсу системи на цей напрям можна вважати сталою, тобто:Ах + р2 х = р1х + р2.де p1x і р2х - проекції імпульсу ящика й візка з піском у момент падіння ящика на візок;


Р і р2х - ті ж величини після падіння ящика.

Розглядаючи тіла системи як матеріальні точки, виразимо у рівності (1) імпульси тіл через їх маси й швидкості, враховуючи, що р2х= 0 (візок

до взаємодії з ящиком знаходився у спокої), а також що після взаємодії обидва тіла системи рухаються з однієї тією ж швидкістю u:

 

т1и1х =( т1 + т2)uт1и1 cos а = (т1 + т2) u,

 

де d1 - модуль швидкості ящика перед падінням на візок; и1х=d1 cos а - проекція цієї швидкості на вісь х. Звідси:

u = т1и1 cos а/(т1 + т2)       . (2) Модуль швидкості и1 визначимо з закону збереження енергії:

 

т1gh = 2 т1^2,

де h = l sin а, звідки

d1 = yj2gl sin a. Підставивши вираз u1 у формулу (2), отримаємо:

 

т, -J2gl sin а cos а

u = ——                                   .

т1 + т2

 

Після обчислень знайдемо:

20^2 • 9,81 • 2 sin 30°      _ ,

u = —5------------------------------- cos 30  м/с =

20 + 80 1

=0,^Л/Г9~6 0,867 м/с = 0,767 м/с.

 

Приклад 4. При пострілі з пружинного пістолета вертикально вгору куля масою т = 20 г піднялася на висоту h = 5 м. Визначити жорст­кість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на х = 10 см. Масою пружини й силами тертя знехтувати.

Розв'язок. Розглянемо систему пружина - куля. Так як на тіла систе­ми діють лише консервативні сили, то для вирішення задачі можна засто­сувати закон збереження енергії в механіці. Згідно з ним повна механічна енергія Е1 системи в початковому стані (в даному випадку перед пострі­лом) дорівнює повній енергії Е2 в кінцевому стані (коли куля піднялася на висоту h), тобто:

 

Е1 = Е2      або     Г1 + Я1 = Т2 + Я2, (1)

 

де Т1, Т2, 771 і 772 - кінетичні та потенційні енергії системи в початко­вому й кінцевому станах.Так як кінетичні енергії кулі в початковому й кінцевому станах дорі­внюють нулю, то рівність (1) набуде вигляду:

 

 

 

Візьмемо потенційну енергію кулі в полі сил тяжіння Землі, коли куля знаходиться у спокої на стиснутій пружині, рівною нулю, а висоту підйому кулі будемо відраховувати від торця стиснутої пружини. Тоді енергія системи в початковому стані буде дорівнювати потенційній енергії

кх 2

стиснутої пружини, тобто П1 = —^-, а в кінцевому стані - потенційна енергія кулі на висоті h, тобто П2 = mgh.

be2

Підставивши вирази П1 і П2 у формулу (2), отримаємо —— = mgh,

звідки

 

к = 2m^. (3)

XПеревіримо, чи дає отримана формула одиницю жорсткості к. Для цього в праву частину формули (3) замість величин підставимо їх одиниці:

х х

 

Г m If g If hi   1 кг 1м • с"2 1 м   1 кг • м • с"2   , тт/
L  JL JL J -                                              -                         - = 1 Н/м.

1 м2                            1 м

 

Переконавшись, що отримана одиниця є одиницею жорсткості (1 Н/м), підставляємо у формулу (3) значення величин і зробимо обчис­лення:

 

к   2• 0,02• 9,81 • 5 Н Н
к =------------- 2----- Н/м = 196 Н/м.

(0,1)2

Приклад 5. Куля масою m1, що рухається горизонтально з деякою швидкістю и1, зіткнулася з нерухомою кулею масою m2. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. Яку частку є своєї кінетичної енергії перша куля передає другій?

Розв'язок. Частка енергії, переданої першою кулею другій, виразить­ся співвідношенням:^2.

Т1    m.d,2    m1 Id1


2


де Т1 - кінетична енергія першої кулі до удару;

u2 та Т2 - швидкість і кінетична енергія другої кулі після удару.

Як видно з формули (1), для визначення є треба знайти u2. Згідно з умовою задачі, імпульс системи двох куль щодо горизонтального напрям­ку не змінюється й механічна енергія куль в інші види не переходить. Ко­ристуючись цим, знайдемо:

 

m1\)1 = m1u1 + m2u2; (2)

 

m1u2 = m2ui2 + m2u2 (3)
2        2        2   .                                                          ( )

Розв'яжемо спільно рівняння (2) і (3):

u2 =

 

2m1u1

m1 + m2

 

Підставивши цей вираз u2 у формулу (1) й скоротивши на и та m1, отримаємо:

 

2m2 є = —2-

m1


2m1u1

и1 (m1 + m2


4m1m2Із знайденого співвідношення видно, що частка переданої енергії за­лежить тільки від мас куль, які взаємодіють.

Приклад 6. Через блок у вигляді суцільного диска, що має масу m = 80 г (рис. 3), перекинута тонка гнучка нитка, до кінців якої підвішені вантажі з масами m1 = 100 г і m2 = 200 г. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися вантажі, якщо їх надати самим собі. Тертям і масою нит­ки знехтувати.

Розв'язок. Розглянемо сили, що діють на кожен вантаж і на блок окремо. На кожен вантаж діють дві сили: сила тяжіння й сила пружності (сила натягу нитки). Направимо вісь х вертикально вниз і напишемо для кожного вантажу рівняння руху (другий закон Ньютона) в проекціях на цю вісь.

Для першого вантажу:

 

m?1 g - Т =-m1<a; (1)

 

для другого вантажу:

 

m2g - Т2 = m2a.
Під дією моментів сил Т[ і Т2 щодо осі z, перпендикулярної площині креслення й спрямованої за креслення, блок набуває кутове прискорення. Згідно з основновним рівнянням динаміки обертального руху:

 

(3)

 

де є = ajr;

Jz = mr2/2 - момент інерції блоку (суцільного диска) щодо осі z.

Згідно з третім законом Ньютона, з урахуванням невагомості нитки Т1=Т1, Т2=Т2. Скориставшись цим, підставимо в рівняння (3) замість Т{ та Т2 вираз Т1 і Т2, отримавши їх попередньо з рівнянь (1) і (2):

 

(m2g - m2a) r - (m1g + m1a) r = mr2aj(2r).

 

Після скорочення на r і перегрупування членів знайде
m2 - m1

m2 + m1 + mj 2Формула (4) дозволяє маси m1, m2 та m виразити в грамах, як вони дані в умові завдання, а прискорення - в одиницях СІ. Після підстановки числових значень у формулу (4) отримає
(200 -100) г                                / 2                       / 2

-г-±--------------- '—т— 9,81 м/с2 = 2,88 м/с2

(200 +100 + 80/2) г    1 1Приклад 7. Крутень у вигляді суцільного диска радіусом R = 0,2 м та масою m = 50 кг розкручений до частоти обертання n1 = 480 хв-1 і нада­ний самому собі. Під дією сил тертя крутень зупинився через t = 50 с. Знайти момент М сил тертя.

Розв'язок. Для розв'язку завдання скористаємося основним рівнян­ням динаміки обертального руху у вигляді:

 

dLz = Mzdt,

 

де dLz - зміна проекції на вісь z моменту імпульсу крутня, що обер­тається щодо осі z, збігається з геометричною віссю крутня, за інтервал часу dt;

М2 - момент зовнішніх сил (у даному випадку момент сил тертя), що діють на крутень щодо осі z.

Момент сил тертя можна вважати не змінними з плином часу (М2 = const), тому інтегрування рівняння (1) приводить до виразу:

 

ALz = Мг At. (2)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка