А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 

 

При обертанні твердого тіла відносно нерухомої вісі відбувається зміна проекції моменту імпульсу:

 

ALz = Jz Aw, (3)

 

де Jz - момент інерції крутня щодо осі z; Ago - зміна кутової швидкості крутня.

Прирівнявши праві частини рівностей (2) та (3), отримаємо:

 

Мг At=Jz Aw,

 

звідки

 

т Aw

М2 = Jz. (4) At

Момент інерції крутня у вигляді суцільного диска визначається за формулою:

 

Jz = V2 mR2.

 

Зміну кутової швидкості Ago = w2 - w1 виразимо через кінцеву n2 та початкову n1 частоти обертання, користуючись співвідношенням w = 27in:

Aw = w2 - co, = 27in2 -2nn1 = 2п(n2 -n1). Підставивши у формулу (4) вираження Jz та Aw, отримаєMz = %mR2 (n2 - n1 )/At. (5)

 

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю моменту сили (Н м). Для цього в праву частину формули замість символів величин під­ставимо їх одиниці:

 

[m ][R 2 ][n ]     1 кг-1 м2-1 с-'     ,                              -2  , ,„

----- г    — =-------------------------- = 1 кг - м - с   -1 м = 1 Н - м.

[' ]       1 с

Підставимо в (5) числові значення величин і зробимо обчислення, враховуючи, що n1= 480 хв-1 = 460/60 с-1 = 8 с-1:

 

= З,14-50-(0,2)2 -(0-8) н.м = -1 н-м.

z 50

Знак мінус показує, що момент сил тертя чинить крутню опір.

Приклад 8. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R = 1,5 м та масою m = 180 кг обертається навколо вертикальної осі з час­тотою n = 10 хв-1. В центрі платформи стоїть людина масою m = 60 кг. Яку лінійну швидкість и щодо підлоги приміщення має людина, якщо во­на перейде на край платформи?

Розв'язок. Згідно з умовою задачі, момент зовнішніх сил відносно осі обертання z, що збігається з геометричною віссю платформи, можна вва­жати рівним нулю. При цій умові проекція Lx моменту імпульсу системи

платформа - людина залишається сталою:

 

Lz = Jz о = const, (1)

 

де Jz - момент інерції платформи з людиною щодо осі Z;

со - кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що вхо­дять до складу системи, тому в початковому стані Jz = J1 + J2, а в кінце­вому стані J'z = J1 + J'2.

З урахуванням цієї рівності (1) вираз набуде вигляду:

 

(j+J2 )g>=(j;+J2K (2)

 

де значення моментів інерції J2 платформи та людини в по­чатковому стані системи; J1 та J2 - в кінцевому.зо

Момент інерції платформи щодо осі під час переходу людини не змінюється: J = J[ = m.xR 2Д Момент інерції людини щодо тієї ж осі буде змінюватися. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то його мо­мент інерції J2 в початковому стані (в центрі платформи) можна вважати рівним нулю. У кінцевому стані (на краю платформи) момент інерції лю­дини:

 

J2= m2 R 72.

 

Підставимо у формулу (2) вираження моментів інерції, початкової кутової швидкості обертання платформ з людиною (се> = 2 ) і кінцевої кутової швидкості (се/ = и/ R, де и - швидкість людини відносно підлоги):
2

 

Після скорочення на R2 і простих перетворень знаходимо швид­кість:

 

 

 

 

Зробимо обчислення:

 

2 • 3,14 • --1,5-180 f\

и =-------------------------- м/с = 1 м/с.

180 + 2 • 60        1 1

Приклад 9. Ракета встановлена на поверхні Землі для запуску у вертикальному напрямку. При якій мінімальній швидкості и1 заданій ра­кеті при запуску, вона віддалиться від поверхні на відстань, рівну радіусу

Землі ^R = 6,37-106мj? Всіма силами, крім сили гравітаційної взаємодії

ракети й Землі, знехтувати.

Розв'язок. З боку Землі на ракету діє сила тяжіння, що є потенцій­ною силою. При непрацюючому двигуні під дією потенційної сили меха­нічна енергія ракети змінюватися не буде. Отже:

 

Т1 + Я1 = Т2 + Я2, (1)

де Т1, Я1 і Т2 , Я2 - кінетична і потенційна енергії ракети після вимк­нення двигуна в початковому (у поверхні Землі) й кінцевому (на відстані, рівному радіусу Землі) станах.

Відповідно до визначення кінетичної енергії:Tl = mu2/2.

 

Потенційна енергія ракети в початковому стані (потенційна енергія гравітаційної взаємодії тіл, які нескінченно віддалені одне від одного, приймається рівною нулю):

 

Я = - GmM/R,

 

тому що потенційна енергія гравітаційної взаємодії тіл, нескінченно від­далених одне від одного, приймається рівною нулю. При віддаленні раке­ти від поверхні Землі її потенційна енергія зростає, а кінетична - спадає. У кінцевому стані кінетична енергія T2 стане рівною нулю, а потенційна -досягне максимального значення:

Яі = - GmM/ (2 R). Підставивши вирази T1, Я1, T2 і Я2 в (1), отримаємо: ти2/2 - GmM/R = - GmM/(2R),

Помітивши, що GM/r 2 = g (g - прискорення вільного падіння бі­ля поверхні Землі), перепишемо цю формулу у вигляді:


звідки

 

що збігається з виразом для першої космічної швидкості. Зробимо обчислення:

 

и1 =V9,86,37-106 м/с = 7,9 км/с.

 

Приклад 10. Точка здійснює гармонійні коливання з частотою v = 10 Гц. У момент, прийнятий за початковий, точка мала максимальне зміщення: xmax = 1 мм. Написати рівняння коливань точки й накреслити їх графік.

Розв'язок. Рівняння коливань точки можна записати у вигляді:

x = Asin(<$t + ф1), (1)

де А - амплітуда коливань; go - циклічна частота;t - час;

ф1 - початкова фаза.

За визначенням, амплітуда коливань:

А = Xmax. (2)

Циклічна частота ю пов'язана з частотою v співвідношенням:

се> = 2%v. (3) Для моменту часу t = 0 формула (і) набуде вигляду:

 

Xmax = А Sin ф1,

звідки початкова фаза:

 

фі = arcsin (xmax/ А ) = arcsin і

або

 

Фі =(2к + 1)л/2;       = 0,1,2...).

Зміна фази на 2% не змінює стану коливання точки, тому можна прийняти:

Ф1 =% /2. (4) З урахуванням рівностей (2) - (4) рівняння коливань набуде вигляду:


x = А sin(2%vt + ф)      або     х = А cos 2%vt,

Приклад 11. Частинка масою m = 0,01 кг здійснює гармонійні коли­вання з періодом T = 2 с. Повна енергія частинки, що коливається E = 0,1 мДж. Визначити амплітуду А коливань і найбільше значення сили Fmax, яка діє на частинку.Розв'язок. Для визначення амплітуди коливань скористаємося вира­зом повної енергії частинки:

 

Е = moo2 Л2/2,

 

де ю = 2 л/ Т. Звідси амплітуда:

 

 

A =                    . (1)

27 V m

 

Оскільки частинка робить гармонійні коливання, то сила, що діє на неї, є квазіпружною і, отже, може бути виражена співвідношенням:

F = -kx,

 

де k - коефіцієнт квазіпружної сили; х - зміщення коливної точки.

Максимальна сила буде при максимальному зміщенні xmax, рівному амплітуді:

 

Fmax = kA. (2)

 

Коефіцієнт k виразимо через період коливань:

k = ma2 = m 4л2/Т2. (3) Підставивши вирази (1) та (3) в (2) і провівши спрощення, отримає-Fmax = 2^V2m^/T.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43 


Похожие статьи

А М Галіахметов - Транспорт і транспортна інфраструктура

А М Галіахметов - Молекулярна фізика і термодинаміка

А М Галіахметов - Розділи класична механіка і молекулярна фізика та термодинаміка