М Любченко, Ю Степановський - Деякі особливі електромагнітні властивості частинки зі спіном 1 - страница 1

Страницы:
1 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 2006. Вип. 39. С. 17-22

VISNYK LVIVUNIV. Ser. Physic. 2006. N 39. P. 17-22

УДК 539.12:530.145 PACS number(s): 03.65.Pm

ДЕЯКІ ОСОБЛИВІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ ЧАСТИНКИ ЗІ СПІНОМ 1

М. Любченко , Ю. Степановський

1 Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, пл. Свободи, 4, 61077Харків, Україна e-mail: vtp@bigmir.net 2 Національний науковий центр Харківський фізико-технічний інститут, вул. Академічна, 1, 61108 Харків, Україна

Для опису частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі було використане релятивістськи інваріантне рівняння Кемера-Дафіна. Обчислений додаток до системи рівнянь Баргмана-Вігнера потрібний для введення у неї електромагнітної взаємодії. Розглянено квазікласичний рух. Залежно від поляризації частинка зі спіном 1 поводить себе як і частинка зі спіном У (існує явище конічної рефракції частинок) або по-іншому: з'являється можливість порушення причинності. У другому нерелятивістському наближенні знайдено суттєву різницю з результатом для спіну У: відсутність "нормальної" частини спін-орбітальної взаємодії та доданка, що свідчить про наявність розмірів частинки.

Ключові слова: спін, релятивістські хвильові рівняння, порушення причинності, рівняння Кемера-Дафіна.

Вивчення властивостей частинок зі спіном привертає увагу ще відтоді, коли тільки вперше це поняття з'явилося у фізиці. Й до сьогодні обговорюються як принципові питання [1], так і окремі проблеми [2, 3].

Для опису релятивістських частинок в кін. 30-х - на поч. 40-х рр. минулого сторіччя Вігнером був розвинений груповий підхід. Природними висновками з цього підходу є рівняння Дірака, Вейля, Максвела та ін. Але як тоді, так і досі, цей підхід не став популярним серед фізиків через свою складність. Тому робилися спроби розробити інші, простіші формалізми. Так, для опису вільних релятивістських частинок зі спіном 1 було створено їх велику кількість: Прока, Кемера-Дафіна, Баргмана-Вігнера, Паулі-Фірця та ін. На жаль, урахування взаємодії (електромагнітної, гравітаційної) в межах деяких з цих формалізмів неможливе. Наприклад, системи рівнянь Баргмана-Вігнера й Паулі-Фірця стають несумісними при мінімальному введенні в них електромагнітного поля, тобто з цих систем видно, що хвильова функція частинки дорівнює нулю за наявності найменшого поля.

Для спіну 1 недостатньо вивченими залишилися навіть нерелятивістські і квазікласичні наближення, добре відомі для спіну У.

© Любченко М., Степановський Ю., 2006

Додатки до рівнянь Баргмана-Вігнера, зумовлені урахуванням електромагнітного поля. Частинку зі спіном 1 описують рівнянням Кемера-Дафіна, яке може бути записаним у вигляді:

[(її0 +YV2)) D + 2mc ]Y = 0; (1)

(

D.

ex., c

де e - заряд частинки, Av - вектор-потенціал, у,1; і у/2' - матриці Дірака, що діють, відповідно, на перший та другий індекс хвильової функції *Р, яка має вигляд: = (У, С)) Тц +      С)ар ^, а, р, и, v = I X 3 4. C - матриця зарядового спряження.

Якщо частинка вільна, то з (1) можна отримати систему рівнянь Баргмана-Вігнера:

[іУІ1)Pv + mc = 0

[іУV2)Pv + mc = 0 Поле в цю систему не може бути введене шляхом звичайної заміни

(2)

pv ^ pvAv j , тому що при цьому рівняння стають несумісними. Але з (1) легко вивести аналог системи (2) з урахуванням поля:

P1)-у(2) )Dp[(y « v2) )DV + 2mc =

2,BmKv-ctP2; - ]Fpv + 2mc(у«Dp + у«Dp + 2mc)

¥ = 0.

де

уo,2)уo,2) - уo,2)у(1,2)

ст(1 , 2) = 'P     'v 'v     >p      ; к

4i _ у(1) у(2) - у(2) у0)

F

--A,

pv   .ivp тензор електромагнітного поля.

Отже, отримуємо перше рівняння системи (2) з урахуванням поля:

1 Mm

т -ap2) - +      + c^i) Dp

Jp v

(3)

Друге рівняння отримуємо заміною верхніх індексів.

Квазікласичне наближення. Конічна рефракція та надсвітові швидкості.

У 1832 р. Гамільтон на підставі кристалооптичних рівнянь Френеля з'ясував, що при певних умовах світовий промінь може перетворитися на сім'ю променів, розподілених по поверхні конуса. Це явище Гамільтон назвав конічною рефракцією.

У статті [4] було досліджено, що з рівняння квазікласичного наближення для нейтральної частинки зі спіном У в електромагнітному полі засвідчують наявність явища, аналогічного до конічної рефракції в оптиці. Але ці висновки не можнавикористовувати для зарядженої частинки, бо ефект буде неможливо спостерігати через розпливання хвильового пакета [1]. Спробуємо переконатись у тому, що конічна рефракція виникає також і у випадку спіну 1.

Для поляризації частинки ±1 шукатимемо рішення рівняння (1) у вигляді

де Ч^Чр - біспінори, які задовільняють рівняння

O'rvpv + m + М<\л.Fvi)^a= 0 .

Дисперсійне рівняння для енергії має вигляд

(s2 -,2E2 - и2H2 - p2 - m2)2 =4ц2 ([Exp]2 + [Hxp]2 + [ExH]2 -2ep [ExH]+ m2 H2 ) . (4)

У статті [4] показано, що конічну рефракцію з такого рівняння видно лише у випадку, коли Е2 - Н2 > 0 і (ЕН)=0. У разі, коли інваріант (ЕН)=0, можна обрати таку систему відліку, де відсутнє або Е, або Н. Якщо Н=0, з рівняння (4) легко обчислити швидкість частинки:

v =5s= p ±[E x[e x p]] , (5) dp    s      s|[E x p]|

де s = ^p2+m2+E2+2|[EXp] . За умови р||Е з'являється невизначеність 0/0. Вважа-ючи, що вектор р має перпендикулярну складову до Е, отримуємо з (5):

v = p + .

ss |pi|

Звідси видно, що як завгодно мала складова дає помітний внесок у швидкість v.

Можна довести, що при довільних Е і Н рівняння (4) не приводить до надсвітових швидкостей [4]. Але у разі спіна 1 існує ще одна можливість: нульова проекція спіна на деякий напрям. У цьому випадку дисперсійне рівняння, як можна переконатися, має вирішення, які відповідають надсвітовим швидкостям частинок. (Надсвітовий рух частинок зі спіном 1, описуваних рівняннями Прока, був проаналізований у праці [5].)

Нерелятивістські наближення для частинки зі спіном 1. Якщо енергія частинки мало відрізняється від її енергії спокою, можна провести розкладання в ряд за ступенями 1/с. Для цього напишемо рівняння Кемера-Дафіна для хвильової функції

де ф, X, Z, 4, компоненти П, своєю чергою, є матрицями 2 x 2, для їх компонент справджується нерівність ^ab <<Zab * ^ab <<Фаь, матриці 4 і ф - симетричні.

(у(;) +у?))[ -f - і-А ]+ 2mc - mc (у» 42))

П = 0.

Легко перевірити, що   уИ2)П = (у(11)п) . Тож, використовуючи конкретне

представлення для матриць Дірака (як в [5]), отримуємо систему рівнянь для компонент хвильової функції П:

4mc§-2D£+iokDk\+i(okDk Х)т = 2mc?+i-akDk ф-і (akDk §)T =0 2rm\-i<5kDkbl+i(pkDitf) =0 де ak - матриці Паулі.

У першому наближенні 4 =0. Тоді

z     i^kDkФ    .      і (CTkDkф

Z =--; л =--й

2mc 2mc

2D4 ф----= 0 .

2mc 2mc

Останнє рівняння може бути переписане так:

- A T

Sf 2m 4mc

Це - аналог рівняння Паулі. Друге неближення має вигляд

ф + еА4ф—— н(aф + (aф)T ) . (6) 4mc

2

p-e a1

f ^ІГ ф+-Аф-І "M^       ■ <7)

Результат досить несподіваний, бо друге нерелятивістське наближення для частинки зі спіном У має зовсім інший вигляд [6, 7]:

ф    fp--AT 4

і— =--—ф+єАф--Ha фі--1--- a lExp] ф+—— Мф

St       2m    T   ^T 2mc    T &m3c2   4m2c2  1     J &m2c2

(тут ф є спінором, стовпцем з двох чисел).

Третій доданок враховує залежність маси від швидкості (він є і для частинки зі спіном 1), передостанній - енергію взаємодії магнітного диполя з електричним полем (спін-орбітальна взаємодія), останній - свідчить про те, що частинка насправді має розмір.

Щоб зрозуміти, куди поділися два доданки, треба зробити нерелятивістські наближення з урахуванням аномального магнітного моменту. Тож, перше має вигляд

і = --—ф + єА4ф----H(acp + (аф) ),

St 2m

друге:

2

p - e A

ф+eA4ф-(^н(aФ + (аф)Т )-8Е-фг

2 v > 8mc

■ д     I     c  J    ,   ,     (Ms +ц)

і-ф = -- ,.,-,/1,-4 /

St 2m

-      [Exp](<xp + (<kp)T )+Д44ф 2mc 2mc

тобто відсутня лише "нормальна" частина доданків.

(7/)

Звернемо увагу на те, що у другому наближенні для електрона з урахуванням аномального магнітного моменту доданок, що відповідає спін-орбітальній взаємодії, має вигляд [7].

~ Г"2

НЖФ=----        схр]ф.

mc

"Нормальний" магнітний момент входить лише з коефіцієнтом 1Л ("томасівська половинка"). У випадку спіна 1 урахування неінерційності системи відліку, зв'язаної з частинкою, призводить до того, що "нормальний" магнітний момент щезає цілком.

Справді, будь-яке тіло, рухаючись з прискоренням, буде обертатися з частотою

ю= [v х v] 2c21 J'

Для руху частинки в електромагнітному полі:

З іншого боку, згідно з теоремою Лармора, магнітний момент, що рухається в електричному полі, повинен прецесувати з частотою

де g - гіромагнітне відношення для цієї частинки, а H- магнітне поле в системі відліку, пов' язаній з цією частинкою. Але

H = -[Exv]

Для частинки зі спіном 1 g=1, отож, (8) і (9) у сумі дають нуль, і частинка прецесувати не буде.

1. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969. 624 с.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Ч.1. М.: Наука, 1969. 480 с.

3. Померанский А.А., Сеньков Р.А., Хриплович И.Б. Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях // УФН. 2000. Т. 170. № 10. C. 1129­1141.

4. Степановский Ю.П. Коническая рефракция частиц со спином // // Ядерная физика. 1982. Т. 35. Вып. 2. С. 336-339.

5. Хриплович И.Б. К вопросу о нарушении причинности при движении частиц с высоким спином во внешнем поле // Ядерная физика. 1972. Т. 16. Вып. 4.

С. 823-834.

6. Kalckar J. On the Measurability of the Spin and Magnetic Moment of the Free Electron // Nuovo cimento. 1972. Vol. 8 A. № 4. Р. 759-777.

7. Nikishov A.I. Vector boson in constant electromagnetic field // 2001 hep-th/0104019.

SOME ESPECIAL ELECTROMAGNETIC PROPERTIES OF A SPIN 1 PARTICLE

M. Lyubchenko1, Yu. Stepanovsky2

1 Karazin Kharkiv National University, Svoboda Square, 4, UA-61077 Kharkiv, Ukraine 2 National scientific center Kharkiv Institute of physics and technology, Akademichna St., 1, UA-61108 Kharkiv, Ukraine

We have used the relativistic invariant Kemmer-Duffin equation for a spin 1 particle description. The addition to the Bargmann-Wigner system, necessary in case of electromagnetic interaction account, has been deduced. Quasi-classical movement has dependence on the polarization: some states are similar to the spin !/ ones and another has essential difference - a possibility of the violation of causality. In second non-relativistic approximation unexpected features have been also found out: absence of spin-orbit interaction and size items.

Key words: spin, relativistic wave equations, violation of causality, Kemmer-Duffin equation.

Стаття надійшла до редколегії 19.05.2004 Прийнята до друку 21.11.2005

Страницы:
1 


Похожие статьи

М Любченко, Ю Степановський - Деякі особливі електромагнітні властивості частинки зі спіном 1