П А Ротаєнко - Дисперсія розподілу частки знань умовного тестованого - страница 1

Страницы:
1  2 

П.А. Ротаєнко,

Інститут педагогіки АПН України

Дисперсія розподілу частки знань умовного тестованого

Зауважимо спочатку, що поняття «умовний тестований» в нашому тлумаченні узгоджується зі знаннями практично необмеженої кількості тестованих, опитування яких дало однаковий результат за одним і тим самим тестом і тією самою методикою. Розподіл рівнів знань таких тестованих може служити об'єктивною характеристикою процесу тестування і для конкретного тестованого, оскільки для стороннього спостерігача, зокрема екзаменатора, його знання апріорі є такими ж імовірними.

Нехай є гомогенний тест з вивіреним предметним наповненням. Будемо користуватися тими ж позначеннями, що і в [2], а саме:

1) х - величина, що виражає відношення кількості запитань тесту, на які тестований може правильно відповісти, до кількості всіх запитань;

2) 3 - ймовірність чистого вгадування (ймовірність чистого вгадування - це ймовірність дати правильну відповідь при повному незнанні матеріалу), яку називатимемо ще коефіцієнтом тесту;

3) п — кількість запитань одержаної тестованим вибірки;

4) mкількість запитань із цієї вибірки, на які він відповів правильно.

Якщо, наприклад, до кожного тестового запитання наводиться 5 відповідей, з яких тільки одна правильна, то 3 = 1/5, для тесту «2 із 4-х» 3 = 1/С = 1/6, якщо ж кількість правильних відповідей (включаючи відсутність останніх) невідома, то /3 = 1 / 2r, де rкількість усіх наведених відповідей. У випадку відкритої форми тестових завдань значення / можна задати наближено чи взяти нульовим.

Величину x можна вважати випадковою характеристикою. Крім того, якщо тест практично необмежений, то її можна вважати неперервною випадковою величиною (принаймні у граничному тлумаченні).

Математичне сподівання і дисперсію для величини x будемо позначати відповідно через М і

D.

У [2] доведено, що при заданих (фіксованих) значеннях величин /3, n , m функція

f (x) = (1 Р)( n + 1)C: (x + 3(1 x)) m (1 x3(1 x))n—m ( 1)

виражає щільність розподілу імовірностей на множині значень випадкової величини х на відрізку [3 /(3 —, а функцією розподілу для неї є функція

F(x) = £Скп+1(х + 3(1 — х))к(1 — х — 3(1 — x))n+1—k . (2)

k =m+1

Математичне сподівання величини x на вказаному відрізку, яке ми назвали імовірнісним коефіцієнтом знань і позначали через а , виведено у вигляді

(1 3)(n + 2) К '

Крім того, оскільки

J f (x)dx = F (1) - F (3(3-1)) = 1 - 0 = 1,

то

PI(P-1)

1

r m ,

1

J С (x + 3(1 -x))m(1 -x-3(1 -x))n-mdx = -

м>-1) (1 -3)(n +1)

які б не були значення  m  (0 <= m <= n) .

На основі (1), (2), (4) можна записати: 1 T

J   (X CT (x + 3(1 - x))s (1 - x - 3(1 - x))T - s )dx = 3/(3-1) s=t

T 1

= X    J CT (x + 3(1 - x))s (1 - x - 3(1 - x))T -sdx = s=3/(3-1)

= X(1 -3)(T +1) = (1 -3)(T +1) '

де t, S, T - натуральні числа, t < T . Тоді матимемо:

(4)

D =   J (x -M)2f (x)dx =   J xxf (x)dx - 2M J xf (x)dx+M2  J f (x)dx = \x2F(x)

31(3-1) 31(3-1) 31(3-1) 31(3-1)

31(3-1)

- 2 J xF(x)dx - 2M *M + Mz\F(x)\3((3_X) = 1 - 2 xJ F(x)dx\

3K3-1)

n+1

1

3/(3-1) 1 + 2 J dxJ F(x)dx - 2M2 + M2 =

= 1 -M2 - 2xJ dx X Ckn+1 (x + 3(1 - x))k (1 - x - 3(1 - x))

n+1-k

k=m+1

3/(3-1) 1

n+1

+ 2 J   dxJ dx XCkn+l{x + 3(1 -

3 (3-1)    3 (3-1) k=m+1

k=m+1

n+1

- a)k (1 - x - 3(1 - x))n+1-k = 1 -M2 - 2x X J Ckn+l (x + 3(1 - x))k (1 - x - 3(1 - x))

kdx\

+

3 (3-1)

+ 2  J dx X JC   (x + 3(1 -x))k(1 -x-3(1 -x))n+1-kdx = 1 -M2 -2 ^ m +11 +

3((3 k =m+1J n+1 (1 -3)(n+2)

1

n+1

+ 2     dx X

3 /(3-ї)    k=m+1

1

1

n+2

(1 -3)(n + 2)

X Cj+2 (x + 3(1 - x))3 (1 - x -3(1 - x)) n+2-J = 1 - M2 - 2

j=k+1

(n - m +1) (1 -3)(. n + 2)

1

+ 2---*---((n - m +1) + (n - m) + (n - m -1) +.. +1) = 1 - ((m +11  3(n + 22)

(1 -3)(n + 2)  (1 -3)(n + ЗУ         '  V      '  У '       '      V  (1 -3)(n + 2) '

(n -m +1)            1                  1 ,.       (m + 1)(n -m +1)

- 2——:-— +-:-*-:-(n - m + 2)(n - m +1)-    y      A ;

(1 -3)( n + 2)   (1 -3)( n + 2)  (1 -3)( n + 3)

(m + 1)(n - m +1)

Отже,

D-

(1 -3)2(n + 2)2(n + 3) (5)

(1 -3)2(n + 2)2(n + 3)'

З (5) випливає, що значення дисперсії найменше на кінцях проміжку можливих значень величини   m,   тобто   при   m = 0       і      m = n.   Дисперсія   в   таких   випадках дорівнює

(n +1)

(1 -3f(n + 2)2(n + 3)'

Оскільки (n + 2)2 = (n +1)(n + 3) +1« (n +1)(n + 3), то для цих випадків можна записати

D :

1

(1 -3)2(n + 3)2 2

(6)

1

+

2

Середньо-квадратичне відхилення відносно M, тобто середньо-квадратична похибка для цих випадків дорівнює

c>=4D «-1-. (7)

(1 -3)(n + 3) У)

З (7) випливає, що похибка при обчисленні частки знань за формулою (3) для найкращого і найгіршого результатів знаходиться приблизно в обернено пропорційній залежності від обсягу вибірки. Взагалі, з (5) випливає, що відношення середньо-квадратичних похибок для різних тестів і однакових кількостей правильних і неправильних відповідей є таким

С = 1-3 8

a   1 -31

де a , a1 - середньо-квадратичні похибки, 3, 31 - відповідні коефіцієнти тестів.

Якщо через a позначити середньо-квадратичну похибку коефіцієнта знань, визначеного за відкритим тестом (3 = 0), то на основі (8) відповідну похибку будь-якого тесту можна виразити через цю похибку:

a, = a/(1 -3) . (8')

Не менш важливо мати і найбільше значення диперсії чи середньо-квадратичної похибки, бо саме такий критерій визначає надійність усіх результатів тестування («найслабша ланка визначає надійність усього ланцюга»).   З (5) легко одержати ці значення: для парного значення n вони

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

П А Ротаєнко - Дисперсія розподілу частки знань умовного тестованого